許志強(qiáng)

摘要：本文中以常見的動態(tài)問題為例歸納了瓜豆原理的簡單運(yùn)用，主要從動態(tài)變化過程中出現(xiàn)的全等型、位似型和旋轉(zhuǎn)型等幾種變化形式進(jìn)行分析，問題研究符合初中學(xué)生思維發(fā)展要求，借助此原理的研究，提高解決動態(tài)壓軸問題的能力，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：瓜豆原理；壓軸難題；模型特征；雙動點(diǎn)問題；動態(tài)問題

1 瓜豆原理

我們所說的“瓜豆原理”是數(shù)學(xué)問題中的一個動態(tài)問題——主從聯(lián)動.這類問題涉及到路徑問題，因此利用本模型解題，首先要明確“主動點(diǎn)”的路徑，再結(jié)合具體的問題分析“主動點(diǎn)”和“從動點(diǎn)”之間的關(guān)系，之后確定“從動點(diǎn)”運(yùn)動路徑的形狀，最終達(dá)到順利解題的目的.

1.1 模型特征

瓜豆原理實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的軌跡問題，它所涉及到的動點(diǎn)有兩個，一個看作是“瓜”，一個看作是“豆”，“主動點(diǎn)”是“瓜”，“從動點(diǎn)”是“豆”，根據(jù)瓜運(yùn)動的情況來判斷豆的變化軌跡，從而根據(jù)主動點(diǎn)運(yùn)動過程中的特殊位置變化，突破從動點(diǎn)運(yùn)動的路線，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題進(jìn)行解答.

1.2 模型思路

利用瓜豆原理解題，一般要做好以下五步：第一，根據(jù)問題情境確定主動點(diǎn)，并簡單作出主動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡；第二，確定從動點(diǎn)，判斷其與主動點(diǎn)之間的變化關(guān)系；第三，根據(jù)運(yùn)動情況確定主動點(diǎn)的特殊位置，一般是起點(diǎn)或者終點(diǎn)位置；第四，根據(jù)問題要求確定主動點(diǎn)的變化特點(diǎn)，從而明確從動點(diǎn)的運(yùn)動情況，再確定從動點(diǎn)的軌跡；第五，根據(jù)從動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡利用相關(guān)知識進(jìn)行解答，往往涉及長度、最值等問題.

2 原理應(yīng)用

這類模型在應(yīng)用過程中往往涉及到全等、位似及其旋轉(zhuǎn)的知識，故筆者從這三種模型分析瓜豆原理在初中數(shù)學(xué)壓軸問題中的破解方法.

2.1 全等模型

模型探究：如圖1，P為△ABC邊AC上的一點(diǎn)，以BP為邊長向一側(cè)作特殊三角形BPE（一般為等邊三角形或等腰直角三角形等），當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，判斷點(diǎn)E的運(yùn)動路徑.

結(jié)論：根據(jù)上述圖示2，首先確定點(diǎn)P運(yùn)動的起點(diǎn)和終點(diǎn)，確定好相對應(yīng)的點(diǎn)E的位置，分別記為點(diǎn)M，N，則MN即為點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡.連接BM和BN，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，可以判定△ABC與△BMN全等，進(jìn)而得到MN=AC.

典型例題1? 如圖3，在等邊三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動，連接PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊三角形DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，試求點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長．

分析：如圖4，連接DE，作FH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B＝60°.過點(diǎn)D作DE′⊥AB，則BE′＝12BD＝2，則點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，所以∠BDE＝30°，DE＝3BE＝23.接著證明△DPE≌△FDH，得到FH＝DE＝23，于是可判斷點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為23.當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時，作等邊三角形DEF1，則DF1⊥BC；當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于點(diǎn)Q，則△DF2Q≌△ADE.所以DQ＝AE＝8，從而F1F2＝DQ＝8.于是得到，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長為8．

2.2 位似模型

模型探究：如圖5，P為線段BC上一動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，取AP上一點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，如圖6，線段EF即為點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑．

結(jié)論：根據(jù)上述圖示6，可以進(jìn)一步得到EF∥BC，從而可以確定△AEF與△ABC相似，進(jìn)而得到AQAP=EFBC.

拓展探究：點(diǎn)P若在一圓（或弧線）上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡也是成為圓（或弧線）.

典型例題2? 如圖7，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，求PB的最小值．

分析：如圖8，根據(jù)中位線定理可得點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值.由矩形的性質(zhì)及已知數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為線段BP1的長，由勾股定理求解即可．

典型例題3? 如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，4），⊙P的半徑為2，A（2.6，0），B（5.2，0），M是⊙P上的動點(diǎn)，C是MB的中點(diǎn)，試求AC的最小值．

分析：如圖10，連接OP交⊙P于M′，連接OM．因?yàn)镺A＝AB，CM＝CB，所以AC∥OM，于是AC＝12OM.故當(dāng)OM最小時，AC最小.因此當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)M′時，OM最小.由此即可解決問題．

2.3 旋轉(zhuǎn)模型

模型探究：如圖11所示，A為定點(diǎn)，∠PAQ為定值，APAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，則點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑也是直線.

結(jié)論：如圖12，當(dāng)∠PAQ<90°時，直線BC與MN的夾角等于∠PAQ.

拓展探究：如圖13，A為定點(diǎn)，∠PAQ為定值，APAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動時，則點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑也是圓（如圖14虛線所畫⊙M）.

結(jié)論：∠PAQ=∠OAM；APAQ=AOAM=OPMQ.

典型例題4? 如圖15，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是AB〖TX（〗上的動點(diǎn)．以BC為邊作正方形BCDE，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動至點(diǎn)B時，求點(diǎn)D經(jīng)過的路徑長．

分析：如圖16，延長BO交⊙O于點(diǎn)F，取BF〖TX（〗的中點(diǎn)H，連接FH，HB，BD．易知△FHB是等腰直角三角形，則HF＝HB，∠FHB＝90°.由∠FDB＝45°＝12∠FHB，推出點(diǎn)D在⊙H上的運(yùn)動路徑是GB〖TX（〗，易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，進(jìn)而得到∠GHB＝120°，易知HB＝32，利用弧長公式即可解決問題．

3 模型反思

上述模型問題的研究，實(shí)際上考查了學(xué)生對問題的操作經(jīng)歷的體驗(yàn)，既考查了學(xué)生的觀察力和思考力，更重要的是對學(xué)生應(yīng)用能力的檢驗(yàn)，又要結(jié)合問題情景，對號入座，靈活應(yīng)用.根據(jù)問題所展示的相關(guān)內(nèi)容，對瓜豆原理進(jìn)行如下總結(jié)：其一，兩動點(diǎn)之間的變化關(guān)系一致；其二，兩動點(diǎn)運(yùn)動路徑的比例關(guān)系一致；其三，運(yùn)動過程中路徑的形狀與大小的變化及其特殊位置的確定.

綜上所述，瓜豆原理在形式上和解法上給我們提供了簡單而又易操作的解題方法，可謂是“種瓜得瓜，種豆得豆”.但是，僅僅掌握這些還不夠的，還需要我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深入研究，不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能從問題情境中獲得直觀感受，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得模型意識和模型思想，并在解題訓(xùn)練過程中不斷進(jìn)行遷移拓展，形成數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]幸世強(qiáng)，趙清華.數(shù)學(xué)思維方法的實(shí)踐樣態(tài)[J].教育科學(xué)論壇，2021（22）：60-62.

[2]鄒玉峰.探索動點(diǎn)的軌跡解動態(tài)幾何問題[J].數(shù)理化解題研究，2020（20）：17，101.

[3]劉志剛.如何知道“我”的運(yùn)動軌跡——與運(yùn)動有關(guān)的軌跡求值問題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2022（3）：24-25.

[4]張杰.淺談中考中的運(yùn)動軌跡問題[J].考試（中考版），2013（3）：50-52.