劉敬剛，馬新順

（華北電力大學(xué)〔保定〕數(shù)理系，河北 保定 071003）

引言

為深入貫徹全國高校思想政治工作會議、全國教育大會精神，提高立德樹人成效和人才培養(yǎng)質(zhì)量，以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，根據(jù)教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，要求充分挖掘課程所蘊含的思政教育元素，實現(xiàn)思政與課程教學(xué)深度融合，將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，構(gòu)建全員全程全方位育人大格局。課程思政元素的挖掘服務(wù)于立德樹人根本任務(wù)，通過對教學(xué)內(nèi)容的全面梳理，使課程教學(xué)回歸知識傳授、價值塑造和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一，充分發(fā)揮課堂教學(xué)在育人中主渠道作用，著力將教書育人落實于課堂教學(xué)之中。基于“以學(xué)生發(fā)展為中心”的教育理念，圍繞課程創(chuàng)新性、高階性、挑戰(zhàn)度建設(shè)目標(biāo)，課堂教學(xué)要注重價值引領(lǐng)，實現(xiàn)傳道授業(yè)解惑、育人育才的有機統(tǒng)一。

根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容凝練教學(xué)案例，定格案例教學(xué)內(nèi)容及思政元素，通過精心的教學(xué)設(shè)計，在課堂教學(xué)過程中潛移默化進(jìn)行思想價值引領(lǐng)。案例的凝練和教學(xué)設(shè)計要結(jié)合不同學(xué)科的課程特點、思維方法和價值理念，以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和創(chuàng)新精神為目標(biāo)，在傳授專業(yè)知識和培養(yǎng)能力過程中，達(dá)到潤物無聲的育人效果。本文以數(shù)學(xué)課程“線性代數(shù)”為例［1-2］，介紹課程思政教學(xué)案例通過基于課程內(nèi)容的思政元素挖掘和基于思政元素的教學(xué)設(shè)計，實現(xiàn)“潤思政”的教學(xué)效果。

一、貫徹課程思政，豐富授課載體

要使得所有課程都具有思政教育的功能，需要教師在傳授專業(yè)知識和培養(yǎng)能力過程中加強思想價值引領(lǐng)作用，將思想價值引領(lǐng)貫穿于教學(xué)計劃、課程標(biāo)準(zhǔn)、課程內(nèi)容、教學(xué)評價等主要教學(xué)環(huán)節(jié)，不斷地堅定中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信、文化自信。授課中將馬克思主義理論與科學(xué)研究相互融合，用馬克思主義基本觀點有效地分析教育教學(xué)中的各類問題，從而實現(xiàn)思政課程之外的全員、全程、全方位育人新局面。教育的作用在于構(gòu)建人的知識體系和能力要素，實現(xiàn)立德樹人根本任務(wù)，既要培養(yǎng)科學(xué)思維，也要鍛煉創(chuàng)新思維。專業(yè)課程教師在學(xué)生心中具有一定權(quán)威性，容易達(dá)到親其師信其道的育人效果，因此在課程思政的實施過程中，可以達(dá)到較好的育人效果［3］。

“線性代數(shù)”是討論代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程，是高等學(xué)校工科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，在計算機技術(shù)快速發(fā)展和日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要。數(shù)學(xué)理論具有天然的抽象性，數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本目標(biāo)是解釋數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)哲學(xué)融入數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)課程進(jìn)行課程思政建設(shè)的必然選擇。每個人生來都是科學(xué)家，充滿了探明事物關(guān)系的沖動，因此將前人智慧擺在學(xué)生面前時，更要給出攝取它的理由。

二、面向授課內(nèi)容，挖掘思政元素

專業(yè)課程的任何一個授課內(nèi)容，都包含積極向上的思想價值元素。線性代數(shù)課程的核心問題是線性方程組，下面圍繞線性方程組及其消元解法，探討如何實現(xiàn)課程內(nèi)容與價值引領(lǐng)相融合。

需要將授課內(nèi)容分解為更細(xì)小的知識點，對于線性方程組及消元法這個內(nèi)容，可以分解為下列知識點：線性方程組及其一般形式；同解線性方程組；消元法；增廣矩陣；應(yīng)用拓展?；谥R點挖掘其中的育人元素，對于上述知識點有下列思政內(nèi)容。

（一）激發(fā)歷史自豪感，增強文化自信

通過介紹我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》中有關(guān)線性方程組及消元法的研究成果，激發(fā)學(xué)生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史自豪感和學(xué)習(xí)興趣，增強文化自信。

（二）抓住問題本質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)思維

運用“本質(zhì)方法論”，在“學(xué)習(xí)—實踐—復(fù)盤—優(yōu)化”這四個步驟的反復(fù)過程中，深刻理解并有效解決實際問題［4］，具體支撐內(nèi)容有：（1）線性的本質(zhì)是“一次”；（2）方程組由其未知量系數(shù)和右端常數(shù)唯一確定；（3）消元法本質(zhì)就是對增廣矩陣做初等行變換；（4）方程組的本質(zhì)可由同解的階梯形方程組和同解的最簡形方程組揭示。在講授過程中啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思維方法，并在實踐中把握事物本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，抓住主要矛盾，培養(yǎng)科學(xué)思維。

（三）運用系統(tǒng)視角，樹立大局意識

在線性方程組求解中，運用系統(tǒng)視角，不再像中學(xué)那樣逐個對未知量進(jìn)行求解，而是通過求出容易求解的同解方程組，實現(xiàn)對所有未知量的求解。這個過程中需要將線性方程組化為同解的階梯形方程組和最簡形方程組，階梯形方程組可以完成對解存在性的判定，而最簡形方程組可以給出方程組的通解。在這個過程中，要用主元將其下方所有的未知量系數(shù)都化為零，由此潛移默化培養(yǎng)學(xué)生的大局意識。

（四）感悟質(zhì)量互變，打造科學(xué)精神

介紹線性方程組的應(yīng)用和拓展內(nèi)容：非線性問題可以局部線性化為線性方程組求解問題，連續(xù)問題可以離散化為線性方程組求解問題等。體會化繁為簡，逐步求精，感悟腳踏實地、積少成多的質(zhì)、量互變過程，打造科學(xué)精神。

三、瞄準(zhǔn)思政元素，設(shè)計教學(xué)過程

課堂教學(xué)是將立德樹人根本任務(wù)落到實處的主陣地，因此必須基于提煉出的思政元素精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)知識的同時，體會“四個正確認(rèn)識”的精髓，即學(xué)會用正確的立場、觀點和方法分析問題，把學(xué)習(xí)、觀察、實踐同思考緊密結(jié)合起來，善于把握歷史和時代的發(fā)展方向、把握社會的主流和支流、現(xiàn)象和本質(zhì)，養(yǎng)成歷史思維、辯證思維、系統(tǒng)思維和創(chuàng)新思維。關(guān)于線性方程組及其消元解法的課程設(shè)計分為四個部分：引例，線性方程組，消元法，小結(jié)。具體教學(xué)過程如下。

（一）引例

【設(shè)計】通過數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題引入二元一次方程組，其一可以引起學(xué)生的興趣，其二可以讓學(xué)生了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。

【展示】

【板書】引例 我國1 500年前的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

解：設(shè)雞有x頭，兔有y頭，得

（二）線性方程組

【設(shè)計】總結(jié)引例給出的二元一次方程組的形式和結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生抓住其本質(zhì)寫出線性方程組的一般形式，培養(yǎng)類比、聯(lián)想的能力。簡單介紹線性方程組是線性代數(shù)課程研究的核心問題，引起學(xué)生對線性方程組的重視，抓住學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的主要矛盾。圍繞線性方程組進(jìn)行討論，可以聯(lián)系到線性代數(shù)課程的幾乎所有內(nèi)容。

【板書】線性方程組的一般形式：

（三）消元法

【設(shè)計】我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》就出現(xiàn)了消元法，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

【講述】我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》就出現(xiàn)了消元法，現(xiàn)在流傳的是魏晉時劉徽為《九章算術(shù)》作的注本。

【展示】

【設(shè)計】以同解線性方程組的視角用消元法求解引例，聯(lián)系并對比中學(xué)的消元過程，幫助學(xué)生建立大局觀、培養(yǎng)系統(tǒng)思維方法。

【板書】引例

【設(shè)計】通過觀察消元法求解過程，發(fā)現(xiàn)計算與未知量無關(guān)，故引入增廣矩陣，并通過增廣矩陣實現(xiàn)線性方程組的消元求解過程，引導(dǎo)學(xué)生抓住求解線性方程組的主要矛盾。

【板書】

——增廣矩陣

結(jié)論如下：（1）增廣矩陣和線性方程組一一對應(yīng)。（2）消元過程，本質(zhì)上就是對增廣矩陣的行做運算，稱之為增廣矩陣的初等行變換。（3）求解過程規(guī)律明顯，從而可以上升為“算法”：a.向下消元結(jié)束后所得增廣矩陣，稱為（行）階梯形矩陣（零行在下方，主元〔行非零首元〕列指標(biāo)隨行指標(biāo)的增加而嚴(yán)格增加）；b.向上消元結(jié)束后所得增廣矩陣，稱為（行）最簡形矩陣（行階梯形，主元都是1，主元所在列其他元素全為0）。

【板書】

注意到：（b）——階梯形矩陣，（c）——最簡形矩陣。

【設(shè)計】通過練習(xí)進(jìn)行鞏固后，總結(jié)線性方程組的一般求解過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。注意到消元過程中，增廣矩陣首先化為行階梯形矩陣，為了實現(xiàn)目標(biāo)，主元素要將其下方的所有非零元都變?yōu)榱?，這個事實可以引申為這些變?yōu)榱愕脑鼐哂写缶忠庾R、核心意識、看齊意識。

【設(shè)計】最后，提出關(guān)于解的存在性判定條件等問題，讓學(xué)生課下進(jìn)行思考討論，培養(yǎng)科學(xué)探索精神。

【板書】思考討論：（1）有解、無解的條件是什么？（提示：階梯形矩陣有無矛盾方程）（2）有解時，唯一解和多解的條件是什么？（提示：階梯形矩陣非零行和未知量個數(shù)的關(guān)系）（3）求解過程的規(guī)律是否適用于所有線性方程組？

（四）小結(jié)

【設(shè)計】總結(jié)講述的主要內(nèi)容，強調(diào)重點、難點。對線性方程組的應(yīng)用進(jìn)行拓展，說明線性方程組的重要性，同時激發(fā)學(xué)生的探索精神。重點介紹非線性方程（組）的迭代解法，讓學(xué)生了解到非線性方程組線性化所得為線性方程組，通過反復(fù)求解線性方程組，求得非線性方程組滿足一定精度要求的近似解，即“簡單”的重復(fù)生成復(fù)雜。由此體會質(zhì)量互變過程，打造科學(xué)精神。

【講述+展示】

本次課主要講授了通過增廣矩陣用消元法求解線性方程組；大量的科學(xué)研究和工程應(yīng)用問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組［4］，因此線性方程組的快速準(zhǔn)確求解十分重要。

拓展：（1）由消元法設(shè)計的求解線性方程組的數(shù)值解法（將消元法的求解規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，得到順序高斯消去算法、列主元高斯消去算法等）在計算數(shù)學(xué)中占有重要地位。（2）非線性問題求解的思路之一就是局部線性化，所得問題往往是線性方程組求解問題，如非線性方程組求根問題。（3）連續(xù)問題求近似解一般通過離散化實現(xiàn)，所得問題一般是線性方程組求解問題，如微分方程邊值問題的數(shù)值求解。

四、總結(jié)育人成效，找準(zhǔn)改進(jìn)方向

課程思政教學(xué)案例需要在設(shè)計、實踐、再設(shè)計這個反復(fù)過程中逐步完善，因此必須對每一版的案例設(shè)計進(jìn)行教學(xué)效果總結(jié)與教學(xué)反思。對于線性方程組及其消元解法課程思政教學(xué)案例，經(jīng)過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)：（1）讓學(xué)生了解了我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展和成就，掌握了用增廣矩陣實現(xiàn)消元求解線性方程組的方法；（2）激發(fā)了學(xué)生的歷史自豪感，培養(yǎng)了學(xué)生抓住問題本質(zhì)、運用系統(tǒng)思維解決問題的能力，了解了在復(fù)雜問題求解過程中的質(zhì)量互變規(guī)律，從而達(dá)到增強文化自信、樹立全局意識、養(yǎng)成科學(xué)思維方法和科學(xué)精神的目的。（3）線性方程組和增廣矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系比較抽象，同時這個關(guān)系在求解方法的理解和掌握中十分重要，因此需要通過強化練習(xí)使學(xué)生能夠較好地掌握這個內(nèi)容。因此在后續(xù)教學(xué)中需要有針對性地對該案例進(jìn)行改進(jìn)和完善，從而可以更好服務(wù)于“線性代數(shù)”課程思政大局，服務(wù)于高質(zhì)量完成立德樹人根本任務(wù)。

結(jié)語

課程思政的案例設(shè)計是實現(xiàn)課程育人目標(biāo)的基礎(chǔ)。課程思政建設(shè)過程中，在課程“兩性一度”建設(shè)目標(biāo)基礎(chǔ)上，回歸知識傳授、價值塑造和能力培養(yǎng)的多元統(tǒng)一。在課程思政案例設(shè)計的具體過程中，充分運用創(chuàng)新思維，以新思維催生新思路、以新思路謀求新發(fā)展、以新發(fā)展推動新方法、以新方法解決新問題，實現(xiàn)課程思政案例設(shè)計的創(chuàng)新發(fā)展，達(dá)到以文化人、潤物無聲的育人成效。