江燕　郜舒竹

【摘? ?要】分析現(xiàn)有“平行四邊形的面積”的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在“以‘拉一拉活動(dòng)導(dǎo)入課程不合理、‘?dāng)?shù)方格法的片面化看待和不科學(xué)規(guī)定、‘分、移、補(bǔ)活動(dòng)中結(jié)論和剪拼方式不完備”等問(wèn)題。據(jù)此，教師對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析并提出改進(jìn)意見(jiàn)，以期完善對(duì)“平行四邊形的面積”的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】平行四邊形的面積；數(shù)方格；剪拼；直覺(jué)錯(cuò)誤

一、以“拉一拉”活動(dòng)作為導(dǎo)入方式的不合理性

在現(xiàn)有“平行四邊形的面積”的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)中，有教師會(huì)在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用“拉一拉”的操作活動(dòng)［1］，讓學(xué)生通過(guò)拉動(dòng)長(zhǎng)方形模型，感知長(zhǎng)方形被拉動(dòng)后變成了平行四邊形，并將拉成的平行四邊形與原有的長(zhǎng)方形作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)圖形周長(zhǎng)相等，面積卻在變小。將“拉一拉”這一操作活動(dòng)作為本課的導(dǎo)入方式是否合適，值得深度思考。

首先，北師大版教材將面積定義為“物體的表面或封閉圖形的大小”。面積是對(duì)“面”的大小的度量，“面”的存在是計(jì)量面積的前提。在“拉一拉”的操作活動(dòng)中，從視覺(jué)角度看，學(xué)生能觀察到圖形相鄰兩條邊之間的相對(duì)位置在改變，卻不能直觀地觀察到“面”這一屬性。沒(méi)有“面”作為前提，也就無(wú)從感知圖形面積（“面”的大?。┰谥饾u變小。

其次，如圖1所示，捏住長(zhǎng)方形模型ABCD的一組對(duì)角向外拉，當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛'B'C'D'時(shí)，多數(shù)學(xué)生會(huì)認(rèn)為長(zhǎng)方形ABCD的面積與平行四邊形A'B'C'D'的面積相等，理由是向斜角凸出的部分（增加的量）和向下減少的部分（減少的量）相等，根據(jù)“量1加上量2，又減去量2，結(jié)果仍為量1”的事實(shí)，可以得出長(zhǎng)方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'具有“形異量等”的等價(jià)關(guān)系，二者面積相等。

此外，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已獲得“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的認(rèn)知。從視覺(jué)上看，長(zhǎng)與寬是長(zhǎng)方形相鄰兩邊的長(zhǎng)度，因此學(xué)生容易形成“長(zhǎng)方形面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”的錯(cuò)誤圖式。在“拉一拉”的操作活動(dòng)中，拉動(dòng)的過(guò)程改變的是相鄰兩邊之間的相對(duì)位置，邊的長(zhǎng)度并未改變，所以長(zhǎng)方形ABCD相鄰兩邊的長(zhǎng)度與平行四邊形A'B'C'D'相鄰兩邊的長(zhǎng)度相等。利用有關(guān)長(zhǎng)方形面積的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然而然就形成了“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”的直覺(jué)錯(cuò)誤。只有當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD被拉成比較扁的平行四邊形A''B''C''D''時(shí)，學(xué)生才能直觀地發(fā)現(xiàn)圖形的周長(zhǎng)沒(méi)有變化，面積卻在變小。

要解決學(xué)生在“拉一拉”操作活動(dòng)中無(wú)法直觀感知到“面”這一問(wèn)題，以及形成“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”的直覺(jué)錯(cuò)誤，就必須了解“面”這一屬性，同時(shí)澄清長(zhǎng)方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'面積不相等。為此可以采用幾何動(dòng)畫(huà)的形式，如圖2所示，以動(dòng)態(tài)的眼光去看，拉動(dòng)的過(guò)程實(shí)際就是長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致形變（變?yōu)槠叫兴倪呅危┑倪^(guò)程，直觀來(lái)看就是長(zhǎng)方形的寬沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，此時(shí)邊長(zhǎng)保持不變，但面積變小了，而且隨著旋轉(zhuǎn)的繼續(xù)，面積會(huì)越來(lái)越小。

最后，通過(guò)“拉一拉”操作活動(dòng)，學(xué)生得出結(jié)論：長(zhǎng)方形被拉成平行四邊形后，其面積在變小，即此時(shí)的長(zhǎng)方形和平行四邊形之間存在“形異量不等”的關(guān)系。然而，在推導(dǎo)平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生是通過(guò)“分、移、補(bǔ)”的活動(dòng)將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，再借助已知長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式去推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式的。此時(shí)學(xué)生得出的結(jié)論為平行四邊形與長(zhǎng)方形的面積相等（如圖3），即此時(shí)的長(zhǎng)方形和平行四邊形之間存在“形異量等”的關(guān)系?？梢?jiàn)，學(xué)生在兩個(gè)活動(dòng)中所得出的結(jié)論并不一致，這會(huì)導(dǎo)致他們思維混亂，無(wú)法真正理解平行四邊形的面積與長(zhǎng)方形的面積之間的內(nèi)在關(guān)系。

對(duì)于“拉一拉”這一操作活動(dòng)，人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”將其以課后習(xí)題的形式放置于練習(xí)十九中（如圖4）。此前，學(xué)生通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)明晰平行四邊形的面積受到底和高的制約，是底和高的乘積；同時(shí)“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，平行四邊形的面積與長(zhǎng)方形的面積相等的原因在于圖形間的內(nèi)部因素具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即原有的平行四邊形的底與高分別轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬?；谝陨险J(rèn)知經(jīng)驗(yàn)去解釋和說(shuō)明為什么在拉動(dòng)過(guò)程中圖形的面積在變小，就能避免“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”的直覺(jué)錯(cuò)誤以及結(jié)論不一致導(dǎo)致的思維混亂。

綜上所述，將“拉一拉”操作活動(dòng)作為“平行四邊形的面積”教學(xué)的導(dǎo)入方式，有如下弊端：一是無(wú)法保證度量面積的前提——“面”這一屬性的存在；二是當(dāng)捏住長(zhǎng)方形的一組對(duì)角輕輕拉動(dòng)時(shí)，學(xué)生通過(guò)直接觀察模型，無(wú)法直觀地感知面積的變化（變?。蚨鴷?huì)認(rèn)為此時(shí)圖形的周長(zhǎng)和面積都沒(méi)有發(fā)生變化，再結(jié)合對(duì)長(zhǎng)方形面積的認(rèn)知，產(chǎn)生“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”的直覺(jué)錯(cuò)誤；三是“拉一拉”操作活動(dòng)中平行四邊形與長(zhǎng)方形之間呈現(xiàn)的“形異量不等”關(guān)系，與后續(xù)“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)中平行四邊形與長(zhǎng)方形之間呈現(xiàn)的“形異量等”關(guān)系相互沖突，知識(shí)內(nèi)容的不一致會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維混亂。

二、“數(shù)方格”法的片面化看待和不科學(xué)規(guī)定

面積計(jì)量的一個(gè)基本方法是單位面積度量法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中通常也叫作“數(shù)方格”法。該方法是將一張方格紙當(dāng)作一把“面積尺”（其中每個(gè)方格代表一個(gè)面積單位），通過(guò)將平面圖形平鋪于方格紙上，數(shù)出圖形含有多少個(gè)方格（面積單位的個(gè)數(shù)），以此計(jì)算圖形的面積。［2］在有關(guān)面積內(nèi)容（包括平行四邊形的面積）的教學(xué)中，初始時(shí)一般都會(huì)采用“數(shù)方格”的方法來(lái)進(jìn)行。但在部分“平行四邊形的面積”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師認(rèn)為“數(shù)方格”的方法既不好操作，又很煩瑣，與之相比，剪拼的方法易于操作且方便，因此直接摒棄“數(shù)方格”的方法，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形通過(guò)剪拼的活動(dòng)轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積。［3］

那么，“數(shù)方格”法在面積教學(xué)中是否重要呢？“圖形與幾何”領(lǐng)域中涉及許多有關(guān)圖形面積計(jì)量（平面圖形的面積以及立體圖形的表面積）的內(nèi)容。史寧中教授認(rèn)為，面積度量實(shí)質(zhì)就是計(jì)算該圖形包含多少個(gè)面積單位。［4］“數(shù)方格”是以方格紙作為度量面積的直觀模型，其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)”面積單位的個(gè)數(shù)，所以借助“數(shù)方格”的方法可以幫助學(xué)生理解面積是面積單位的累加，計(jì)量面積就是計(jì)量面積單位的個(gè)數(shù)。

人教版教材中仍然沿用“數(shù)方格”這一方法。在數(shù)格子的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到所數(shù)“方格”不是“整格”的情況。對(duì)此，教材的解決辦法是：不滿一格的都按半格計(jì)算（如圖5）。

然而，在實(shí)際應(yīng)用中，那些不滿一格的“方格”，有些與一格十分接近，有些非常?。ㄉ踔量梢院雎裕?，全都把它們按半格計(jì)算的做法具有合理性嗎？

如圖6所示，圖中兩個(gè)平行四邊形的形狀不同，但底邊長(zhǎng)度和高度分別相等。已知決定平行四邊形的面積的因素是底和高，所以底和高分別相等的平行四邊形的面積相等，即圖6中兩個(gè)平行四邊形的面積相等。再根據(jù)平行四邊形面積=底×高，可以計(jì)算出兩個(gè)平行四邊形的面積都為2×2.5=5（平方厘米）。

如果采用“數(shù)方格”的方法，可以數(shù)出圖6左邊的平行四邊形有2個(gè)“整格”，“不滿一格”的有7個(gè)；右邊的平行四邊形有2個(gè)“整格”，“不滿一格”的有10個(gè)。按照“不滿一格的都按半格計(jì)算”的規(guī)定，左邊的平行四邊形包含2個(gè)“整格”和7個(gè)“半格”，右邊的平行四邊形包含2個(gè)“整格”和10個(gè)“半格”。1個(gè)方格代表1平方厘米，半格就代表0.5平方厘米，從而數(shù)出左邊平行四邊形的面積為5.5平方厘米，右邊平行四邊形的面積為7平方厘米。

顯而易見(jiàn)，按照“不滿一格的都按半格計(jì)算”的規(guī)定，“數(shù)”出來(lái)的面積數(shù)與實(shí)際面積數(shù)之間存在不一致性，而且還是一個(gè)具有不確定性的估計(jì)值，形狀不同，數(shù)值也不同。因此，將“不滿一格的都按半格計(jì)算”的做法不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)、不具合理性，學(xué)生難以接受。如果換個(gè)角度去引導(dǎo)學(xué)生思考：不采用“不滿一格的都按半格計(jì)算”的做法，那“整格”以外的方格（接近一格與不足半格或兩個(gè)半格）應(yīng)該怎么計(jì)量？學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)想出通過(guò)剪拼的方式，將不足一格的方格拼在一起變成“整格”來(lái)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上自然而然地引出轉(zhuǎn)化思想以及實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法——剪拼法，從而建立“數(shù)方格”法與“轉(zhuǎn)化”之間的深度聯(lián)系。

除此之外，借助方格紙的直觀性進(jìn)行“平行四邊形的面積”的教學(xué)，能幫助學(xué)生明確底和高是決定平行四邊形的面積的關(guān)鍵因素，并根據(jù)直觀得到的平行四邊形面積、底和高之間的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。如圖7所示，將三個(gè)不同形狀的平行四邊形復(fù)刻于方格紙上，利用方格紙的直觀性，比較它們的底、高、面積之間的關(guān)系。比較圖①和圖②，可知平行四邊形的高相同，底越長(zhǎng)，面積越大；比較圖②和圖③，可知平行四邊形的底相同，高越長(zhǎng)，面積越大。因此得到?jīng)Q定平行四邊形面積的關(guān)鍵因素為底和高。

同樣，在圖5提及的方格紙中，一個(gè)方格代表1平方米，邊長(zhǎng)為1米的正方形的面積為1平方米，即每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1米。學(xué)生結(jié)合方格圖可以直接數(shù)出三個(gè)平行四邊形的面積、底和高，并通過(guò)將三個(gè)不同形狀的平行四邊形的面積與其對(duì)應(yīng)的底和高的乘積進(jìn)行比較，在數(shù)形結(jié)合中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平行四邊形的面積受制于底和高，是底和高的乘積。

三、“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)中結(jié)論和剪拼方式的不完備

對(duì)于“平行四邊形的面積”的推導(dǎo)，教材中多是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“分、移、補(bǔ)”的活動(dòng)，沿著高從平行四邊形中分出一個(gè)直角三角形，將其平移到另一側(cè)，然后補(bǔ)齊變成長(zhǎng)方形（如圖3），此時(shí)平行四邊形的底轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的寬，結(jié)合“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。但教材中這樣的設(shè)計(jì)指向的只是一個(gè)特殊的平行四邊形的面積，其高位于平行四邊形內(nèi)部（以下簡(jiǎn)稱“形內(nèi)高”），而對(duì)于高位于形外（以下簡(jiǎn)稱“形外高”）的情況卻并未涉及［5］。

“形內(nèi)高”平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的方式是將左邊的直角三角形剪下來(lái)平移到右邊對(duì)應(yīng)的位置。然而這種剪拼轉(zhuǎn)化的方法，對(duì)于“形外高”平行四邊形來(lái)說(shuō)并不適用（如圖8）。

對(duì)此，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“是否平面上每一個(gè)平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形？”“同一個(gè)平行四邊形具有不同的底邊和對(duì)應(yīng)的高，其面積是否都可以用底與高的乘積來(lái)表示？”“所有的平行四邊形都是沿著高分割出一個(gè)直角三角形，平移到另一側(cè)，補(bǔ)齊成長(zhǎng)方形嗎？”等疑惑。

因此，只針對(duì)“形內(nèi)高”平行四邊形得出“平行四邊形的面積=底×高”的結(jié)論，在一定程度上會(huì)缺乏說(shuō)服力。且將其轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的過(guò)程中只涉及“將左邊的直角三角形平移到右邊對(duì)應(yīng)的位置”的剪拼方式，可能會(huì)忽視學(xué)生自主構(gòu)建多樣化的轉(zhuǎn)化方法的可能性。所以，教師應(yīng)該盡可能提供多角度的材料，讓學(xué)生觀察、操作、思考，發(fā)現(xiàn)不同角度、不同形狀、不同大小的平行四邊形（包括“形內(nèi)高”和“形外高”）都可以通過(guò)剪拼的方式轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，剪拼的方式可以是多樣化的。在此基礎(chǔ)上根據(jù)平行四邊形的面積（底乘高）與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的面積（長(zhǎng)乘寬）之間建立等價(jià)關(guān)系，結(jié)合“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，得到“平行四邊形的面積=底×高”。這種讓學(xué)生對(duì)不同類型的平行四邊形進(jìn)行剪拼，并由一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)得出的結(jié)論，才能讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化方法的多樣性及結(jié)論的科學(xué)性、合理性。因此，我們要對(duì)“平行四邊形的面積”的教學(xué)進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)出科學(xué)、合理并有益于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

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［2］羅晉，李娜，董晶晶. 數(shù)方格法在求平行四邊形面積一課中的作用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2020（3）：50-51.

［3］王長(zhǎng)娥.《平行四邊形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.小學(xué)科學(xué)（教師版），2017（4）：94-95.

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［5］郜舒竹，李娟.平行四邊形的面積：從否認(rèn)到確認(rèn)［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（12）：4-8，17.