□彭曉丹

復(fù)習(xí)課要關(guān)注領(lǐng)域主題，梳理知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。單元復(fù)習(xí)課通常以任務(wù)驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向設(shè)計(jì)練習(xí)，以此幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生在對(duì)知識(shí)的梳理中建立知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，在知識(shí)的關(guān)聯(lián)中發(fā)展思維，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體關(guān)聯(lián)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。那么，如何設(shè)計(jì)教學(xué)才能凸顯主題的核心任務(wù)？如何在核心任務(wù)的實(shí)施中關(guān)聯(lián)知識(shí)，查漏補(bǔ)缺？下面以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元復(fù)習(xí)為例展開探究與實(shí)踐。

一、凸顯本質(zhì)關(guān)聯(lián)，明確核心內(nèi)容

教師要分析教材的編排體系，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，提煉單元復(fù)習(xí)中的核心內(nèi)容，明確單元主題內(nèi)容，把握單元的核心概念和對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵要素。

“平行四邊形和梯形”單元屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，主要內(nèi)容包括：同一平面內(nèi)兩條直線的特殊位置關(guān)系，平行四邊形、梯形的特征及其與正方形、長(zhǎng)方形的關(guān)系。在本單元復(fù)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了常見(jiàn)的四邊形，周長(zhǎng)和面積的概念，直線、線段、射線和角，以及角的度量等知識(shí)，可以說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)具備從“邊”和“角”認(rèn)識(shí)平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。這些知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積的基礎(chǔ)，也是后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體等立體圖形的基礎(chǔ)。因此，從“圖形與測(cè)量”主題視域看，本單元的復(fù)習(xí)有兩個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)：一是認(rèn)識(shí)圖形的方法的一致性，二是幾何圖形高的概念和畫高方法的一致性。復(fù)習(xí)時(shí)，要關(guān)注從圖形組成要素認(rèn)識(shí)圖形特征，以及從點(diǎn)到線段的距離角度認(rèn)識(shí)高。

基于上述分析，明確單元核心內(nèi)容：從圖形本質(zhì)特征出發(fā)，幫助學(xué)生理解平行與垂直、平行四邊形和梯形的概念及相互關(guān)系。具體包括：平行和垂直對(duì)理解圖形概念本質(zhì)的重要性；平行四邊形和梯形之間的區(qū)別與聯(lián)系，以及與其他四邊形之間的關(guān)系；垂線是認(rèn)識(shí)高及畫高的基礎(chǔ)；等等。由此重組單元關(guān)鍵要素，突出概念的本質(zhì)聯(lián)系（如圖1），確定具有關(guān)聯(lián)的復(fù)習(xí)路徑。

圖1

二、探尋認(rèn)知難點(diǎn)，關(guān)注學(xué)習(xí)材料

在“平行四邊形和梯形”單元的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在對(duì)高的認(rèn)識(shí)和畫高上存在明顯差異。具體有怎樣的差異？對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有怎樣的影響？針對(duì)這些問(wèn)題，筆者組織了任務(wù)前置的檢測(cè)練習(xí)（如圖2）。

圖2

前置式任務(wù)主要檢測(cè)對(duì)非水平位置的圖形概念的理解。學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平行四邊形面積，需要從特殊走向一般，擴(kuò)展為任意平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。那么這個(gè)任意平行四邊形的高在哪里？不管平行四邊形的底邊在哪里，都能找到對(duì)應(yīng)的高嗎？本單元對(duì)高的構(gòu)想是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)前置式任務(wù)中的畫高感到困難，主要原因是缺乏空間想象力，無(wú)法想象“高”所在的位置。

三、設(shè)置核心任務(wù)，落實(shí)綜合目標(biāo)

單元復(fù)習(xí)課的目標(biāo)具有綜合性。因此，教師設(shè)置核心任務(wù)時(shí)，要在體現(xiàn)主題內(nèi)容的基礎(chǔ)上，既關(guān)注單元關(guān)鍵要素，完善知識(shí)點(diǎn)，又凸顯概念本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。在“平行四邊形和梯形”的單元復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)借助結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，并在其中融入發(fā)展空間表象、推理和想象等能力的目標(biāo)，讓學(xué)生通過(guò)辨析概念關(guān)聯(lián)知識(shí)，提升核心素養(yǎng)。

（一）再現(xiàn)性任務(wù)，理解概念本質(zhì)

任務(wù)一從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回顧單元內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于再現(xiàn)性任務(wù)。它使用的學(xué)習(xí)材料具有很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，涵蓋了單元復(fù)習(xí)中的關(guān)鍵要素。平行四邊形和梯形的概念本質(zhì)是“線”的平行關(guān)系，因此，該任務(wù)從線的特征出發(fā)走向面的組合，要求學(xué)生依據(jù)圖形的特征，先分類，再組合成平行四邊形和梯形，從而感知圖形及其組成元素（如圖3）。

圖3

這一再現(xiàn)性任務(wù)的教學(xué)分為兩個(gè)層次。

第一層次是分類，目的是幫助學(xué)生更好地了解概念特征。分類有助于剝離概念的非本質(zhì)屬性，深入理解概念的內(nèi)涵。這組學(xué)習(xí)材料涵蓋了平行關(guān)系和相交關(guān)系，呈現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)式和變式，旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧平行線和垂線等概念，根據(jù)概念本質(zhì)辨析易錯(cuò)點(diǎn)。

第二層次是組合，要求學(xué)生選擇其中兩組直線分別組合成一個(gè)平行四邊形或梯形。教師呈現(xiàn)學(xué)生組合成的平行四邊形和梯形（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生理解平行四邊形：“這樣組合得到的圖形都是平行四邊形嗎？為什么？”學(xué)生歸納：圖4 中，上面三組圖形都是平行線組合，因而兩組對(duì)邊分別平行，都是平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考其中一個(gè)特殊的平行四邊形——長(zhǎng)方形，從而得出長(zhǎng)方形具有平行四邊形的特征，但它又具有特殊性（四個(gè)角都是直角）。教師進(jìn)一步提問(wèn)：“為什么不選②號(hào)、⑤號(hào)、⑥號(hào)線來(lái)組成平行四邊形呢？”啟發(fā)學(xué)生理解梯形，認(rèn)識(shí)到組成的梯形與平行四邊形的不同點(diǎn)，根據(jù)線是否平行來(lái)辨析平行四邊形和梯形的概念本質(zhì)。

圖4

在上述教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師可利用動(dòng)態(tài)變換，幫助學(xué)生進(jìn)一步建立各種圖形概念之間的關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其中一個(gè)平行四邊形進(jìn)行變換，在變換過(guò)程中提問(wèn)：“如果將平行四邊形的一條邊平移，它還是平行四邊形嗎？”引導(dǎo)學(xué)生感悟：兩組對(duì)邊平行的四邊形一定是平行四邊形。教師繼續(xù)變換這個(gè)平行四邊形，將其變?yōu)殚L(zhǎng)方形和正方形，在此過(guò)程中繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思辨：“這些圖形還是平行四邊形嗎？為什么？”通過(guò)圖形的變換，再次聚焦對(duì)邊的位置關(guān)系，從而關(guān)聯(lián)特殊平行四邊形和普通平行四邊形，助力學(xué)生形成系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

上述任務(wù)以結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料為基礎(chǔ)，綜合排列組合、猜想驗(yàn)證、思辨推理的過(guò)程，要求學(xué)生根據(jù)圖形的特征，逆向選取平行或非平行的線。具體而言，該任務(wù)包含組合前空間表象的再現(xiàn)、組合時(shí)空間推理的應(yīng)用和組合后空間想象的構(gòu)建三個(gè)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生分析平行線與平行線、平行線與非平行線、平行線與垂線之間的聯(lián)系，引導(dǎo)他們從邊和角的特征出發(fā)，溝通特殊的平行四邊形和特殊的梯形，形成單元本質(zhì)關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（如圖1）。

（二）技能性任務(wù)，凸顯想象動(dòng)態(tài)遷移

技能性任務(wù)關(guān)注技能的落實(shí)，在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)技能之間的關(guān)聯(lián)和遷移。畫高是本單元的重難點(diǎn)，也是本單元要落實(shí)的技能性任務(wù)。為此，任務(wù)二要求學(xué)生在畫圖前先想象，并在畫圖后再次回顧對(duì)應(yīng)的想象（如圖5）。

圖5

任務(wù)二：先想象，再畫圖形和高。

任務(wù)二由兩個(gè)子任務(wù)構(gòu)成。第一個(gè)子任務(wù)是由線想象平行四邊形和梯形，承接任務(wù)一中的學(xué)習(xí)材料⑤，引發(fā)學(xué)生思考：“把這組垂直線段看作某個(gè)圖形的底和高，這個(gè)圖形可能是什么樣的？”學(xué)生經(jīng)過(guò)想象，得到可能是平行四邊形、梯形或三角形。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：“假如這是一個(gè)平行四邊形或梯形的底和高，這個(gè)平行四邊形和梯形會(huì)是什么樣？請(qǐng)先想象，再畫一畫?！?/p>

首先，比較同底等高的不同平行四邊形。教師呈現(xiàn)學(xué)生畫的不同平行四邊形，學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，雖然這些平行四邊形的形狀各不相同，但其中一組對(duì)邊都占了4 格，且這條底邊上的高都相等，從而理解了平行四邊形“對(duì)邊平行且相等”的特征。教師選擇其中一個(gè)平行四邊形提問(wèn)：“在這個(gè)平行四邊形中，以BC為底的高只有這樣一條嗎？”學(xué)生找出多條符合條件的高，通過(guò)比較，感悟平行四邊形的高有無(wú)數(shù)條，且同一組對(duì)邊之間的高都相等，從而理解平行線之間的距離處處相等。其次，比較學(xué)生畫的平行四邊形和梯形，引導(dǎo)學(xué)生思考：“梯形的高與平行四邊形的高有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，平行四邊形和梯形在同一組平行線上的高相同，但平行四邊形有兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的高，梯形只有一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的高。最后，用畫高對(duì)應(yīng)畫垂線的方法，讓學(xué)生回顧平行四邊形和梯形的高的畫法，將畫高的方法歸結(jié)為運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離來(lái)畫垂線的方法，勾連畫高與畫垂線，使學(xué)生感悟方法的一致性。

第二個(gè)子任務(wù)是鞏固畫高的技能。因?yàn)橄胂笙扔诋媹D進(jìn)行，所以畫高之前首先要想象“高”的位置。教師呈現(xiàn)4個(gè)圖形，引發(fā)學(xué)生思考：“你能想象這些圖形的高嗎？”讓學(xué)生用手比畫圖形的高并說(shuō)明理由，感悟畫高之前要先準(zhǔn)確地想象“高”，從而突破圖形形狀、位置的變換對(duì)畫高造成的困難。教師接著呈現(xiàn)學(xué)生畫在不同位置上的高，讓學(xué)生辨析。教師指著畫在圖形外側(cè)的高，追問(wèn)：“高還可以畫在圖形外面嗎？為什么？”突破高只存在于圖形內(nèi)部的認(rèn)知障礙，幫助學(xué)生建立平行四邊形、梯形的高與平行線距離之間的關(guān)系。

（三）拓展性任務(wù)，關(guān)注推理靈活轉(zhuǎn)換

任務(wù)三是對(duì)思維有挑戰(zhàn)性的開放性任務(wù)。它要求學(xué)生運(yùn)用圖形間的關(guān)系進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，從而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形的聯(lián)系（如圖6）。

圖6

任務(wù)三：先猜想，再驗(yàn)證。

任選一個(gè)圖形，剪一刀，可以分成哪兩個(gè)平面圖形？

教師先引導(dǎo)學(xué)生猜想：“將平行四邊形剪一刀可以分成哪兩個(gè)平面圖形？”學(xué)生通過(guò)猜想，得出平行四邊形可以分割成兩個(gè)三角形、兩個(gè)平行四邊形、兩個(gè)梯形、一個(gè)梯形和一個(gè)三角形（如表1），但對(duì)能否分割成一個(gè)梯形和一個(gè)平行四邊形存在爭(zhēng)議。學(xué)生進(jìn)一步操作驗(yàn)證，通過(guò)畫一畫或剪一剪，得出不可以分割成一個(gè)梯形和一個(gè)平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，猜想：“梯形是不是也能分割成這些圖形呢？”當(dāng)猜想有爭(zhēng)議時(shí)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)在表格里打上問(wèn)號(hào)，自主進(jìn)行驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思辨：“為什么平行四邊形可以分成兩個(gè)平行四邊形，而分不出一個(gè)梯形和一個(gè)平行四邊形？”“為什么梯形分不出兩個(gè)平行四邊形，卻能分出一個(gè)梯形和一個(gè)平行四邊形？”目的是幫助學(xué)生深入理解圖形的概念特征，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和空間推理能力。

如上，“平行四邊形和梯形”的單元復(fù)習(xí)設(shè)置了三個(gè)核心任務(wù)，首先復(fù)習(xí)平行和垂直，接著結(jié)合過(guò)對(duì)應(yīng)直線外一點(diǎn)畫垂線，感悟平行線之間的距離可以想象成平行四邊形和梯形的高，最后根據(jù)圖形的關(guān)聯(lián)進(jìn)行圖形分割。學(xué)習(xí)材料雖然簡(jiǎn)單，但卻關(guān)注了圖形的概念特性，聚焦其本質(zhì)，并在任務(wù)層層推進(jìn)的過(guò)程中，暴露了學(xué)生的技能缺陷，體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課查漏補(bǔ)缺的功能和價(jià)值。

總之，本單元的復(fù)習(xí)課基于“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”主題設(shè)置任務(wù)，以圖形各要素之間的關(guān)系為基礎(chǔ)刻畫圖形特征，建立多個(gè)圖形之間的聯(lián)系，突出了復(fù)習(xí)材料的整體性和結(jié)構(gòu)性。同時(shí)，聚焦“圖形與幾何”的空間表象建構(gòu)、空間推理和空間想象能力的提升，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。