冼虹雁

引例：（2023年高考全國Ⅰ卷第11題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）

A．f（0）=0B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數(shù) D．x=0為f（x）的極小值點

分析：本題題干簡潔，但內(nèi)涵豐富．主要考查了抽象函數(shù)的值及性質(zhì)，要求考生在理解抽象函數(shù)概念的背景下，探析問題的本質(zhì)，會通過化歸轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想運算求解，對數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求．注意到本題中的x，y具有任意性，結(jié)合選項對變量x，y賦特殊值0，1，-1等即可．

解析：由f（xy）=y2f（x）+x2f（y），

令x=y=0，f（0）=0f（0）+0f（0）=0，故A正確．

令x=y=1，f（1）=1f（1）+1f（1），則f（1）=0，故B正確．

令x=y=-1，f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），則f（-1）=0，

再令y=-1，f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），

又函數(shù)f（x）的定義域為R，所以f（x）為偶函數(shù)，故C正確．

對于D，不妨令f（x）=0，顯然符合題設(shè)條件，此時f（x）無極值，故D錯誤．故選ABC．

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域、遞推式、特定點的函數(shù)值、特定的運算性質(zhì)等．它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點．由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式作為載體，因此理解起來比較困難，所以求解抽象函數(shù)的問題需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力．抽象函數(shù)的試題在近幾年的高考中均有不同的形式出現(xiàn)．以下是筆者總結(jié)的探究抽象函數(shù)問題的常見方法策略，以期拋磚引玉．

一、賦值策略

賦值策略是指根據(jù)題目所給條件，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維活動，對變量賦予特殊值或特殊式，從而使問題解決，并具有一定的規(guī)律性．這種策略在解決抽象函數(shù)問題時具有獨特的功效，它簡單方便，是探求抽象函數(shù)問題的一種常用的思維策略．

二、整體策略

這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)f［g（x）］中的g（x）看作一個整體，相當于f（x）中的x這一特性，問題就會迎刃而解．

例2．已知函數(shù)f（-x2+4x-1）的定義域為［0，m］，則可求得函數(shù)f（2x-1）的定義域為［0，2］，求實數(shù)m的取值范圍．

解析：∵函數(shù)f（2x-1）的定義域為［0，2］，即0≤x≤2，∴-1≤2x-1≤3，

∴函數(shù)f（x）的定義域為［-1，3］．

令t=-x2+4x-1，則-1≤t≤3，由題意知，當x∈［0，m］時，t∈［-1，3］，作出函數(shù)t=-x2+4x-1的圖像.

由圖可得，當2≤m≤4時t∈［-1，3］，∴實數(shù)m的取值范圍是2≤m≤4．

點評：本題中f（-x2+4x-1）、f（x）、f（2x-1）中的x不是同一個量，當f（x）的定義域為［-1，3］時，f（-x2+4x-1）和f（2x-1）分別是-x2+4x-1和2x-1的函數(shù)． 解答的

三、“定義”策略

（1）求證f（x）是奇函數(shù)；

（2）求f（x）在區(qū)間［-3，3］上的最大值和最小值．

解析：（1）證明：令x=0，y=0可得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．

令y=-x可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）．

函數(shù)定義域為R，所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）先證明函數(shù)的單調(diào)性，證明過程如下：

任取x10．

因為f（x+y）=f（x）+f（y），

所以f（x1）-f（x2）=f［（x1-x2）+x2］-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）

=f（x1-x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以f（x）在R上單調(diào)遞減．

所以f（x）min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-1，

f（x）max=f（-3）=-f（3）=1．

點評：本題考查了抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵緊扣定義、精巧賦值，請?zhí)貏e留意在證明奇偶性、單調(diào)性的賦值技巧．

四、“穿脫”策略

加上函數(shù)符號“f”即為“穿”，去掉函數(shù)符號“f”即為“脫”．對于有些抽象函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性，實現(xiàn)對函數(shù)符號“f”的“穿脫”，以達到簡化解題的目的．

（1）證明：f（x）在定義域上為增函數(shù)；

（2）若f（2a+1）>f（4a），求a的取值范圍．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及解抽象函數(shù)不等式．根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學們?nèi)菀资韬龅牡胤?，不能掉以輕心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成如f［g（x）］>f［h（x）］后再利用單調(diào)性和定義域列不等式（組）．

五、數(shù)形結(jié)合策略

遇到有關(guān)抽象函數(shù)問題，一定要有數(shù)形結(jié)合的思想意識，其關(guān)鍵是畫圖、用圖．一般來說，抽象函數(shù)無圖像，但可根據(jù)題設(shè)中所給的抽象函數(shù)性質(zhì)，畫出符合題意的草圖，通過觀察、對比，運用數(shù)形結(jié)合思想全面判斷，并做定量分析，可使抽象函數(shù)形象化、具體化、直觀化，從而減少推理、計算量．

例5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，若g（x）=f（x-4）是奇函數(shù)，且g（4）=0，則不等式f（x）≤0的解集是（）

A．（-∞，-8］∪（-4，0］

B．［-8，-4）∪［0，+∞）

C．［-8，-4］∪［0，+∞）

D．［-8，0］

解析：∵g（x）=f（x-4）圖像的對稱中心為（0，0），

∴函數(shù)f（x）圖像的對稱中心為（-4，0）．

又函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在（-4，+∞）上為減函數(shù)，且f（-4）=g（0）=0．

∵g（4）=f（0）=0，∴f（-8）=0．

畫出函數(shù)f（x）圖像的草圖（如圖）．

結(jié)合圖像可得f（x）≤0的解集是［-8，-4］∪［0，+∞）．故選C．

點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集．解題時要從函數(shù)f（x）的性質(zhì)入手，同時也要把函數(shù)g（x）=f（x-4）的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的性質(zhì)，進一步得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性和對稱性，進而畫出其圖像的草圖，根據(jù)圖像寫出不等式的解集．其中在解題中不要忘了f（x）是定義在R上的函數(shù)，故應(yīng)該有f（-4）=g（0）=0這一結(jié)論，即函數(shù)f（x）的圖像中要有（-4，0）這個點．

六、模型策略

模型策略，就是根據(jù)題設(shè)所給的抽象函數(shù)性質(zhì)，通過聯(lián)想與類比，大膽猜想生成抽象函數(shù)的原始模型，作出目標猜想，利用模型函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探索解題方法．對于選擇題和填空題，可用模型函數(shù)直接解決．對于解答題，模型函數(shù)只能起到啟迪思路、檢驗結(jié)論的作用，解題時還必須從題設(shè)條件出發(fā)加以演繹推理，再證明或運算，切不可用特殊代替一般，發(fā)生邏輯上的錯誤．

點評：高中階段所學的抽象函數(shù)大都是由特殊的、具體的基本函數(shù)為背景的．所以解題時，若能先從探究函數(shù)模型入手，通過對題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特征進行觀察、分析、類比、聯(lián)想，化抽象為具體，尋找出具體的函數(shù)模型，進而快速求解．熟練掌握一些具有特定結(jié)構(gòu)特征的基本初等函數(shù)類型（特別是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等），為解決此類問題的特殊函數(shù)模型思維提供理論依據(jù)，也是綜合創(chuàng)新應(yīng)用的基礎(chǔ)．常見抽象函數(shù)方程對應(yīng)的原型函數(shù)見下表．

f（x）在-e-12，0上單調(diào)遞增，在（-∞，e-12）上單調(diào)遞減．

顯然，此時x=0是f（x）的極大值，故D錯誤．

七、“結(jié)論”策略

涉及抽象函數(shù)綜合創(chuàng)新應(yīng)用問題中，經(jīng)常需要用到一些函數(shù)的基本性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及周期性、對稱性等相關(guān)的結(jié)論．借助相關(guān)的基本性質(zhì)結(jié)論，可以很好快捷分析與推理，借助相應(yīng)的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀模型等來綜合應(yīng)用，從而優(yōu)化過程，提升效益．

1.對稱的常見形式與結(jié)論

2.雙對稱（軸對稱、中心對稱）與周期性

例7．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（3x+1）是奇函數(shù)，f（2x-1）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．f（x）的圖像關(guān)于直線x=-1對稱

B．f（x）的圖像關(guān)于點（1，0）對稱

C．f（-3）=1

D．f（x）的一個周期為8

解析：由題意知f（3x+1）是奇函數(shù)，即f（-3x+1）=-f（3x+1），∴f（-x+1）=-f（x+1），

即f（-x+2）=-f（x），即f（x）+f（-x+2）=0，

故f（x）的圖像關(guān)于點（1，0）對稱，B正確；

又f（2x-1）是偶函數(shù)，故f（-2x-1）=f（2x-1），∴f（-x-1）=f（x-1），

即f（-x-2）=f（x），故f（x）的圖像關(guān)于直線x=-1對稱，A正確；

由以上可知f（x）=f（-x-2）=-f（-x+2），即f（x-2）=-f（x+2），

所以f（x+4）=-f（x），則f（x+8）=-f（x+4）=f（x），

故f（x）的一個周期為8，D正確；

由于f（-3x+1）=-f（3x+1），令x=0，可得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，

而f（x）的圖像關(guān)于直線x=-1對稱，故f（-3）=0，C錯誤，故選C．

點評：此類抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷問題，一般要注意根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的定義去解答．比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結(jié)合賦值法求得特殊值，進行解決．解析過程中使用了部分“二級結(jié)論”，確實起到了“事半功倍”的效果．但需要提醒的是：解題時不要盲目“死記硬背”、“生搬硬套”，一是因為這些性質(zhì)結(jié)論非常多，本文只節(jié)選了部分；二是因為考題不是“一成不變”而是“千變?nèi)f化”的．數(shù)學學習只有回歸本源，注重數(shù)學概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，加強知識間的聯(lián)系及綜合，關(guān)注數(shù)學思想方法，突出思維的靈活性、深刻性，避免機械刷題．

八、“構(gòu)造函數(shù)”策略

分析、解決“以抽象函數(shù)為載體，題設(shè)條件中設(shè)置與導數(shù)有關(guān)的不等式（或等式），且目標問題是求解相關(guān)不等式的解集，或者比較大小”問題時，往往需要我們結(jié)合加、減、乘、除的求導運算法則，靈活構(gòu)造新函數(shù)，然后借助導數(shù)知識分析新函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性），進而利用新函數(shù)的性質(zhì)解決目標問題．

所以6 f（2021）＜3 f（2022）＜2 f（2023）．

故選A．

函數(shù)的特征是通過函數(shù)的性質(zhì)（如特殊點、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）反映出來的，抽象函數(shù)也不例外．要充分利用題設(shè)所表明（或隱含）的條件，靈活、綜合選擇合適的方法策略對解題能起到十分重要的作用．對于以上方法策略的理解、掌握、應(yīng)用，則需要在平時的學習中多體會與感悟，這樣才能游刃有余地解決此類問題．抽象函數(shù)問題才能峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明．

精題集萃

1．已知函數(shù)f（x+1）的定義域為［-2，3］，則函數(shù)

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2），f（1）=4，則f（3）+f（10）的值為．

答案：4.

解析：由f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+f（2）．

又f（x）為偶函數(shù)，∴f（-2）=f（2），∴f（2）=0．

∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期為4．

又f（1）=4，

∴f（3）+f（10）=f（-1）+f（2）=f（1）+f（2）=4+0=4．

3．已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，f（5.5）＝2，g（x）＝（x-1）f（x）．若g（x＋1）是偶函數(shù)，則g（-0.5）＝（）

A．-3B．-2C．2D．3

答案：D.

解析：g（x+1）為偶函數(shù)，則g（x）關(guān)于x=1對稱，即g（x）=g（2-x），

即（x-1）f（x）=（1-x）f（2-x），即f（x）+f（2-x）=0，

∴f（x）關(guān)于（1，0）對稱，又f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，

∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），

∴f（x-4）＝f［（x-2）-2］＝-f（x-2）＝-［-f（x）］＝f（x），即f（x-4）＝f（x），

∴f（x）周期為4，∴f（5.5）=f（1.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2，

∴g（-0.5）=g（2.5）=1.5f（2.5）=3．故選D．

4．定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈［2，3］時，f（x）=-2x2+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是．

解析：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，

令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），

又f（-1）=f（1），∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)．

∵函數(shù)y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖像和g（x）的圖像至少有3個交點．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0

要使函數(shù)y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

則有g(shù)（2）>f（2），可得loga（2+1）>f（2）=-2，

5．（多選）已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）=f（x+1）為偶函數(shù)，下列說法正確的有（）

A．f（x）圖像關(guān)于（-1，0）對稱

B．g（2023）=0

C．g（x）的最小正周期為4

D．對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）

答案：BCD.

解析：設(shè)f（x）=cosπx，易知BCD正確．

7．已知定義在R上的可導函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）

答案：（0，+∞）.

8．已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當x>1時，f（x）>0，且f（x·y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（1）；

（2）證明：f（x）在定義域上是增函數(shù)；

解析：（1）∵f（x·y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0.