李幽蘭

初中平面幾何中，由圖形運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的最值問題歷來是學(xué)生解題的難點(diǎn)，究其原因是圖形一直在變化，學(xué)生無法捕捉到運(yùn)動(dòng)變化背后“不變”的元素，難以分析出取最值時(shí)變化元素的位置，也就無法根據(jù)具體圖形分析求解[1]．其中，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)求最值問題，熱度一直高居不下，近幾年常“駐”各地中考選填題和幾何綜合題的壓軸位置，令莘莘學(xué)子頭疼畏懼.下面筆者分享一道題目的解法和變式的深入探究，希望給讀者一點(diǎn)啟發(fā).

題目? （武漢蔡甸2021＼5第10題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=－12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P（1，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q′，連接OQ′，則OQ′的最小值為（? ）.

A．455

B．5

C．523

D．655

解法1：（坐標(biāo)法）分別過點(diǎn)Q和Q′作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和N，如圖2.

于是∠QMP=∠PNQ′=90°，則

∠PQ′N+∠NPQ′=90°.

因?yàn)椤螿PQ′=∠QPM+∠NPQ′=90°，則

∠PQ′N=∠QPM.

又PQ=Q′P，所以

△PMQ≌△Q′NP（AAS）.

故PM=Q′N，QM=PN.

設(shè)Qa，－12a+2.因?yàn)?/p>

P（1，0），所以

PM=Q′N=a－1，QM=PN=－12a+2.

于是ON=OP+PN=3－12a.

所以

Q′3－12a，1－a.

所以O(shè)Q′=ON2+Q′N2

=3－12a2+（1－a）2

=54（a－2）2+5

≥5.

故選答案：B.

點(diǎn)評(píng)：解法1抓住平面直角坐標(biāo)系中的有利條件，構(gòu)造了 “一線三垂直”模型證三角形全等.首先設(shè)未知數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用坐標(biāo)來表示線段長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后由勾股定理表示兩點(diǎn)之間的距離，用含x的式子將OQ′表示出來，最后運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出最值.這種方法雖然很巧妙、簡(jiǎn)便，但是有一定的局限性，只能用于有坐標(biāo)系且旋轉(zhuǎn)角度特殊的題目.

解法2：（軌跡法）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′，則Q′為直線A′B′上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，OQ′的最小值為點(diǎn)O到直線A′B′的垂線段的長(zhǎng)度d.

由直線AB的解析式為y=－12x+2，得

A（0，2），B（4，0），所以

OA=2，OB=4.

由題意，得O′（1，1），

A′（3，1），B′（1，－3）.

設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，

則有3k+b=1，k+b=－3，解得k=2，b=－5.

于是直線A′B′的解析式為

y=2x－5，則

E52，0，F(xiàn)（0，－5），故

OE=52，OF=5.

所以EF=OE2+OF2=522+52=552.

由S△OEF=12OE·OF=12EF·d，得OQ′的最小值為

OE·OFEF=52×5552=5.

點(diǎn)評(píng)：解法2由旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)出發(fā)，直線AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線A′B′即為動(dòng)點(diǎn)Q′的軌跡，但直接求直線A′B′的解析式不方便，因此旋轉(zhuǎn)整個(gè)△AOB，先求出點(diǎn)A′和B′的坐標(biāo)，再求直線A′B′的解析式，最后用面積法求出點(diǎn)O到直線A′B′的距離.當(dāng)然，在求出了直線A′B′的解析式后，也可以由此設(shè)Q′的坐標(biāo)，用解法1中的坐標(biāo)法，運(yùn)用勾股定理和二次函數(shù)來求最值.解法2適用于大部分的動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)求最值問題，即先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

解法3：（逆向軌跡法）OQ′的最小值其實(shí)是定點(diǎn)O到直線y=－12x+2繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到直線的距離，問題可轉(zhuǎn)化為O′（1，－1）（由點(diǎn)O繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到）到直線y=－12x+2的距離d.

如圖4，過點(diǎn)O′（1，－1）作O′A垂直于x軸交直線y=－12x+2于點(diǎn)A，O′B垂直于y軸交直線y=－12x+2于點(diǎn)B.

于是A1，32，B（6，－1），所以

O′A=52，O′B=5.

故AB=O′A2+O′B2=522+52=552.

由S△AO′B=12O′A·O′B=12AB·d，得O′Q的最小值為

O′A·O′BAB=5，即為OQ′的最小值.

點(diǎn)評(píng)：解法3在求O′Q的最小值時(shí)同樣可以用解法1的坐標(biāo)法來求，在本質(zhì)上它與解法2是一樣的，都是將所求最值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)到定直線的距離，但是解法3對(duì)解法2進(jìn)行了簡(jiǎn)化，免去了求直線y=－12x+2旋轉(zhuǎn)后的直線解析式，直接旋轉(zhuǎn)定點(diǎn)O，思路新穎巧妙.

變式1? 在Rt△AOB中，OA=2，AB=4，P是OB上一點(diǎn)，OP=1，Q是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)Q′，連接OQ′，則OQ′的最小值為.

解析：點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)Q的軌跡為AB，那么將AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)就能得到點(diǎn)Q′的軌跡.于是，將△AOB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A′O′B′，如圖5，則點(diǎn)O到A′B′的距離即為OQ′的最小值.

由旋轉(zhuǎn)，得∠BPB′=30°.

在Rt△AOB中，OA=2，AB=4，

所以∠B=∠B′=∠BPB′=30°，

于是A′B′∥OB，則

∠AEB′=∠AOB=90°.

所以點(diǎn)O到A′B′的距離為OE的長(zhǎng)度.

如圖5，過點(diǎn)B′作B′F⊥OB于點(diǎn)F，則∠B′FP=90°，于是四邊形OEB′F是矩形.

由OB=AB2－OA2=42－22=23，OP=1，得

BP=B′P=23－1.

∠B′FP=90°，∠BPB′=30°，所以

B′F=12B′P=23－12.

故OQ′的最小值為OE=23－12.

變式1沒有坐標(biāo)系背景，顯然解法1不適用，而運(yùn)用解法3，將點(diǎn)O繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°以后再求O′到AB的距離較為麻煩，經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，此題解法2是最簡(jiǎn)便的.

類似地，還可以變化圖形形狀和旋轉(zhuǎn)角度，解法一樣.

變式2? 如圖6，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，AD=2，BD=4，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)E繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連CF，則CF的最小值是.

基于以上分析，我們可以總結(jié)：解決這類繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的最值問題有三種方法，分別為坐標(biāo)法、軌跡法、逆向軌跡法，根據(jù)不同的題目來選擇合適的方法，最常用的是軌跡法.若是動(dòng)點(diǎn)所在的直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則先確定動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的軌跡，再根據(jù)垂線段最短求點(diǎn)到直線的距離，最后解直角三角形得到所求最值.

動(dòng)態(tài)問題解題的關(guān)鍵是在“動(dòng)”中尋找“定”的量，再由這些定量探尋出動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡，從而根據(jù)軌跡分析出最值位置，即“由動(dòng)尋定，由定定軌，由軌求最”[2]．題目只是知識(shí)方法的一個(gè)素材，解題的過程能讓學(xué)生理解知識(shí)的原理，提煉方法的本質(zhì)，注重解法的策略，總結(jié)問題的歸類，從而達(dá)到利用有限的題目實(shí)現(xiàn)無限的再創(chuàng)造．由解一道題變成會(huì)解一類題，乃至通解一種體系的題，這也是解題教學(xué)的方向[1].

參考文獻(xiàn)：

[1]郭源源.旋轉(zhuǎn)位似“似”成雙 定點(diǎn)定形“軌”一致[J].教學(xué)月刊＼5中學(xué)版（教學(xué)參考），2020（10）：11-15.

[2]郭源源.“定量”構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)軌跡 “隱圓”巧解最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（10）：42-44.