李喜梅 王建成 杜永峰 母渤海

摘要：

強震作用下隔震曲線梁橋會產(chǎn)生較大的彈塑性變形，需要采取一定的控制措施以保證其安全性。采用經(jīng)典的Bouc-Wen模型，建立考慮上部結(jié)構(gòu)偏心的隔震曲線梁橋的非線性動力方程，求解罕遇地震作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。針對隔震曲線梁橋罕遇地震作用下產(chǎn)生的較大彈塑性變形，建立隔震曲線梁橋的非線性振動控制方程，將該方程等效線性化后采用序列最優(yōu)控制算法（SOC）和經(jīng)典線性最優(yōu)控制（COC）對橋梁進行振動控制研究。結(jié)果表明：在罕遇地震下，隔震曲線梁橋的下部結(jié)構(gòu)與隔震層都已屈服進入塑性階段，且有少量的殘余位移產(chǎn)生;序列最優(yōu)控制算法和經(jīng)典線性最優(yōu)控制都能有效地減小隔震曲線梁橋彈塑性狀態(tài)下的平動位移與殘余位移，并有效抑制曲線橋的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，其中序列最優(yōu)控制算法較經(jīng)典最優(yōu)控制更能顯著削減隔震曲線梁橋的峰值響應(yīng)。

關(guān)鍵詞：

隔震曲線梁橋; Bouc-Wen模型; 序列最優(yōu)控制算法

中圖分類號： TU352.1; U441+.3????? 文獻標(biāo)志碼：A?? 文章編號： 1000-0844（2023）02-0279-08

DOI：10.20000/j.1000-0844.20200924002

Nonlinear vibration control of isolated curved girder bridges

based on the sequential optimal control algorithm

LI Ximei1，2， WANG Jiancheng1，2， DU Yongfeng1，2， MU Bohai3

（1.Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education，

Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， Gansu， China;

2. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， Gansu， China;

3. CSCEC AECOM Contestants Co.， Ltd.， Lanzhou 730050， Gansu， China）

Abstract：

Various control measures need to be taken to ensure the safety of isolated curved girder bridges as they produce large elastic-plastic deformation under strong earthquakes. The classical Bouc-Wen model was used， and the nonlinear dynamic equation for isolated curved beam bridges considering the upper structures eccentricity was established to solve the dynamic response of the structure under rare earthquakes. In view of the large elastic-plastic deformation of isolated curved girder bridges under rare earthquakes， the nonlinear vibration control equation was established. After equivalent linearization treatment for the equation， sequential optimal control （SOC） and classical linear optimal control （COC） were used to study the vibration control of the bridge. The results show that under rare earthquakes， the lower structure and isolation layer of the curved bridge enter the plastic stage， and a small amount of residual displacement is generated. Both the SOC and COC can effectively reduce the horizontal and residual displacements of the isolated curved girder bridge under elastic-plastic conditions and also effectively restrain its torsional effect. Compared with the COC， the SOC algorithm can greatly reduce the peak response of the curved bridge.

Keywords：

isolated curved girder bridge; Bouc-Wen model; sequential optimal control algorithm

0 引言

在公路及城市道路的立體交叉體系中，由于受周圍環(huán)境、交通線路等因素的限制，需要采用曲線橋?qū)崿F(xiàn)各方向的交通互聯(lián)，保證交通線路順暢，改善城市交通的緊張狀況［1］。強震作用下橋梁一般會發(fā)生彈塑性變形，使得橋梁抗震成為突出問題，需要采取減隔震控制措施來保證橋梁安全。目前針對直線連續(xù)梁橋減震控制方法已做了大量研究［2-3］。曲線橋梁的減隔震控制在國內(nèi)也已開始理論上［4-5］的探索，但由于曲線橋結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，現(xiàn)有的研究還遠不能滿足實際工程的需要［6］。

在被動隔震系統(tǒng)中加入主動或半主動控制元件，構(gòu)成所謂的智能隔震體系［7］。采用這種混合控制策略可以提高普通隔震結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)性，因而成為近年來結(jié)構(gòu)控制領(lǐng)域內(nèi)的一個十分活躍的研究方向［8］。在對控制元件進行試驗研究的同時，控制算法的研究也取得了很大的進展［9］?？刂扑惴ㄓ脕泶_定每個時刻控制力的大小，對控制效果的優(yōu)劣起著舉足輕重的作用［10］。因此，研究主動或半主動控制算法具有重要的意義。亓興軍等［11-12］、全偉等［13］和Amjadian等［14］建立了曲線梁橋的有限元模型，采用經(jīng)典最優(yōu)控制算法，用不同的減隔震方法對曲線梁橋的振動控制進行了深入的研究，但計算過程中需要求解非線性Riccati方程，且有限元建模分析較復(fù)雜，工作量大，計算效率低。為了簡化分析，提高計算效率，王麗等［15］、李喜梅等［16］根據(jù)曲線梁橋的受力特點，建立了適合分析隔震曲線梁橋的簡化模型，并驗證了簡化模型的正確性及精度。李喜梅等［17］根據(jù)杜永峰提出的序列最優(yōu)控制算法，建立隔震曲線梁橋的雙質(zhì)點六自由度簡化模型，對一座三跨隔震曲線梁橋進行了振動控制分析，但對于強震作用下處于彈塑性狀態(tài)的曲線梁橋，采用序列最優(yōu)控制算法是否能達到很好的控制效果未進行研究。

本文基于以上研究，在已有的雙質(zhì)點六自由度簡化模型的基礎(chǔ)上，采用經(jīng)典的Bouc-Wen模型，建立考慮上部結(jié)構(gòu)偏心的隔震曲線梁橋的彈塑性模型，通過MATLAB編程分析隔震曲線梁橋在罕遇地震作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，采用序列最優(yōu)控制算法對罕遇地震作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)進行振動控制分析，并與經(jīng)典最優(yōu)控制算法做對比。

1 模型的建立

1.1 模型假設(shè)

對于隔震橋梁來說，橋墩剛度遠大于隔震支座的剛度，橋面結(jié)構(gòu)的質(zhì)量也大于橋墩的質(zhì)量，為了簡化計算，可將隔震橋梁簡化為一個雙質(zhì)點雙自由度的剪切模型。文獻［18］提出了規(guī)則隔震橋梁的簡化剪切模型，并在該模型的基礎(chǔ)上進行了相關(guān)內(nèi)容的探討，但對于隔震曲線梁橋這種非規(guī)則橋梁，雙自由度簡化剪切模型已不能滿足其精度條件，文獻［17］給出了隔震曲線梁橋的雙質(zhì)點六自由度簡化剪切模型，并對模型的正確性與精度進行了驗證，但該模型僅適用于矮墩條件下的隔震曲線梁橋。本文采用文獻［17］提出的隔震曲線梁橋的簡化模型，分析隔震曲線梁橋的非線性動力響應(yīng)，具體的簡化剪切模型如下：

分別將隔震曲線梁橋橋墩及上部結(jié)構(gòu)簡化為兩個各具兩水平x、y自由度與一個圍繞質(zhì)量中心軸扭轉(zhuǎn)θ自由度的堆積質(zhì)量m1、m2模型系統(tǒng)，橋墩與上部結(jié)構(gòu)為兩質(zhì)點非同軸質(zhì)量偏心結(jié)構(gòu)的分析模型，上、下質(zhì)點分別表示曲線橋上、下結(jié)構(gòu)［17］。簡化模型如圖1所示。

1.2 隔震曲線梁橋非線性動力方程的建立

取隔震曲線梁橋為剪切型，將隔震曲線梁橋的上部結(jié)構(gòu)和下部結(jié)構(gòu)分別記為層。以隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量中心為坐標(biāo)原點，建立隔震曲線梁橋的非線性運動方程及振動控制方程，表示如下：

M+C+Fs（U，）=-MEg （1）

M+C+Fs（U，）=Lfc-MEg （2）

式中：M、C、L和E分別為曲線梁橋模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、水平控制力作用位置矩陣和地震作用影響矩陣;fc為水平方向的控制力;、和U分別為各質(zhì)點相對于地面的加速度、速度和位移;g={xg，yg，θg}T為地震加速度向量;Fs（U，）為曲線梁橋的滯回恢復(fù)力，取橋梁下部結(jié)構(gòu)和隔震層均為經(jīng)典Bouc-Wen模型，寫為：

Fs（U，）=KeU+Khυ （3）

=xy=xiyi=

Aixi-βixiυxiμi-1υxi-γixiυxiμi

Aiyi-βiyiυyiμi-1υyi-γiyiυyiμi（4）

式中：U={x，y，θ}T={xi，yi，θi}T，xi、yi和θi分別為第i層的x、y方向的平動位移和轉(zhuǎn)角;υ為結(jié)構(gòu)的滯回位移向量，υx、υy分別為結(jié)構(gòu)x、y向的滯回位移向量;xi、yi為結(jié)構(gòu)的層間相對速度，xi=i-i-1，yi=i-i-1;Ai、βi、γi、μi均為滯回曲線的參數(shù);Ke、Kh分別為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣和塑性剛度矩陣。

當(dāng)結(jié)構(gòu)為鋼筋混凝土?xí)r，根據(jù)實測結(jié)果：αi=0.02～0.1，Ai=1，βi=-3γi，γi=-12（1-αi）Kifi2，fi為結(jié)構(gòu)各層的受剪承載力［19］;隔震層Bouc-Wen模型參數(shù)?。?0］：μ=2，A=1，β=γ=0.5。金建敏等［ 21］對鉛芯隔震疊層橡膠支座采用Bouc-Wen模型進行了深入的研究，認(rèn)為對于鉛芯隔震疊層橡膠支座采用Bouc-Wen模型進行隔震設(shè)計時，建議屈服后剛度與初始剛度之比α取1/15以下。因此，本文取α=0.05。

由此式（1）和式（2）可以寫為：

M+C+KeU+Khυ=-MEg （5）

M+C+KeU+Khυ=Lfc-MEg （6）

式中：質(zhì)量矩陣M=MxMyJ，J=J1J2，Mx=My=m1m2，Ji=mi（r2i+X2mi+Y2mi）

其中：m1、m2分別代表隔震曲線梁橋的下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量;J1、J2分別為下、上部結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動慣量［22］;ri為結(jié)構(gòu)的回轉(zhuǎn)半徑;Xmi、Ymi分別為橋梁下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對于參考軸的坐標(biāo)。

彈性剛度矩陣Ke=Kxx0Kxθ0KyyKyθKθxKθyKθθ

其中：Kxx、Kyy分別為結(jié)構(gòu)在x、y向彈性平動剛度，故：

Kxx=α1Kx1+α2Kx2-α2Kx2-α2Kx2α2Kx2

Kxi=∑lr=1kxri，Kyi=∑lr=1kyri

式中：kxri、kyri表示第i層第r個橋墩位置處x、y向的有效剛度;l代表曲線梁橋橋墩（或支座）的數(shù)目;Kxi表示第i層x向的屈服前的水平總剛度;αi為第i層屈服后和屈服前的水平剛度之比，當(dāng)αi=0時，表示結(jié)構(gòu)的第i層處于完全非線性狀態(tài)，當(dāng)αi=1時，結(jié)構(gòu)的第i層處于彈性狀態(tài);Kyy與Kxx在形式上完全相同，只是將矩陣中的Kxi換成Kyi。

Kxθ、Kyθ、Kθθ分別為隔震曲線梁橋在x、y向的彈性平扭剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，其中

Kxθ=Kxθ11Kxθ12Kxθ21Kxθ22，

Kθθ=Kθθ11Kθθ12Kθθ21Kθθ22

Kθx=KxθT，

Kθy=KyθT

式中：Kxθij表示第i層不動，僅j層發(fā)生x向單位位移時在第i層所需施加的力矩;同樣，Kyθ與Kxθ在形式上完全一致，各元素Kyθij表示第i層不動，僅j層發(fā)生y向單位位移時在第i層所需施加的力矩;Kθθij表示第i層不動，僅j層發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時在第i層所需施加的力矩［23］。

塑性剛度矩陣Kh=Kxh00KyhKθxhKθyh

式中：Kxh＼，Kyh分別為結(jié)構(gòu)在x、y向塑性平動剛度，Kθxh＼，Kθyh分別為x、y向塑性平扭剛度。其中：

Kxh=（1-α1）Kx1-（1-α2）Kx20（1-α2）Kx2

Kyh、Kθxh、Kθyh與Kxh在形式上是完全一致的，只不過是將矩陣中的Kxi分別換為Kyi、-Kxieyi、Kyiexi。這里，exi、eyi分別表示第i層質(zhì)心與剛心沿y、x方向的距離，表示為：exi=xri-xmi，eyi=yri-ymi。xri、yri為第i層第r個橋墩沿x、y向坐標(biāo)，xmi、ymi為第i層質(zhì)心的x、y向坐標(biāo)。

阻尼矩陣C用分區(qū)瑞利阻尼

C=C0+Cr， C0=αsM+βsKe

Cr=0000000Cb，xx000Cb，xθ000000000Cb，yy0Cb，yθ0000000Cb，θx0Cb，θy0Cb，θθ

式中：C0為經(jīng)典瑞利阻尼矩陣;Cr為非比例阻尼的余項阻尼矩陣，Cr中的各元素的計算可參考文獻［24］。αs、βs為下部結(jié)構(gòu)瑞利阻尼的比例系數(shù)，即

αsβs=2ξsωi+ωjωiωj1

式中：ξs為下部結(jié)構(gòu)的阻尼比;ωi、ωj為結(jié)構(gòu)第i、j階圓頻率。

將式（6）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達式如下：

=AxZ+Azυ+Bxfc+Exg （7a）

Y=CfZ+Afυ+Bffc+Wg （7b）

式中：Z=U，

Ax=0I-M-1Ke-M-1C，

Az=

0-M-1Kh，

Bx=0M-1L，

Ex=0-E。其中，I為單位矩陣，E=［Ix，Iy，Iθ］，

Ix=［12×1，02×1，02×1］T，

Iy=［02×1，12×1，02×1］T，

Iθ=［02×1，02×1，12×1］T。選擇輸出各質(zhì)點相對于地面的加速度以及各質(zhì)點相對于地面的位移，則輸出矩陣為

Cf=I0-M-1Ke-M-1C，

Af=0-M-1Kh

Bf=0M-1L，

W=0-E

1.3 等效線性化的狀態(tài)方程

引用滯變位移項為零的假定，建立Bouc-Wen模型的等效線性化表達式［7］。該方法首先由Yang JN提出，并用于瞬時最優(yōu)控制［25］。杜永峰［ 7］將該方法用于序列最優(yōu)控制，對滯變智能隔震結(jié)構(gòu)進行了振動控制研究。本文也采用零滯變位移這一等效線性化方法，對隔震曲線梁橋進行振動控制，則狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

r=AxZr+Bxfc+Exg （8a）

Y=CfZr+Bffc+Wg （8b）

式中：Zr為略去滯變位移項的狀態(tài)向量;其余各矩陣的表達式同式（7a）和（7b）。

2 序列最優(yōu)控制算法

2.1 基于序列最優(yōu)控制目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制力

本文對進入彈塑性的隔震曲線梁橋進行振動控制分析時，建立的控制力和狀態(tài)向量的關(guān)系是借用線性最優(yōu)控制的理論，故將目標(biāo)函數(shù)改為等效線性化后的狀態(tài)變量。

J=∫tft012Zr（t）TQZr（t）+12fc（t）TRfc（t）dt（9）

式中：Q、R分別為結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和控制力的權(quán)重矩陣;t0、tf分別為控制的開始時刻和結(jié)束時刻。

將地震波及控制力轉(zhuǎn)化為一系列時間域脈沖，由于地震動及控制力均隨時間推移逐步輸入至結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，則系統(tǒng)當(dāng)前時刻響應(yīng)由當(dāng)前與過去的時刻脈沖響應(yīng)疊加而成，即［26］

Zr（t）=Zr∑（j-1）（t）+Zrj（t） （10）

式中：下標(biāo)“∑（j-1）”代表直到第j-1個步長上（過去時刻）脈沖影響的總和。將式（10）代入式（9）構(gòu)造Lagrange函數(shù)，原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題。因當(dāng)前時刻脈沖只影響當(dāng)前時刻及未來時刻響應(yīng)，對過去時刻響應(yīng)無影響，因此將純粹含過去時刻脈沖影響控制目標(biāo)函數(shù)分離，引用最優(yōu)控制理論的泛函極值條件，可得結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制的一般表達式為［26］：

fc（tA）=-R-1BxTλ（tA） （11a）

=-AxTλ-QZr，λ（tf）=0 （11b）

r=AxZr+Bxfc+Exg （11c）

2.2 基于狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制算法實現(xiàn)

在式（11c）中，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法建立如下的遞推公式：

Zr（tj）=eAxΔtZr（tj-1）+ΔtBxfc（tj-1）+

ΔtExg（tj-1），

tj=tA+jΔt， j=2，3，…，m（12）

式中：tA對應(yīng)當(dāng)前時刻;m對應(yīng)終止時刻的時間步長數(shù)。

從式（11b）中直接求解λ，由終了時刻tf=tA+mΔt逆向遞推λ（t），利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法逆向計算距終了時刻一個步長的λ值，得

λ（tA+（m-1）Δt）=e-AλΔtλ（tA+mΔt）-Δte-AλΔtQZr（tA+mΔt）（13）

在式（13）中引用終值條件，即λ（tA+mΔt）=0，并將式（12）代入式（13），得

λ［tA+（m-1）Δt］=-Δte-AλΔtQλeAxmΔt［Zr（tA）+ΔtBxfc（tA）+ΔtExg（tA）］（14）

在式（14）中反復(fù)引用逆向遞推，最終可得：

λ（tA）=ΔtQA（m）［Zr（tA）+ΔtBxfc（tA）+

ΔtExg（tA）］（15）

QA（m）=e-AλmΔtQλeAxmΔt+e-Aλ（m-1）ΔtQλeAx（m-1）Δt+…+e-AλΔtQeAxΔt （16）

式中：Aλ=-Ax，Qλ=-Q。

將式（16）代入式（11a），可得距控制終止時刻為m個步長的時間所對應(yīng)的理想控制力：

fc（tA）=ΔtIrH（m）Zr（tA）+（Δt）2ErH（m）g（tA）（17）

式中：

IrH（m）=Iqr（m）-1Rqr（m）

ErH（m）=IrH（m）-1Ex

Iqr（m）=I-（Δt）2Rqr（m）Bx

Rqr（m）=R-1BxQA（m）

式中：IrH（m）、ErH（m）為最優(yōu)控制力系數(shù)。只要得到每個時刻的最優(yōu)控制力系數(shù)，就能求出每一時刻的最優(yōu)控制力。

3 算例與討論

3.1 工程背景

某立交匝道上一聯(lián)圓曲線連續(xù)梁橋，橋梁跨徑布置為20 m，曲率半徑R=50 m，圓心角α=69°。主梁采用單箱單室箱梁，橋面寬度8 m，圓柱形橋墩，直徑1.6 m，墩高7 m，下部結(jié)構(gòu)的阻尼比ξs=0.05，每個墩頂分別布置一個直徑為500 mm的鉛芯橡膠支座，隔震層的水平阻尼比ξb=0.15。

取曲線橋上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量中心為整體坐標(biāo)系原點，其平面布置如圖2所示。每個橋墩處徑向、切向的阻尼器布置如圖3所示。曲線梁橋相應(yīng)模型計算參數(shù)如表1所列。

為了直觀地評價有無控制裝置后結(jié)構(gòu)響應(yīng)的變化情況，引入減震率的概念，其值根據(jù)橋梁反應(yīng)的大小來定義：

JZ=Rn（t）max-Rc（t）maxRn（t）max×100%（18）

式中：JZ為減震率;Rn（t）和Rc（t）分別為未設(shè)置阻尼器以及設(shè)置阻尼器時橋梁結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)。

3.2 振動控制分析

本文采用狀態(tài)反饋序列最優(yōu)算法和經(jīng)典線性最優(yōu)控制算法對罕遇地震下的隔震曲線橋進行振動控制，假設(shè)控制器能夠?qū)崟r提供結(jié)構(gòu)所需要的控制力。控制效果以下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)的位移為評價指標(biāo)。為了使不同控制算法具有可比性，定義控制能量指標(biāo)為控制力的絕對值積分E=∫tft0fc（t）dt。在結(jié)構(gòu)x、y向同時輸入雙向的El-Centro地震波，并將加速度峰值調(diào)整為400 cm/s2，分別求隔震曲線梁橋在無、有控狀態(tài)下的x、y向及扭轉(zhuǎn)角位移，結(jié)果見圖4。

由圖4可以看出，隔震曲線梁橋在無控狀態(tài)下下部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為3.76 cm和3.69 cm，均超過其屈服位移3.5 cm進入了塑性階段，并產(chǎn)生了3.8 mm的殘余位移;上部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為12.45 cm和12.36 cm，均超過了隔震層的屈服位移7.8 mm進入塑性階段，并產(chǎn)生了5.9 mm的殘余位移。運用經(jīng)典最優(yōu)控制算法控制后下部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為1.84 cm和1.74 cm，與無控狀態(tài)下相比，減震率分別達到51%和52%;上部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為5.11 cm和5 cm，與無控狀態(tài)下相比，減震率分別達到59%和60%。運用序列最優(yōu)控制算法控制后下部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為1.11 cm和1.19 cm，與無控狀態(tài)下相比，減震率分別達到70%和68%;上部結(jié)構(gòu)x、y向的最大位移分別為2.45 cm和2.4 cm，與無控狀態(tài)下相比，減震率分別達到80%和81%。

由以上分析可以得出，在罕遇地震作用下，隔震曲線梁橋進入了塑性階段，下部結(jié)構(gòu)和隔震層都出現(xiàn)了殘余位移。運用兩種控制算法對隔震曲線梁橋進行振動控制后，發(fā)現(xiàn)序列最優(yōu)控制算法（SOC）和經(jīng)典線性最優(yōu)控制（COC）對隔震曲線梁橋彈塑性狀態(tài)下的x、y向以及扭轉(zhuǎn)角位移都有很好的消減作用;但在同等能量控制下，序列最優(yōu)算法對于下部結(jié)構(gòu)的最大位移的控制效果比經(jīng)典線性最優(yōu)控制更好;對上部結(jié)構(gòu)位移的消減，序列最優(yōu)控制算法與經(jīng)典線性最優(yōu)控制相比也體現(xiàn)出較好的控制效果。

4 結(jié)論

本文采用經(jīng)典的Bouc-Wen模型建立了隔震曲線梁橋的彈塑性模型，分析了隔震曲線梁橋在罕遇地震下的非線性動力響應(yīng)，并通過序列最優(yōu)控制算法和經(jīng)典線性最優(yōu)控制對曲線梁橋地震響應(yīng)進行了控制分析，得出如下結(jié)論：

（1） 通過對罕遇地震作用下隔震曲線梁橋的非線性動力響應(yīng)進行分析，發(fā)現(xiàn)在罕遇地震下隔震曲線梁橋下部和隔震層均已進入塑性階段，并出現(xiàn)了殘余位移。

（2） 采用序列最優(yōu)控制算法和經(jīng)典線性最優(yōu)控制都能使上部結(jié)構(gòu)的x、y向及扭轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)均得到了明顯的減小，尤其對上部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)角位移的消減作用較為明顯。又因曲線橋偏心引起的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)得到相應(yīng)控制，使得下部結(jié)構(gòu)x、y向及扭轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)得到有效控制，且對所產(chǎn)生的殘余位移有一定的消減作用。

（3） 在同等控制能量下，序列最優(yōu)控制算法對上、下部結(jié)構(gòu)位移的控制效果較經(jīng)典線性最優(yōu)控制更顯著，能更好地消減隔震曲線梁橋的峰值響應(yīng)。

參考文獻（References）

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