馬雪飛，王 智，宋清華，吳英姿，陶 鵬，師豪杰

（1.哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.中國電子科技集團公司第二十八研究所，南京 210007；3.武漢第二船舶設(shè)計研究所，武漢 430064；4.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，哈爾濱 150001；5.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064）

作為現(xiàn)代海洋戰(zhàn)爭中最重要的精確制導(dǎo)武器之一，魚雷已經(jīng)成為各國海洋軍事力量發(fā)展的重要方向。魚雷制導(dǎo)律將直接影響魚雷命中目標(biāo)精度和毀傷能力，是實現(xiàn)魚雷精確打擊的關(guān)鍵技術(shù)之一。隨著海戰(zhàn)環(huán)境的日益復(fù)雜和水聲對抗技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代海戰(zhàn)中魚雷的突防和攻擊目標(biāo)面臨著越來越大的挑戰(zhàn)。為了提升魚雷對目標(biāo)的打擊能力和毀傷效果，需要魚雷以一定的角度命中目標(biāo)，針對水面艦艇的薄弱部件進行打擊，以此提升魚雷的毀傷力度，滿足現(xiàn)代制導(dǎo)武器精確打擊的要求。

自文獻[1]在1973 年首次提出了一種基于落角約束的導(dǎo)引律，將角度約束控制引入制導(dǎo)律的設(shè)計之中[1]，具備終端角度約束的制導(dǎo)律經(jīng)過研究已取得一定的研究成果[2-6]。文獻[7]將最優(yōu)控制理論引入飛行程序設(shè)計之中[7]。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，滑?？刂埔蚱浞蔷€性特性、快速收斂性和強魯棒性等優(yōu)點被常用于制導(dǎo)律的設(shè)計之中[8-15]。文獻[8]基于滑?？刂评碚撎岢隽艘环N切換制導(dǎo)策略滿足撞擊角度和撞擊時間終端的約束[8]。文獻[9]提出了一種基于時基發(fā)生器函數(shù)的時變滑?？刂品椒?，該方法可以保證截獲時刻視線角收斂到期望值的小鄰域內(nèi)[9]。文獻[10]針對打擊角度和打擊時間約束制導(dǎo)問題，設(shè)計一種不需要估計剩余飛行時間的非奇異終端滑模尋的制導(dǎo)律[10]。文獻[11]針對傳統(tǒng)滑模趨近律在末端制導(dǎo)中存在收斂速度慢、消耗時間長及抖振現(xiàn)象嚴(yán)重等缺點，提出了一種使用雙冪次趨近律的導(dǎo)彈終端滑模制導(dǎo)方法[11]。文獻[12]和文獻[13]將滑?？刂评碚撆c時間控制約束結(jié)合進行研究[12,13]。文獻[14]針對機動目標(biāo)攔截過程中加速度信息難以獲取的實際問題，設(shè)計了一種基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模攔截制導(dǎo)律，有效提高了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性能[14]。文獻[15]為實現(xiàn)對運動目標(biāo)的精確打擊，以脫靶量與終端落角為約束條件，提出了一種全局復(fù)合滑模制導(dǎo)律，運用飽和函數(shù)取代滑模制導(dǎo)中的符號函數(shù)削弱了系統(tǒng)抖振[15]。以上制導(dǎo)律的研究均包含落角約束或含時間和角度約束打擊靜止目標(biāo)或運動目標(biāo)，但未考慮制導(dǎo)律的抗干擾性和脫靶量的問題。

基于上述分析，本文提出一種偏置比例滑模制導(dǎo)律，滿足終端角度約束的同時具備抗干擾性和較小脫靶量。首先建立魚雷與目標(biāo)的二維平面運動模型，將滑?？刂婆c偏置比例導(dǎo)引結(jié)合，并基于Lyapunov 函數(shù)穩(wěn)定性理論證明制導(dǎo)律的穩(wěn)定性，最后根據(jù)不同的初始條件進行仿真對比分析，設(shè)計的制導(dǎo)律不僅能精確實現(xiàn)命中目標(biāo)的同時還具備較小的角度誤差和脫靶量最優(yōu)的優(yōu)點，驗證該制導(dǎo)律的可行性和有效性。

1 魚雷與目標(biāo)相對運動模型

為了魚雷能準(zhǔn)確攻擊到目標(biāo)，一般在設(shè)計制導(dǎo)律時，只要控制魚雷和目標(biāo)的相對視線角變化率在末制導(dǎo)結(jié)束之前收斂到零或者零附近，魚雷就能夠成功擊中目標(biāo)。為簡化研究做如下假設(shè)：

1) 魚雷與目標(biāo)均為質(zhì)點，忽略魚雷與目標(biāo)的形狀、質(zhì)量和環(huán)境干擾。

2) 魚雷與目標(biāo)的運動速度大小保持不變。

3) 魚雷的導(dǎo)引和控制系統(tǒng)為理想系統(tǒng)，沒有響應(yīng)延遲。

4) 只考慮魚雷與目標(biāo)的二維平面運動。

在二維平面內(nèi)建立魚雷與目標(biāo)的相對運動關(guān)系如圖1 所示。以二維平面作為參考，在該平面內(nèi)以x軸為水平參考線，M表示魚雷，T代表目標(biāo)，R表示魚雷-目標(biāo)之間的相對距離，q為視線角是魚雷-目標(biāo)之間的相對視線與水平面之間的夾角，θM表示魚雷的航向角（彈道傾角），θT表示目標(biāo)的航向角，φM、φT分別表示魚雷和目標(biāo)的前置角，aM、aT分別表示魚雷目標(biāo)的法向加速度，VM、VT分別表示魚雷和目標(biāo)的速度。

圖1 魚雷與目標(biāo)相對運動模型Fig.1 Relative motion model between torpedo and target

由圖1 可知，將魚雷和目標(biāo)的速度方向分別沿視線方向及法線方向進行分解，其中沿視線分量VMcos（q-θM）指向目標(biāo)，可使相對距離減小；而分量VTsin（q-θM）背離魚雷，可使相對距離增大。有：

沿視線法線的分量VTsin（q-θT）使視線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，可使視線角減小；沿視線法線的分量VMsin（q-θM）使視線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，可使視線角增大。根據(jù)圖1 有式(2)成立：

由式(1)(2)可得，在二維平面內(nèi)魚雷與目標(biāo)的相對運動方程為：

2 基于終端角度約束的魚雷滑模制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 制導(dǎo)律滑模面設(shè)計

以魚雷法向加速度為制導(dǎo)指令，偏置比例導(dǎo)引律的形式為：

其中，第一項為比例導(dǎo)引的基本形式，滿足在N≥ 2末端制導(dǎo)時刻保證魚雷命中目標(biāo)，第二項為偏置項，是為了控制魚雷終端角度約束。

通過式(3)(4)可得：

對式(5)兩邊在區(qū)間[t1,t2］進行積分，可得：

式(6)(7)中，θM2和q2分別為t2時刻魚雷的航向角和雷目視線角；θM1和q1分別為t1時刻魚雷的航向角和雷目視線角。

將當(dāng)前時刻t和終端時刻tf代入式(7)可得：

其中，θMf為命中目標(biāo)時魚雷的航向角，qf為終端雷目視線角。為了滿足終端落角約束，希望魚雷航向角滿足θM-θMf→ 0，同時視線角滿足q-qf→ 0。命中目標(biāo)時，魚雷前置角為零，即θMf＝qf，因此可得：

因此根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制原理和終端條件，滑模面s選取為：

由式(10)可知，當(dāng)s趨近于零時，魚雷將以期望的攻擊角度θMf擊中目標(biāo)。

2.2 冪次趨近律設(shè)計

為了保證魚雷所設(shè)計的制導(dǎo)律在制導(dǎo)過程中具備良好的品質(zhì)，需要考慮合適的趨近律來指定滑模控制切換的策略?？紤]如下冪次趨近律：

其中，k為趨近律系數(shù)，α表示趨近律可調(diào)參數(shù)，通過改變α值可以改變系統(tǒng)的趨近速率，該冪次趨近律滿足系統(tǒng)在趨近切換面時獲取較大的趨近速率，但遠(yuǎn)離滑模面時趨近速率較慢，因此需要進行冪次趨近律改進[11]：

式(12)中，k1,k2為趨近速率系數(shù)，符號函數(shù)表達式為：

2.3 滑模制導(dǎo)律設(shè)計

根據(jù)所設(shè)計的切換面和趨近律函數(shù)可得滑模制導(dǎo)律的最終表達式。對式(10)進行微分可得：

結(jié)合式(3)(12)(14)可得基于終端角度約束的魚雷滑模制導(dǎo)律的表達形式為：

式(15)中，α是趨近律可調(diào)參數(shù)，N為比例系數(shù)，k1,k2為趨近律系數(shù)。

2.4 穩(wěn)定性分析

滑模動態(tài)存在的數(shù)學(xué)表達式為：

上式表明在切換面s領(lǐng)域內(nèi)，系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)到達切換面。式(16)也可改寫為全局到達條件形式：

由式(18)可知，當(dāng)且僅當(dāng)s≠ 0時，V＞ 0且V˙。由Lyapunov 函數(shù)穩(wěn)定性可知，設(shè)計的制導(dǎo)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.5 消除抖動方法

考慮到制導(dǎo)律表達式(15)中含有符號函數(shù)sgn(s)，而符號函數(shù)的不連續(xù)性會導(dǎo)致系統(tǒng)抖動，為了減小或削弱符號函數(shù)造成的系統(tǒng)抖動，可采用飽和函數(shù)或雙曲正切函數(shù)代替符號函數(shù)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。雙曲正切函數(shù)表達式：

將式(19)代入式(15)可得消除抖動后的魚雷滑模制導(dǎo)律的表達形式為：

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文所提出的魚雷終端角度約束的滑模制導(dǎo)律的有效性和可行性，考慮三枚魚雷在平面內(nèi)攻擊一個目標(biāo)的情形，魚雷剩余時間估計采用文獻[16]的方法。

考慮不同場景進行驗證分析，制導(dǎo)指令中的可調(diào)參數(shù)α取值對角度約束影響如圖2 所示，隨著α增加，導(dǎo)致魚雷期望攻擊角度約束命中目標(biāo)的時間增加，并且魚雷的航向角的最大值產(chǎn)生變化，但并未影響以期望角度命中目標(biāo)。因此在后續(xù)的仿真中α取0.5，趨近律系數(shù)，則k1的取值為3，k2的取值為2。

圖2 可調(diào)參數(shù)α 取值對角度約束影響Fig.2 The influence of adjustable parameter α value on angle constraint

場景一：考慮魚雷初始航向角相同，期望不同的落角約束攻擊靜止目標(biāo)。仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 場景一仿真參數(shù)Tab.1 Scene-1 simulation parameters

場景二：考慮魚雷初始航向角不同，期望相同的落角約束攻擊靜止目標(biāo)。仿真參數(shù)如表2 所示。

場景三：考慮魚雷初始航向角相同，期望不同的落角約束攻擊運動目標(biāo)。仿真參數(shù)如表3 所示。

表3 場景三仿真參數(shù)Tab.3 Scene-3 simulation parameters

場景四：考慮魚雷初始航向角不同，期望相同的落角約束攻擊運動目標(biāo)。仿真參數(shù)如表4 所示。

表4 場景四仿真參數(shù)Tab.4 Scene-4 simulation parameters

表5 場景五仿真參數(shù)Tab.5 Scene-5 simulation parameters

場景五：與文獻[17]中偏置比例制導(dǎo)律（Biased Proportional Guidance Law,BPNG）和文獻[18]中最優(yōu)制導(dǎo)律（Optimal Guidance Law,OGL）在相同參數(shù)設(shè)置下，對比仿真分析。將本文設(shè)計的制導(dǎo)律（式(15)）稱之為滑模偏置比例制導(dǎo)律（Sliding Mode-Biased Proportional Guidance Law,SM-BPNG），仿真參數(shù)如表 5 所示。

場景六：為了驗證制導(dǎo)律的抗干擾性，考慮在式(15)制導(dǎo)律中加入模擬噪聲干擾，仿真參數(shù)如表6 所示。

表6 場景六仿真參數(shù)Tab.6 Scene-6 simulation parameters

圖3 表示場景一的仿真結(jié)果。由圖3(a)和圖3(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三枚魚雷在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖3(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °、-45 °和0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實現(xiàn)期望落角約束，保證制導(dǎo)精度。由圖3(d)可知，三枚魚雷的需用法向過載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機動能力，在4.9 s 就趨近于零，且過載也在可用范圍之類。具體仿真結(jié)果如表7 所示。

表7 仿真結(jié)果Tab.7 Simulated results

圖3 場景一仿真結(jié)果Fig.3 Simulated results of scenario 1

圖4 表示場景二的仿真結(jié)果。由圖4(a)和圖4(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三枚魚雷在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖4(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實現(xiàn)在初始航向角不同的情況下實現(xiàn)期望落角約束，保證了制導(dǎo)精度。由圖4(d)可知，三枚魚雷的需用法向過載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機動能力，在2.1 s 就趨近于零了，法向過載也在可用范圍之類，保證了魚雷能以期望的攻擊角度擊中目標(biāo)。具體仿真結(jié)果如表8 所示。

表8 仿真結(jié)果Tab.8 Simulated results

圖4 場景二仿真結(jié)果Fig.4 Simulated results of scenario 2

圖5 表示場景三的仿真結(jié)果。由圖5(a)和圖5(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于勻速直線運動狀態(tài)下，三枚魚雷在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖5(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度30 °、-35 °和0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實現(xiàn)期望落角約束。由圖5(d)可知，三枚魚雷的需用法向過載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機動能力，在7.01 s 就趨近于零了，且過載也在可用范圍之類。具體仿真結(jié)果如表9 所示。

表9 仿真結(jié)果Tab.9 Simulated results

圖5 場景三仿真結(jié)果Fig.5 Simulated results of scenario 3

圖6 表示場景四的仿真結(jié)果。由圖6(a)和圖6(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于勻速直線運動狀態(tài)下，三枚魚雷在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖6(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實現(xiàn)期望落角約束。由圖6(d)可知，三枚魚雷的需用法向過載指令曲線變化較為平穩(wěn)，在26.12s 就趨近于零了，且過載也在可用范圍之類，該制導(dǎo)指令無抖動現(xiàn)象。具體仿真結(jié)果如表10 所示。

表10 仿真結(jié)果Tab.10 Simulated results

圖6 場景四仿真結(jié)果Fig.6 Simulated results of scenario 4

圖7 表示場景五的對比仿真結(jié)果。圖7(a)表示三種制導(dǎo)律作用下魚雷的彈道軌跡，其中紅線表示SM-BPNG，藍(lán)線表示BPNG，粉線代表OGL，由圖 7(a)和圖7(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三種制導(dǎo)律作用下的魚雷均能在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖7(c)可知，三種制導(dǎo)律作用下的魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，三種制導(dǎo)律均可以實現(xiàn)期望落角約束。圖7(d)表示三種制導(dǎo)律作用下的魚雷制導(dǎo)指令曲線，只有SM-BPNG 可以前期充分發(fā)揮魚雷機動能力，在6.5 s 左右趨近于零，該制導(dǎo)指令無抖動現(xiàn)象，充分發(fā)揮了SM-BPNG 的穩(wěn)定性，提高了魚雷的制導(dǎo)精度。綜上所述，本文設(shè)計的制導(dǎo)律能滿足落角約束，制導(dǎo)指令無抖動現(xiàn)象，具有良好的制導(dǎo)性能。三種制導(dǎo)律的具體仿真結(jié)果如表11 所示，在三種制導(dǎo)律作用下，本文設(shè)計的SM-BPNG 脫靶量相對較小，具備較小脫靶量的優(yōu)點得到驗證。

表11 仿真結(jié)果Tab.11 Simulated results

圖7 場景五仿真結(jié)果Fig.7 Simulated results of scenario 5

圖8 表示場景六在制導(dǎo)律式(15)中加入模擬噪聲干擾的仿真結(jié)果。由圖8(a)(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，加入噪聲數(shù)值的制導(dǎo)律作用下的魚雷均能在不同時刻下命中目標(biāo)。由圖8(c)可知，加入模擬噪聲數(shù)值干擾情況下，魚雷均能按照預(yù)期的角度約束30 °、-30 °和0 °完成約束要求命中目標(biāo)。圖8(d)為魚雷制導(dǎo)指令曲線，所設(shè)計的滑模制導(dǎo)律在初始時刻能獲取更高的法向加速度，在噪聲干擾下的落角誤差小于0.5 °，前期充分發(fā)揮魚雷機動能力，在6.25 s 左右趨近于零，該制導(dǎo)指令并無抖動現(xiàn)象，充分發(fā)揮了SM-BPNG 的穩(wěn)定性，提高了魚雷的制導(dǎo)精度，制導(dǎo)指令曲線在末端時刻能快速收斂為零。具體仿真結(jié)果如表12 所示，在添加噪聲的情況下該制導(dǎo)律的抗干擾性及穩(wěn)定性得到了驗證。

表12 仿真結(jié)果Tab.12 Simulated results

圖8 場景六仿真結(jié)果Fig.8 Simulated results of scenario 6

4 結(jié)論

本文對終端角度約束的魚雷打擊目標(biāo)問題進行了研究，首先建立魚雷與目標(biāo)的二維平面運動模型，推導(dǎo)了基于偏置比例導(dǎo)引的滑模制導(dǎo)律，并驗證Lyapunov 函數(shù)的穩(wěn)定性，最后根據(jù)不同的初始條件進行不同場景的仿真分析。仿真結(jié)果表明，在靜止或運動狀態(tài)下，設(shè)計的滑模制導(dǎo)律能以期望的終端角度約束精確命中目標(biāo)的同時，保持彈道曲線比較平滑，脫靶量均小于1 m，在噪聲干擾數(shù)值下落角約束誤差小于0.4 °，制導(dǎo)指令在合理范圍內(nèi)快速收斂等優(yōu)點，因此設(shè)計的滑模制導(dǎo)律具有良好的工程應(yīng)用價值。

未來研究的重點是開展帶角度約束的魚雷時間協(xié)同制導(dǎo)律的研究，結(jié)合現(xiàn)代控制理論將魚雷攻擊時間和攻擊角度約束結(jié)合完成雙重約束協(xié)同制導(dǎo)。