刁琴 石勇國

課題信息：本文系四川省首批一流專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)建設(shè)點(diǎn)”（YLZY201902），2022年內(nèi)江市教育局高?；A(chǔ)教育研究專項(xiàng)課題“HPM視角下城鄉(xiāng)初中數(shù)學(xué)德育的實(shí)踐研究”的研究成果.石勇國系通訊作者.

摘要：幾何問題是中考熱點(diǎn)題型的重難點(diǎn)問題，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)面寬，變量多，圖形復(fù)雜.結(jié)合2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學(xué)壓軸題的點(diǎn)評(píng)，給出教學(xué)上的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；三角形相似；動(dòng)點(diǎn)；動(dòng)角

從近年全國各省市中考來看，動(dòng)態(tài)幾何題已成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題，有較好的區(qū)分度，具備探究的功能，有力地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).然而這類題難度大，知識(shí)點(diǎn)跨度寬，多數(shù)學(xué)生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學(xué)壓軸題為例，利用歸納、類比、猜想、化歸的數(shù)學(xué)思維，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解分析；同時(shí)點(diǎn)評(píng)了該題的考點(diǎn)、區(qū)分度、命題設(shè)計(jì)，并且給出了變式拓展以及教學(xué)上的幾點(diǎn)建議.

1 試題求解分析

題目? 在△ABC與△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，且∠CAB=∠CDE=θ，點(diǎn)D始終在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合）.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若θ=45°，分別求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

（2）類比探究：如圖2，若θ=30°，試求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)AC=23時(shí)，BM的最小值為多少？

本題第（1）（2）問是角∠CAD=θ為變化參數(shù)，當(dāng)θ分別取為特殊值時(shí)，依次發(fā)現(xiàn)△ACD和△BCE全等與相似，求得∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

第（3）問是固定角∠CAB，動(dòng)點(diǎn)是D，抓住∠DBE=90°的條件，利用直角三角形中線定理和θ=30°，則問題轉(zhuǎn)化為求CE的最小值，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為在靜態(tài)狀態(tài)下求解.

第（1）問從特殊的值入手，證明三角形全等.根據(jù)等腰直角三角形ABC與三角形CDE的邊角關(guān)系，易證△ACD≌△BCE，進(jìn)而∠DBE=90°，BEAD=1.

對(duì)于第（2）問，利用類比、歸納，發(fā)現(xiàn)不變量.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，判定Rt△ABC∽R(shí)t△DEC，有

BCAC=ECCD=13=33.

根據(jù)相似三角形的判定定理，即兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，確定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ，∠DBE=90°，

以及相似比

BEAD=BCAC=33.

猜想：不管角θ多大，均有△ACD∽△BCE，而且∠DBE是直角.

證明方法類似.

第（3）問利用化歸的方法，轉(zhuǎn)化最值問題進(jìn)行求解.根據(jù)兩個(gè)不變量

△ACD∽△BCE，∠DBE=90°，結(jié)合

M是DE的中點(diǎn)、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°，得到

BM=ME=MD=CE.

所以，求BM的最小值，即求CE的最小值.根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊，可知當(dāng)CE⊥BE時(shí)，CE最小，如圖3.

因?yàn)锳C=23，θ=30°，于是CE=BM=12BC=1.

2 試題點(diǎn)評(píng)

2.1 考點(diǎn)知識(shí)面寬，區(qū)分度明顯

試題第（1）問考查了三角形全等的判定.第（2）問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗(yàn)證.第（3）問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊，以及最值問題.題中附帶的兩圖，包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個(gè)三角形，3個(gè)四邊形.涉及2個(gè)變量，即1個(gè)角度變量∠CAD，1個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.考點(diǎn)從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形，從角度變化到動(dòng)點(diǎn)變化，從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明，考點(diǎn)之間有機(jī)融合，三個(gè)小問區(qū)分度明顯，是一道非常好的幾何壓軸題.

2.2 考題變中有定，動(dòng)中有靜

該題有兩個(gè)變量，同時(shí)在變化中也有兩個(gè)不變量：一是△ACD∽△BCE；二是∠DBE是直角.

為了分解題目的難度，將變量θ依次取特殊值進(jìn)行設(shè)問.第（1）問以簡單特殊值入門，讓考生初步嘗試；第（2）問以另外一個(gè)特殊值進(jìn)一步探索，通過類比、歸納、猜想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)不變量.第（3）問將變量θ設(shè)置為固定值，以D為動(dòng)點(diǎn)求最值.通過化歸的方法，將動(dòng)態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的靜態(tài)最值問題，最后得到解.

題目設(shè)計(jì)以學(xué)生為中心，讓學(xué)生從考題中享受探索發(fā)現(xiàn)、類比猜想、驗(yàn)證證明的樂趣.選題動(dòng)靜結(jié)合，從特殊到一般，在變化之中尋找不變量，在動(dòng)態(tài)之中尋找最小值.三個(gè)小問由易到難、逐步深入，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)銜接順暢，設(shè)計(jì)精巧，是一道適合探索研究的好題.

2.3 考題變化有度，適合變式訓(xùn)練

本題有兩個(gè)變量，因此可以設(shè)計(jì)較多的變式拓展的訓(xùn)練題.例如下面的問題（4）：

（4）若θ=60°，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)AC=2時(shí)，BM的最小值為多少？

另外考慮點(diǎn)D可能在AB的延長線上，可以設(shè)計(jì)如下問題（5）：

（5）若θ=60°，且D在直線AB上（不與A，B重合），點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn).若AC=2，當(dāng)△BMC為直角三角形時(shí)，求BE的長.

分析：分類討論，考慮點(diǎn)D在線段AB上和在其延長線上兩種情形，如圖4，圖5.由△ACD∽△BCE，可得

∠ABE=90°，BE=3AD.

再由直角三角形中線定理，可得

CM=BM=12DE.

由勾股定理，得BM2+CM2=BC2，可知DE=26.設(shè)AD=x，則

BE=3AD=3x，DB=4-x.

在Rt△DBE中，利用勾股定理，得BE=3+3.

另外一種情形，類似可得BE=3-3.

3 教學(xué)建議

（1）培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與直觀想象能力

針對(duì)幾何題，引導(dǎo)學(xué)生讀題并且聯(lián)想變化過程、繪制多幅圖展示動(dòng)態(tài)過程，從題目中提取關(guān)鍵信息，在眾多的三角形中找出全等或相似三角形，利用相似比，根據(jù)三角形重要定理，列出邊角所具有的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的方式，對(duì)題目進(jìn)行雙重表述，鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.

（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式

按照數(shù)學(xué)的思維方式傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的四種數(shù)學(xué)思維：從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)遇到問題時(shí)該如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉一反三、變換化簡、反向思考，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維方法，能夠用數(shù)學(xué)的眼光看問題，了解問題的本質(zhì)，分析出難點(diǎn)，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)求解過程，以此訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（3）教學(xué)融入德育實(shí)踐

對(duì)復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)幾何題分析不難發(fā)現(xiàn)，變量在變化過程中常常會(huì)出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索，排除動(dòng)態(tài)變化的干擾，用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，大膽猜測，小心求證.教學(xué)中要融入德育實(shí)踐，在潤物細(xì)無聲中，培養(yǎng)了學(xué)生講理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?，鼓?lì)學(xué)生認(rèn)識(shí)與評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成正確的理想信念，增強(qiáng)學(xué)生的興趣與自信心，培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔、謙虛謹(jǐn)慎與志存高遠(yuǎn)的品質(zhì)，以及追求創(chuàng)新的精神.