凌四營， 劉遠航， 龔海鋒， 王奉濤， 凌 明*

（1. 汕頭大學 智能制造技術教育部重點實驗室， 廣東 汕頭 515063；2. 大連理工大學 微納米技術及系統(tǒng)遼寧省重點實驗室， 遼寧 大連 116023）

1 引言

齒距偏差反映了齒輪的加工精度，影響傳動的準確性和平穩(wěn)性，如果過大會在傳動過程中產(chǎn)生較大的分度誤差、加速度力、動載荷、振動和噪音。減小齒距偏差對于提高齒輪傳動精度及傳動平穩(wěn)性有著積極的意義。我國圓柱齒輪精度制GB/T 10095.1 和國際標準ISO 1328-1 也規(guī)定了單個齒距偏差fp、齒距累積總偏差Fp作為齒輪幾何精度的五個必檢項目之二（其他三項分別為齒廓總偏差Fα、螺旋線總偏差Fβ和齒厚s）［1-2］。

為了保證齒輪測量儀器的測量精度和齒輪幾何參數(shù)的量值統(tǒng)一，需要各種齒輪標準器對齒輪幾何參數(shù)進行量值溯源、量值傳遞和量值比對?？紤]到高精度齒輪的加工難度，通常將齒輪的必檢幾何參數(shù)分離出來，分別加工齒距樣板、漸開線樣板、螺旋線樣板和齒厚樣板傳遞齒輪的幾何參數(shù)。其中，齒距樣板主要用于校準齒輪測量儀器的齒距累積總偏差測量示值誤差、單個齒距偏差測量重復性和回轉(zhuǎn)臺角定位誤差［3-4］。

在齒輪國際量值比對項目COOMT. L-S18中，所使用的齒距樣板的法向模數(shù)和齒數(shù)分別為mn=3 mm，z=34，單個齒距偏差fp=1.8～3.2 μm，齒距累積總偏差Fp=6.2～10.0 μm［5］。在齒輪國際量值比對項目EURAMET. L-S24 中，所使用的齒距樣板的法向模數(shù)和齒數(shù)分別法向模數(shù)和齒數(shù)分別為mn=4 mm，z=37，單個齒距偏差fp=0.8～2.5 μm，齒距累積總偏差Fp=2.6～5.6 μm［6］。上述用作國際量值比對的齒距樣板的齒距偏差偏大，其制造精度仍有提升空間。

大連理工大學高精度齒輪實驗室對Y7125大平面砂輪磨齒機進行改進，實現(xiàn)了1 級精度標準齒輪的加工，單個齒距偏差fp=0.6～2.0 μm，齒距累積總偏差Fp=2.0～3.6 μm（法向模數(shù)和齒數(shù)分別為mn=2 mm，z=60，mn=4 mm，z=30，mn=6 mm，z=20）［7-8］。

考慮到高精度齒距樣板的加工難度，業(yè)界也一直在尋求利用簡單幾何形體的組合傳遞齒輪幾何參數(shù)的方法，Komori 等［9］通過多球式樣板作為齒距樣板使用，Wang 等［10］利用多球式樣板校準回轉(zhuǎn)臺的誤差，Kniel 等［11］通過一種“three-rosette”方法可以分離出多球式樣板的制造誤差、回轉(zhuǎn)臺分度誤差和儀器測量誤差，這種多球式樣板具有結(jié)構(gòu)簡單、零部件加工精度高的優(yōu)點。但是這種多球式樣板球數(shù)較少（一般為6～12 個球），測量流程較為繁瑣而且精度穩(wěn)定性稍遜于傳統(tǒng)的齒輪。

為了能進一步提高齒距樣板的加工精度，以滿足齒輪量值體系對齒距校準和測量不確定的更高要求。本文基于誤差均化效應，設計了一種多齒定位爪，將Y7125 磨齒機的分度系統(tǒng)升級為多齒定位分度機構(gòu)，利用多齒定位的誤差均化效應提高磨齒機分度系統(tǒng)的分度精度，采用“正弦消減法”對分度盤位置進行調(diào)整，最終進行了加工對比實驗。

2 多齒定位系統(tǒng)的誤差均化

2.1 Y7125 大平面砂輪磨齒機分度機構(gòu)的工作原理

本文所待加工的齒距樣板結(jié)構(gòu)如圖1 所示，設計參數(shù)如表1 所示。

表1 齒距樣板的設計參數(shù)Tab.1 Design parameters of gear pitch artifact

圖1 齒距樣板結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of gear pitch artifact

實驗室所用Y7125 型大平面砂輪磨齒機如圖2（a）所示，磨齒機的分度系統(tǒng)為單齒定位爪-分度盤式分度機構(gòu)，分度原理如圖2（b）所示。定位爪為單齒結(jié)構(gòu)，分度盤與待加工齒距樣板同軸，分度時，單齒定位爪在凸輪和彈簧的作用下完成一次起落，卡入分度盤下一個齒槽中，完成一次分度。這種單齒定位爪-分度盤式分度機構(gòu)的分度精度依賴于分度盤自身的齒距加工精度和安裝精度，在理想狀況下，分度盤每次被卡爪固定時的位置是不變的，但由于卡爪與分度盤的安裝誤差以及分度盤的加工誤差的存在，導致在卡爪進入齒槽時會使分度盤相對于理論位置產(chǎn)生微小的轉(zhuǎn)動，導致分度不準確，進而影響待加工齒距樣板的齒距偏差。而且利用這種單齒定位分度機構(gòu)磨削相近規(guī)格的直齒標準齒輪時，分度機構(gòu)的分度誤差會放大約24%后復映到待磨齒距樣板上［12］。所以為了降低待磨齒距樣板的齒距偏差，必須降低分度機構(gòu)的分度誤差。

圖2 Y7125 大平面砂輪磨齒機及其分度機構(gòu)Fig.2 Y7125 gear grinding machine with a large surface grinding wheel and its indexing mechanism

誤差均化效應是指兩定位元件接觸時，一件的尺寸偏向體外的誤差最大處先與另一件接觸，接觸后由于負載引起的接觸變形和相對磨損，每個接觸點的誤差值逐步接近，工作點迅速擴大，最終使定位元件的系統(tǒng)誤差將是所有接觸點的誤差的平均值，從而使系統(tǒng)的定位精度大幅提高［13］。誤差均化效應廣泛應用于高精度定位裝置如靜壓導軌、密珠回轉(zhuǎn)軸系和端齒分度盤中［14-16］?；谡`差均化效應，本文將Y7125 大平面砂輪磨齒機的單齒定位分度機構(gòu)改進為多齒定位分度機構(gòu)，通過增加參與定位的齒面，對分度盤的分度誤差進行均化，以減小分度盤的制造誤差對待磨齒距樣板的誤差復映，提高齒距加工精度。

2.2 定位系統(tǒng)的接觸變形

首先考慮單齒定位爪與分度盤的接觸變形。因為定位爪與分度盤的接觸僅進行分度定位而不進行嚙合傳動，所以定位爪與分度盤間的接觸可以視為Hertz 接觸，其接觸模型如圖3 所示。

圖3 定位爪與分度盤的接觸變形Fig.3 Deformation of the position claw in contact with the indexing gear

在接觸處，分度盤的漸開線齒廓可以視為直徑為2ρ的圓柱（ρ為接觸處漸開線的展開長度），定位爪可以視為平面，所以，定位爪和分度盤的接觸變形δ滿足：

以Y7125 磨齒機和其常用的齒數(shù)為z=120的分度盤（參數(shù)如表2 所示）為例，式中，彈簧拉力F=50 N，分度盤壓力角α=15°，本文所用定位爪和分度盤材料分別為40Cr 和球墨鑄鐵，楊氏模量分別為E1=211 GPa，E2=169 GPa，泊松比v1=0.277，v2=0.275［17-18］，接觸處漸開線的展開長度ρ=46mm。計算可得，單齒定位爪與分度盤間的接觸變形為0.02 μm（多齒定位爪因接觸點更多接觸壓力更小所以變形也更?。?，不足分度誤差的1/10，可以忽略。利用ANSYS 對單齒定位爪與分度盤接觸的局部簡化模型進行仿真，仿真如圖4 所示，接觸處齒面變形量小于0.03 μm，齒面的最大應力出現(xiàn)在接觸點附近，驗證了上述結(jié)論。

表2 Y7125 磨齒機齒數(shù)z=120 的分度盤的參數(shù)Tab.2 Design parameters of gear pitch artifact

圖4 ANSYS 接觸仿真Fig.4 Contact simulation by ANSYS

考慮到定位爪與分度盤間的接觸變形僅為幾十納米，而單個齒距樣板的加工周期內(nèi)定位爪和分度盤的磨損可以忽略。所以本文不考慮磨齒過程中定位爪與分度盤接觸時的接觸變形與相對磨損，誤差均化效應主要為多齒定位爪參與定位時對分度盤齒距偏向體外的大誤差齒面的篩選。

2.3 多齒定位的誤差均化

當分度盤存在安裝偏心時，分度盤的實際分度誤差滿足：

其中：ed為分度盤的安裝偏心，φ為分度盤的偏心相位，em為分度盤的制造誤差。為了便于分析，本文將分度盤在分度圓上的與理論位置偏移的距離作為分度誤差，而不以角度表示。

分度盤的分度誤差曲線由一次諧波分量（對應分度盤安裝偏心和分度盤齒距偏差中的一次諧波分量）、二次諧波分量（對應分度盤齒距偏差中的二次諧波分量）、隨機信號（對應分度盤齒距偏差中的隨機制造誤差）組成：

其中：a1為一次諧波分量的幅值，a2為二次諧波分量的幅值，t為隨機誤差，i為分度盤的齒序，z為分度盤的齒數(shù)。

以Y7125 磨齒機常用的齒數(shù)為z=120 的分度盤為例，在MATLAB 軟件中構(gòu)造齒數(shù)z=120的分度盤的分度誤差曲線，以得到的曲線（式（4））為基礎進行數(shù)據(jù)仿真驗證，a1=5 μm，a2=2 μm，t的幅值為1 μm。

其中：El為分度盤左齒面分度誤差，Er為分度盤右齒面分度誤差。

單齒定位爪和分度盤接觸，進行一次定位時產(chǎn)生的理論分度誤差Es（i）為齒槽左右齒面分度誤差的平均值：

多齒定位爪使臨近的多個齒面都參與定位，對接觸齒面的分度誤差進行均化，使一次定位產(chǎn)生的分度誤差明顯減小，其理論分度誤差Em（i）為接觸齒面分度誤差的平均值。其理論分度誤差為：

式中，n代表定位爪齒數(shù)。

基于以上理論，利用MATLAB 仿真驗證多齒定位爪的誤差均化效應，仿真結(jié)果如表3 和圖5 所示。首先考慮在理論狀態(tài)下，分度盤的八個齒面與四齒定位爪同時接觸的情況，此時分度盤的分度誤差由單齒定位爪參與定位時1.09 μm的分度誤差降低至0.42 μm，下降61%。但是在實際加工過程中，由于加工誤差和安裝誤差的存在，多齒定位爪無法保證所有齒面均參與定位，下面考慮多齒定位爪部分齒面參與定位的情況。多齒定位爪的部分齒面參與定位時，分度盤分度誤差偏向體外的大誤差齒面先與多齒定位爪接觸。當多齒定位爪半數(shù)齒面參與定位時（四個齒面），分度誤差降低為0.51 μm，下降53%。當多齒定位爪只有兩個齒面參與定位時，分度誤差降低為0.78 μm，仍可下降28%。所以即使只有兩個齒面參與定位，多齒定位爪依靠其對大誤差齒面的篩選作用仍能起到一定的誤差均化作用。

表3 誤差均化仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results of error average

圖5 單齒和多齒定位爪定位時分度誤差的比較Fig.5 Comparison of indexing errors between four claws and one claw

2.4 分度精度保持性仿真驗證

分度盤在使用過程中，除正常磨損外，可能會出現(xiàn)分度盤個別齒面損傷（齒距偏向體內(nèi)），如果使用單齒定位爪時以損壞的齒槽進行定位，誤差會直接反映到被加工齒輪上，導致加工出來的齒輪齒距精度變低。而使用多齒定位爪時，定位爪的誤差均化作用有減小分度盤損傷所帶來影響的可能，下面利用數(shù)據(jù)仿真的方法對其進行驗證：以2.1 節(jié)中的分度盤加工齒數(shù)z=30 的標準齒輪為例，在分度盤的第5 個齒的左齒面設置一損傷量（其分度誤差初始值為-0.3 μm，損傷后為-2.0 μm），再次進行仿真，多齒定位爪的工作條件為半數(shù)齒面參與定位。

如圖6 所示，使用單齒定位爪時，齒輪的單個齒距偏差在分度盤磨損處發(fā)生了明顯的改變，而多齒定位爪磨損前后的曲線完全重合，說明多齒定位爪具有更好的分度精度保持性，依靠多齒定位的誤差均化效應，能夠忽略分度盤一定的磨損量，使分度系統(tǒng)的分度精度更穩(wěn)定。

圖6 分度盤磨損前后被磨齒輪單個齒距偏差的比較Fig.6 Comparison for ground gears of single pitch deviations before and after wear of the indexing gear

3 多齒定位爪的設計

為保證理想情況下多齒定位爪的全部齒面均能與分度盤接觸、參與定位，本文設計了一種齒爪兩側(cè)為非對稱結(jié)構(gòu)的多齒定位爪［19］，如圖7和圖8 所示，下面是多齒分度爪的具體設計方法。

圖7 多齒定位爪定位原理Fig.7 Positioning principle of the multi-tooth positioning claw

圖8 單齒（左）和多齒（右）定位爪Fig.8 Single tooth （left） and multi-tooth （right） positioning claw

首先，過分度盤齒槽的齒中部做一條平行于分度圓切線的直線，該直線與分度盤齒廓的交點為多齒分度爪與分度盤的接觸點，以Y7125 磨齒機齒數(shù)z=120 的分度盤為例，此時切線與分度盤齒廓的交點有12 個，但有4 個靠近齒頂部，所以對于本文所用齒數(shù)z=120 的分度盤，本文選擇設計四齒定位爪（8 個齒面）；然后，在每個接觸點處做齒廓的切線，引出的齒廓切線即為定位爪的齒面；最后，將相鄰面的齒根與齒頂位置均用一段圓弧面光滑連接，所有齒爪的齒高相等，齒頂在最遠接觸點下方的2～4 mm 處，以使定位時齒爪上的每個齒面都與對應的分度盤的齒面同時接觸，且能保證在接觸面法向有微小位移便可以完全脫離，使多齒定位爪在分離過程中不與分度盤發(fā)生干涉。

考慮到多齒定位爪的加工誤差和安裝誤差，設計時將定位爪底座的厚度取小20～30 μm，安裝多齒分度爪時根據(jù)多齒定位爪與分度盤齒面的光隙判斷多齒分度爪的齒面與分度盤齒面的接觸狀況，通過在多齒定位爪和定位爪底座間添加墊片并研磨多齒定位爪的安裝面和齒面調(diào)整多齒定位爪的安裝位置，以達到多齒參與定位的效果。

4 齒距樣板的加工與測量

4.1 齒距測量裝置與測量方法

本文所用的齒距測量裝置如圖9 所示，經(jīng)標定后，端齒分度臺的分度誤差為0.5″，對本文所制造齒距樣板單個齒距偏差的影響約0.15 μm，影響較小。而測量芯軸相對于端齒分度臺回轉(zhuǎn)軸線的安裝偏心對齒距偏差的影響較顯著，為齒距樣板加工和測量的主要誤差源。測量時為消除被測齒距樣板安裝誤差對測量結(jié)果的影響，本文利用多步法［20］測量齒距偏差，多步法的測量原理如下：

圖9 齒距測量裝置Fig.9 Gear pitch measuring instrument

齒距樣板安裝偏心對齒距累積總偏差的影響為：

其中：eg為安裝偏心，待磨齒距樣板的壓力角α=20°，φg為偏心相位。

安裝偏心誤差對齒距累積總偏差的影響呈一次諧波變化趨勢，周期為2π。所以可以根據(jù)周期誤差的特性，將被測齒輪相對于測量芯軸旋轉(zhuǎn)周期的一半（180°）再次進行測量，對于同一個齒而言，測量芯軸的安裝偏心對于兩次測量結(jié)果的影響量大小相等、方向相反，即可以通過將兩組測試結(jié)果取平均的方式消除測量芯軸安裝偏心對于測量結(jié)果的影響。利用多步法測量時，該儀器測量不確定度U95=0.3 μm［21］，滿足1 級精度齒距偏差的測量要求。

測量室溫度為（20±0. 5）℃，測量時被測齒距樣板在測量室時靜置24 h 后進行測量，齒距偏差在每個相位均進行五次以上的測量，并將其中五次無粗大誤差的測量結(jié)果取平均值作為最終測量結(jié)果。

4.2 齒距樣板加工工藝

4.2.1 待磨齒距樣板安裝位置的調(diào)整

除分度系統(tǒng)的分度誤差外，在加工高精度齒距樣板時，還需要考慮待磨齒距樣板的安裝偏心對齒距偏差的影響?？紤]到目前該規(guī)格齒距樣板的齒距累積總偏差通常在2 μm 以上，所以當待磨齒距樣板的安裝偏心小于0.3 μm 時，安裝偏心對齒距偏差的影響是可以接受的。

待磨齒距樣板在磨齒機上的安裝如圖10（a）所示，磨齒芯軸通過壓環(huán)和緊定螺釘安裝在磨齒機上，通過調(diào)整磨齒芯軸上的調(diào)整螺釘調(diào)整磨齒芯軸的位置，使磨齒芯軸相對于主軸回轉(zhuǎn)軸線的徑向跳動誤差小于0.3 μm，調(diào)整過程如圖10（b）所示，然后通過單邊過盈2～3 μm 的密珠軸套將待磨齒距樣板安裝在磨齒芯軸上，并通過平墊圈、十字墊圈、鎖緊螺母固定。下面進行分度盤安裝位置的調(diào)整。

圖10 待磨齒距樣板安裝位置的調(diào)整Fig.10 Adjustment for location of ground gear pitch artifact

4.2.2 分度盤安裝位置的調(diào)整

首先對分度盤的安裝位置進行粗調(diào)，分度盤齒數(shù)z=120，通過電感測微儀測量分度盤基準外圓柱面的徑向跳動，如圖11 所示，將分度盤徑向定位外圓柱面相對于磨齒機主軸回轉(zhuǎn)軸線的徑向跳動誤差降低到10 μm 以下，然后對齒距樣板進行試磨，在加工時，將待磨齒距樣板的1 齒對準分度盤上的1 齒，分度盤的90 齒與單齒定位爪接觸。

圖11 分度盤安裝位置的調(diào)整Fig.11 Adjustment for location of indexing gear

磨后對齒距樣板進行時效處理，然后進行測量。測量方法如上節(jié)所述，測量結(jié)果如圖12 所示。其一次諧波分量為：

圖12 試磨齒距樣板的齒距累積偏差Fig.12 Cumulative pitch deviation of test gear pitch artifact

其幅值為1.19 μm，出現(xiàn)在齒距樣板的7 齒（83.7°）。不妨認為被磨齒距樣板齒距累積總偏差中的一次諧波分量都是由于分度盤的安裝偏心引起的，根據(jù)一次諧波分量的幅值與相位角，通過徑向調(diào)偏分度盤進行誤差補償即可減小被磨齒輪的齒距偏差。分度盤安裝偏心對被磨齒距樣板齒距累積總偏差的影響為：

其中：r為待磨齒距樣板的分度圓半徑，R為分度盤的分度圓半徑，本文r=60 mm，R=135 mm。

依式（8）和式（9）計算分度盤的調(diào)整量與調(diào)整相位，單齒定位爪與分度盤的實際接觸位置滯后于待磨齒距樣板1 齒90°，所以分度盤的實際調(diào)整相位角為-6.31°，即由分度盤的120 齒指向60齒，調(diào)整量為2.68 μm。

調(diào)整前被磨齒距樣板的齒距累積偏差為3.4 μm，如果將一次諧波分量全部消減，預計調(diào)整后的累積差為2 μm。進行第二次磨齒實驗，調(diào)整完畢后再次進行磨削，測量其齒距偏差。齒距累計總偏差由3.4 μm 下降到2.3 μm，該齒距累積偏差可以接受，不再對分度盤的安裝位置進行進一步的調(diào)整。殘留的一次諧波分量可能與齒距樣板在磨齒時的安裝偏心、分度盤的調(diào)整誤差、磨齒時的隨機誤差等因素有關。

4.2.3 分度盤使用齒序的選擇

本文所加工的齒距樣板的齒數(shù)z=30，在使用單齒定位爪時，分度盤只有四分之一的齒槽參與定位，所以本文將分度盤的120 個齒分為4 個序列，即：1 序列的齒序為1，5，9，13，…，117；2 序列的齒序為2，6，10，14，…，118；3 序列的齒序為3，7，11，15，…，119；4 序列的齒序為4，8，12，16，…，120；而多齒定位爪在改變定位序列時，與之接觸的四個齒槽也會發(fā)生變化。

本文利用單齒定位爪和多齒定位爪分別進行分度盤四個齒序下的磨齒實驗，研究單齒和多齒定位系統(tǒng)的分度精度差異。

4.3 齒距偏差測量結(jié)果

利用單齒定位爪和多齒定位爪分別進行分度盤四個齒序下的磨齒實驗，磨削后齒距樣板的齒距偏差測量結(jié)果如表4 所示，將表4 中被磨齒距樣板單個齒距偏差最小和最大時的分度盤序列分別記為定位最優(yōu)和最差序列（當單個齒距偏差相同時考慮齒距累積總偏差），單齒最優(yōu)定位序列（4 序列）與多齒最優(yōu)（4 序列）、最差序列（1序列）磨齒時齒距樣板齒距偏差的對比如圖13 和圖14 所示。相較于單齒定位爪，多齒定位爪在分度盤的四個使用齒序下，齒距樣板的單個齒距偏差和齒距累積總偏差均有一定幅度的減小，單個齒距偏差降低了30.0%～36.4%；齒距累積總偏差降低了30.4%～48%，多齒定位爪的誤差均化作用明顯。

圖14 單齒定位系統(tǒng)和多齒定位系統(tǒng)加工出的齒距樣板的單個齒距偏差的比較Fig.14 Comparison of the single pitch deviation for gear pitch artifacts machined with single and multitooth positioning

本文最終實現(xiàn)了法向模數(shù)mn=4 mm、齒數(shù)z=30 mm、單個齒距偏差fp=0.6 μm、齒距累積總偏差Fp=1.4 μm 的齒距樣板的磨削加工，與我國國家標準GB/T 10095.1-2022 中該參數(shù)1 級精度齒距公差的比較如表5 所示，該齒距樣板的單個齒距偏差和齒距累積總偏差比1 級齒距公差減小約64.7%和72.0%。

表5 齒距樣板的齒距偏差與1 級齒距公差的比較Tab.5 Pitch deviations of the gear pitch artifact compared to class-1 pitch tolerances

隨著多齒定位爪和分度盤的使用，分度盤齒距偏向體外的大誤差齒面會率先磨損，本文所提出這種磨齒機多齒定位分度機構(gòu)的分度精度會進一步提高，有擁有加工更高精度齒距樣板的可能。

5 結(jié) 論

為研制高精度齒距樣板，本文針對提高齒距加工精度的問題展開研究，基于誤差均化原理設計了一種多齒定位爪用于Y7125 大平面砂輪磨齒機的分度系統(tǒng)，利用MATLAB 對多齒定位分度機構(gòu)誤差均化效應和磨損后分度精度保持性進行了數(shù)據(jù)仿真，并分別采用單齒和多齒定位分度機構(gòu)進行對比加工實驗。實驗結(jié)果表明，相較于單齒定位分度機構(gòu)，采用多齒定位分度機構(gòu)時齒距樣板的單個齒距偏差降低了30.0%～36.4%、齒距累積總偏差降低了30.4%～48%，齒距加工精度有大幅提升，多齒定位爪的誤差均化作用明顯。

優(yōu)化后的多齒定位分度機構(gòu)可以實現(xiàn)法向模數(shù)mn=4 mm、齒數(shù)z=30、單個齒距偏差fp=0.6 μm、齒距累積總偏差Fp=1.4 μm 的齒距樣板的超精密磨削加工，其齒距精度優(yōu)于我國圓柱齒輪國家標準GB/T10095.1-2022 中1 級精度齒距公差的要求（fpT=1.7 μm，F(xiàn)pT=5.0 μm）。