萬海兵

摘要：科學(xué)技術(shù)有效融入數(shù)學(xué)社團課程，對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、開闊視野、提高科技創(chuàng)新意識有重要作用.文章嘗試以北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位為教學(xué)素材，挖掘數(shù)學(xué)育人功能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：項目式學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)社團；北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)1“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”項目緣起項目式學(xué)習(xí)是一種建構(gòu)性的教與學(xué)方式，教師將學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)項目化，指導(dǎo)學(xué)生基于真實情境提出問題，并利用相關(guān)知識與信息資料開展研究、設(shè)計和實踐操作，最終解決問題并展示和分享項目成果［1］.

社團是學(xué)校文化的有效載體，數(shù)學(xué)社團是學(xué)校社團的重要組成部分.數(shù)學(xué)社團活動的開展是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，培養(yǎng)學(xué)生在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，讓學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的價值.

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是一個跨學(xué)科、跨行業(yè)的綜合性高新技術(shù)，其定位功能與我們的生活聯(lián)系緊密，基本原理包含高中數(shù)學(xué)的主干知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)社團開展主題為“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”的項目式學(xué)習(xí)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生的實驗探究能力與創(chuàng)新實踐能力.

2“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”項目分析2.1學(xué)情分析本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)社團活動課，授課對象是江蘇省曲塘高級中學(xué)高二理科班的學(xué)生，他們具有較強的理性思維能力，對科學(xué)原理感興趣.他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)中立體幾何、高中物理學(xué)中人造地球衛(wèi)星、初中地理學(xué)中地球與地球儀等相關(guān)知識，為本節(jié)課的教學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ).

2.2項目目標分析（1） 通過學(xué)習(xí)小組展示課前研究成果，了解北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識；

（2） 通過探究測量衛(wèi)星與終端距離的問題，理解北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的測距方式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；

（3） 通過探究多少顆衛(wèi)星能夠確定終端位置的問題，理解三球定位幾何原理，進一步解釋北斗一號系統(tǒng)雙星定位，北斗二號、北斗三號系統(tǒng)四星定位的實質(zhì)，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；

（4） 通過探究用數(shù)學(xué)模型表征終端的位置的問題，從代數(shù)角度理解三球定位幾何原理，進一步了解北斗一號系統(tǒng)與北斗二號、北斗三號系統(tǒng)如何算出終端的坐標，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)；

（5） 通過總結(jié)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位過程，理解有源定位與無源定位的概念.

3教學(xué)活動設(shè)計

3.1走進北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)學(xué)習(xí)小組分別向大家展示關(guān)于北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的課前研究成果：研制背景、“三步走”發(fā)展戰(zhàn)略及實施情況、基本組成、中國原子鐘的發(fā)展，其他小組對研究成果進行評價.

設(shè)計意圖：通過研究成果展示，學(xué)生對北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有初步的了解，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教師引導(dǎo)：衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位分三步進行：1. 測量衛(wèi)星到終端的距離；2. 根據(jù)衛(wèi)星到終端的距離確定終端所在的位置；3. 向用戶及主管部門提供導(dǎo)航信息.今天我們就一起學(xué)習(xí)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位的全過程！

設(shè)計意圖：明確研究路徑，為具體研究提供整體框架.

設(shè)A為衛(wèi)星控制中心，B_k為第k顆衛(wèi)星（k=1，2，3，……），M為終端.

3.2探究測量衛(wèi)星到終端的距離的原理問題1：如何測量衛(wèi)星與終端的距離？

師生活動：學(xué)生獨立思考后選代表回答.有初中的基礎(chǔ)及生活經(jīng)驗，學(xué)生能夠回答出要點.

設(shè)計意圖：由距離測量引出時間測距，這也是導(dǎo)航的核心.

追問1：如何準確測量衛(wèi)星到終端的傳播時間？

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，以小組為單位發(fā)言，教師對學(xué)生的發(fā)言進行點評，最后師生共同總結(jié)：

（1） 精確的時鐘去“量”時間［2］.學(xué)生結(jié)合物理學(xué)中測量的知識，類比長度測量有螺旋測微器，得出時間測量也需要精確的時鐘的結(jié)論，老師進一步指出，高精度時間測量儀器就是同學(xué)們展示的衛(wèi)星的心臟-原子鐘；

（2） 衛(wèi)星和終端在時間上同步［2］.學(xué)生回答出該要點比較困難，教師可以引入戰(zhàn)斗打響之前指揮員對表的情境，在充分交流的基礎(chǔ)上，師生共同歸納得出結(jié)論.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容與生活經(jīng)歷，分析問題、解決問題，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).

教師引導(dǎo)：北斗二號、北斗三號分別為第二代、第三代北斗系統(tǒng)，它們測量衛(wèi)星與終端的距離的方式為：M接受B₁信號，并處理信號數(shù)據(jù)，通過時間差得到衛(wèi)星到終端的距離B₁M，同理得到B₂M、B₃M……

追問2：在上述測距過程中，終端M發(fā)揮什么樣的作用？

師生活動：學(xué)生自主完成，交流結(jié)論，教師點評.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注終端的作用，為無源定位的引入做鋪墊.

教師引導(dǎo)：北斗一號是第一代北斗系統(tǒng)，它測量衛(wèi)星與終端的距離的方式為：如圖1，M經(jīng)過B₁向A發(fā)出申請定位信號（虛線），A收到信號后發(fā)出測距信號，B₁響應(yīng)向服務(wù)區(qū)用戶廣播，M收到信號經(jīng)過B₁轉(zhuǎn)發(fā)回A，A根據(jù)信號發(fā)出與接受的時間差，得到2（AB₁+B₁M），又AB₁是已知量，從而得到B₁M.

追問3：類比一顆衛(wèi)星的情形，現(xiàn)有兩顆衛(wèi)星B₁、B₂，畫出測量B₁M、B₂M的信號傳輸路徑.

師生活動：學(xué)生進行小組討論，再進行全班交流，教師在學(xué)生回答問題時與學(xué)生對話，師生共同總結(jié)，得到圖2.

設(shè)計意圖：該問題的設(shè)置是為北斗一號系統(tǒng)雙星定位做鋪墊.學(xué)生在討論過程中會遇到新問題，教師在關(guān)鍵處進行引導(dǎo)，將復(fù)雜問題簡單化，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

追問4：在上述測距過程中，終端M發(fā)揮什么樣的作用？

師生活動：學(xué)生自主完成，交流結(jié)論.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注終端的作用，為有源定位的引入做鋪墊.

3.3探究用衛(wèi)星與終端的距離確定終端的位置教師引導(dǎo)：通過時間測距，同學(xué)們得到衛(wèi)星與終端的距離，設(shè)B_kM=r_k.

問題1：一顆衛(wèi)星B₁，能否確定終端M的位置？

師生活動：學(xué)生獨立思考后回答：點M處于以B₁為球心，r₁為半徑的球面上，不能確定點M的位置.

追問1：兩顆衛(wèi)星B1、B2，能否確定終端M的位置？

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，師生共同總結(jié)得出：點M位于以B₁為球心，r₁為半徑的球面和以B₂為球心，r₂為半徑的球面相交后產(chǎn)生的圓上（稱為交線圓），所以不能確定點M的位置.

追問2：三顆衛(wèi)星B₁、B₂、B₃，能否確定終端M的位置？

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，教師引導(dǎo)學(xué)生將三球面相交問題轉(zhuǎn)化為交線圓與球面相交問題.教師用信息化工具進行演示，在此基礎(chǔ)上引出三球交會幾何原理：（1） 用戶測量出自身到三顆衛(wèi)星的距離；（2） 衛(wèi)星的位置精確已知，通過電磁波發(fā)給用戶；（3） 以衛(wèi)星為球心，距離為半徑畫球面；（4） 三個球面相交得兩個點，根據(jù)地理常識排除一個不合理點，即得用戶位置［3］.

設(shè)計意圖：通過提出問題和追問，學(xué)生經(jīng)歷三球交會幾何原理的產(chǎn)生過程，構(gòu)建了新的知識體系.教師用信息化工具進行演示，將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力.

教師引導(dǎo)：如圖3，北斗一號系統(tǒng)是基于“雙星定位”原理設(shè)計的，雙星即兩顆地球靜止衛(wèi)星.

圖3問題2：根據(jù)三球交會幾何原理，兩顆衛(wèi)星形成兩個球面，那么還有一個球面在哪里？

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，總結(jié)得到地球表面就是一個隱藏的球面.

設(shè)計意圖：揭示“雙星定位”的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生理性思維.

追問1：根據(jù)三球交會幾何原理，兩顆衛(wèi)星形成兩個球面與地表相交得到兩個交點，那么如何根據(jù)地理常識排除一個不合理點，確定終端位置？

師生活動：學(xué)生思考后回答：兩個點關(guān)于赤道面對稱，北斗一號向中國提供服務(wù)，那么只要考慮北半球這個點即可.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用課堂所學(xué)知識思考問題、解決問題，提高學(xué)生綜合運用知識解決實際問題的能力.

追問2：如圖4，交線圓與理論上的地表得到的位置與真實位置相距甚遠，思考如何尋找真實的位置？

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，得出需要結(jié)合各地的地貌進行定位的結(jié)論.教師順勢提出“高程”的概念.我國各地建立了負責(zé)提供高程數(shù)據(jù)的標校站，將數(shù)據(jù)變成電子高程地圖，提供一個以地心為球心、以球心至地球表面高度為半徑的非均勻球面，交線圓與非均勻球面的交點即為終端所在位置.

設(shè)計意圖：以現(xiàn)實問題為背景，鼓勵學(xué)生大膽分析問題，提出解決方案，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與空間想象能力.

教師引導(dǎo)：北斗二號系統(tǒng)空間段由5顆靜止軌道衛(wèi)星、5顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星、4顆中圓地球軌道衛(wèi)星組成；北斗三號系統(tǒng)空間段由3顆地球靜止軌道衛(wèi)星、3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和24顆中圓地球軌道衛(wèi)星組成.

問題3：北斗二號、北斗三號系統(tǒng)，三顆衛(wèi)星定位效果不理想，實際至少四顆衛(wèi)星才能實現(xiàn)準確定位，試分析其中的原因.

師生活動：學(xué)生獨立思考后討論交流，師生共同總結(jié)：問題在于衛(wèi)星與終端時間不同步.教師進一步指出，衛(wèi)星上安裝的是原子鐘，而終端安裝的是石英鐘，精度比起原子鐘就差很多，在定位前無法校正該時間差，這個存在誤差的衛(wèi)星與終端的距離成為偽距.考慮到這個時間差的存在，四顆衛(wèi)星才能夠確定終端的位置.

設(shè)計意圖：在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生梳理從測距到定位的每一個環(huán)節(jié)，查找問題的原因，體會需要四顆衛(wèi)星才能定位的合理性.

追問1：北斗三號系統(tǒng)，全球范圍定位精度實測優(yōu)于4.4米，亞太地區(qū)性能更優(yōu).亞太大部分地區(qū)，每時可見12-16顆衛(wèi)星，全球其他地區(qū)每時可見4-6顆衛(wèi)星，請用數(shù)學(xué)知識分析蘊含的信息.

師生活動：學(xué)生獨立思考后進行全班交流，老師在學(xué)生回答后再幫助其完善表達.

設(shè)計意圖：學(xué)生從組合數(shù)的角度分析、解決問題，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

3.4探究用數(shù)學(xué)模型表征終端的位置教師引導(dǎo)：終端的位置用三球交會幾何原理確定，需要用代數(shù)模型進行表征，并發(fā)送給用戶.

問題1：在空間直角坐標系中，已知衛(wèi)星B_k（x_k， y_k， z_k），B_kM = r_k.設(shè)終端M（m，n，p），

（1） 如果僅有一顆衛(wèi)星B₁，寫出m，n，p所滿足的等量關(guān)系；

（2） 如果有兩顆衛(wèi)星B₁，B₂，寫出m，n，p所滿足的等量關(guān)系；

（3） 如果有三顆衛(wèi)星B₁，B₂，B₃，寫出m，n，p所滿足的等量關(guān)系.

師生活動：學(xué)生獨立思考后選代表回答，學(xué)生運用空間中兩點之間的距離公式，能夠回答出要點，在此基礎(chǔ)上老師分別指出：

（1） 在空間直角坐標系下，三組等量關(guān)系都有相應(yīng)的幾何意義.

（2） 三球交會幾何原理從幾何的角度確定終端位置，得到以下方程組

解出點M的坐標，從代數(shù)的角度表征終端的位置.

（3） 北斗一號系統(tǒng)，控制中心根據(jù)兩個距離數(shù)據(jù)與電子高程地圖數(shù)據(jù)，算出終端所在位置坐標，并通過衛(wèi)星發(fā)送給終端，完成定位任務(wù).

設(shè)計意圖：問題層層遞進，激活學(xué)生思維，有效突破學(xué)生理解障礙，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

問題2：已知電磁波傳播速度為c，鐘差表示設(shè)備時間—標準時間.

設(shè)計意圖：北斗二號、北斗三號系統(tǒng)通過四顆衛(wèi)星確定終端的位置，從代數(shù)的角度建立等量關(guān)系，涉及五個鐘差，四個偽距，添加（1）（2）兩個任務(wù)，是為學(xué)生搭建一個腳手架，讓學(xué)生的分析能力在最臨近的發(fā)展區(qū)獲得發(fā)展，有效突破難點，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

4數(shù)學(xué)社團教學(xué)中開展項目式學(xué)習(xí)的啟示4.1精心選擇社團教學(xué)的核心話題數(shù)學(xué)社團教學(xué)建立在學(xué)生的興趣愛好之上，以學(xué)生感興趣的話題為出發(fā)點，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.項目式學(xué)習(xí)是以真實的問題或任務(wù)作為學(xué)習(xí)的動力和導(dǎo)向，引領(lǐng)學(xué)生整合不同學(xué)科的知識和技能，解決復(fù)雜的問題或完成綜合性的任務(wù).在數(shù)學(xué)社團教學(xué)中開展項目式學(xué)習(xí)，不但能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生更好地理解和運用數(shù)學(xué)知識，繼而落實核心素養(yǎng)，是一個特別有意義的想法.要想將這一想法落到實處，作為社團教學(xué)生發(fā)點的話題的選擇是關(guān)鍵.本文的“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”就是筆者精心挑選的一個既貼近學(xué)生的生活實際，又能使得學(xué)生充滿興趣而且樂意開展項目式學(xué)習(xí)的話題.

4.2充分保障開展項目式學(xué)習(xí)的時間以“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”為核心話題展開的項目式學(xué)習(xí)，共有7個問題，10個追問.學(xué)生需要獨立思考、表達觀點、辯論和聽取他人的意見、歸納總結(jié)、小組展示成果、互相評價.要想在這一系列過程中，充分落實對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那么教師在構(gòu)建項目式學(xué)習(xí)設(shè)計時，必須充分保障學(xué)生開展項目式學(xué)習(xí)的時間.只有以充裕的時間為保障，學(xué)生才能有更多的機會去深入學(xué)習(xí)，開展實踐活動，培養(yǎng)綜合解決問題的能力，社團活動的質(zhì)量也才能夠得到保證.

“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位”項目通過項目緣起、項目分析、教學(xué)活動設(shè)計以及開展項目式活動的啟示四個步驟展開，為科學(xué)技術(shù)融入數(shù)學(xué)社團課堂提供了有效借鑒.科技改變著人們的生活，挖掘科技發(fā)展背后蘊含的數(shù)學(xué)原理，讓先進的科學(xué)技術(shù)走進數(shù)學(xué)社團的課堂，使學(xué)生切實感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，是筆者對數(shù)學(xué)社團教學(xué)意義的思考，也是作為數(shù)學(xué)社團輔導(dǎo)老師的一個美好的愿景.參考文獻：

［1］ 楊明全.核心素養(yǎng)時代的項目式學(xué)習(xí)：內(nèi)涵重塑與價值重建［J］.課程·教材·教法，2021，41（2）：5763.

［2］ 北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).如何測量接收機到衛(wèi)星的距離［EB/OL］.http：∥www.beidou.gov.cn/zy/kpyd/201710/t20171011_4568.html，20120105.

［3］ 北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).三球交會定位原理［EB/OL］.http：∥www.beidou.gov.cn/zy/kpyd/201710/t20171023_4789.html，20110923.