包東妹

摘要：以一節(jié)公開課為載體，呈現(xiàn)了一位數(shù)學(xué)教師如何聚焦新課標(biāo)、研讀新教材、踐行新理念的生活常態(tài)，圍繞教學(xué)設(shè)計(jì)中的三個難點(diǎn)“如何有效利用情境抽象數(shù)學(xué)概念”“如何將瑣碎的知識點(diǎn)串成一條線”“如何彰顯引言課的作用”進(jìn)行專項(xiàng)突破.

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；新教材；新理念2022年9月，無錫市高中數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)活動在太湖高級中學(xué)舉行，筆者受邀上了一節(jié)公開課——數(shù)列的概念（第1課時）（人教A版選擇性必修二），同課異構(gòu)的隊(duì)友是獲得全國賽課一等獎的張長貴老師，在經(jīng)歷了備課、磨課、上課，同行切磋與交流后，感觸頗深，現(xiàn)將備課中比較糾結(jié)的幾個難點(diǎn)的突破過程和課堂效果整理成文，以饗讀者.

1如何有效利用情境抽象數(shù)學(xué)概念新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中，通過個體與情境的有效互動生成的，數(shù)學(xué)教學(xué)活動是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的重要途徑，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)切合學(xué)生實(shí)際的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言、模型描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.

教科書給出三個引例：王芳的身高（生活實(shí)例）、古代巴比倫泥版上的月相變化（數(shù)學(xué)文化）、-1/2的n次冪（數(shù)學(xué)內(nèi)部），并安排了一個歸納欄目，讓學(xué)生歸納上述三個例子的共同特征.

第一遍備課，深切領(lǐng)會教材意圖，從三個典型情境中抽象數(shù)學(xué)概念.在此基礎(chǔ)上筆者提出自己的不同想法：一是月相變化的例子情境很長，抽象出來的一列數(shù)與王芳的身高抽象出來的一列數(shù)的意義和用途相近；二是想擴(kuò)大情境的作用，不僅要利用情境提煉數(shù)列的概念，還要對后續(xù)研究數(shù)列的分類、性質(zhì)、通項(xiàng)公式等都有啟發(fā)引導(dǎo)的價值，所以對情境的選擇進(jìn)行了一番考慮，設(shè)置如下：

1. 王芳從1歲到9歲的每年生日都會測量身高，將她的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138.

2. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，下圖中的小石子代表的數(shù)依次為：1，3，6，10，…

（設(shè)計(jì)意圖：取代月相變化的例子，從圖形中概括數(shù)列，既有數(shù)學(xué)文化的趣味性，也體現(xiàn)情境表達(dá)的另一種方式，且此數(shù)列蘊(yùn)含數(shù)列前后項(xiàng)之間的聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)遞推關(guān)系埋下伏筆.）

3. 100以內(nèi)的正偶數(shù)按從小到大的順序依次排成一列數(shù)：2，4，6，8，…，100.

4. -1/2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪…的順序依次排成一列數(shù)：-1/2，1/4，-1/8，1/16，…

（設(shè)計(jì)意圖：3和4的例子都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，體現(xiàn)項(xiàng)與序號之間的規(guī)律性，便于總結(jié)通項(xiàng)公式，也表達(dá)了單調(diào)增數(shù)列和擺動數(shù)列的變化差異性.）

5. 無窮多個-1排成一列數(shù)：-1，-1，-1，-1，…

（設(shè)計(jì)意圖：體會數(shù)列中的項(xiàng)可以重復(fù)，與集合元素的互異性不同.）

6. 3的不足近似值按小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù)：1，1.7，1.73，1.732，1.7320，1.73205，…

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受這個數(shù)列后面的項(xiàng)是確定的，只是說不出是多少，項(xiàng)與序號之間確實(shí)是一一對應(yīng)的關(guān)系，但不能用通項(xiàng)公式來表示.）

去除情境，剩下六列數(shù)，讓學(xué)生觀察這六列數(shù)，歸納它們的共同特征.

學(xué)生給出的反應(yīng)是前三列數(shù)都是單調(diào)遞增，第四和第五列又不滿足這個規(guī)律，立馬又否定了自己的發(fā)現(xiàn)，單調(diào)性不是共同特征.

反思：第一，去掉了情境以后學(xué)生理解“有序”是困難的；第二，這六列數(shù)放在一起對“有序”的概念不夠聚焦，反而更突出了單調(diào)性等體現(xiàn)差異性的特征.

第二遍備課，設(shè)置如下四個情境：

1. 王芳從1歲到9歲的每年生日都會測量身高，將她的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138.

2. -1/2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪…的順序依次排成一列數(shù)：-1/2，1/4，-1/8，1/16，…

3. 3的不足近似值按小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù)：1，1.7，1.73，1.732，1.7320，1.73205，…

4. 100以內(nèi)的正偶數(shù)按從大到小排列的順序依次排成一列數(shù)：100，98，96，…，2.

（設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)不同排列方法，降低單調(diào)遞增的認(rèn)同感.）

【課堂片段一】

問題1：觀察上述情境中的四列數(shù)，它們有何共同特征？

生1：依次排列.

教師：它們分別是按照怎樣的次序排列的呢？

生1：第1列數(shù)按年齡從小到大的順序，第2列數(shù)按冪指數(shù)從小到大的順序，第3列數(shù)按小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)從少到多的順序，第4列數(shù)按數(shù)值從大到小的順序.

教師：回答得漂亮.

引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)列的概念：按照確定的順序排列的一列數(shù).

緊接著，教師拿出以下兩個情境，讓學(xué)生辨析它們是否是數(shù)列.

5. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，下圖中的小石子代表的數(shù)依次為：1，3，6，10，…

6. 無窮多個-1排成一列數(shù)：-1，-1，-1，-1，…

【課堂片段二】

教師：情境5中的這列數(shù)是不是一個數(shù)列？這個省略號蘊(yùn)含了后面有無數(shù)個圖，那么第五張圖，第六張圖分別代表的數(shù)是多少？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

學(xué)生的表現(xiàn)讓人驚喜，說出了后一個數(shù)與前一個數(shù)的關(guān)系.

教師：情境6中的這列數(shù)是一個數(shù)列嗎？

生1：不是，因?yàn)樗鼪]有確定的順序.

教師：這里每一項(xiàng)是一樣的，非常特殊，雖然它可以交換順序，但是我們也可以認(rèn)為它是有序排列的.

教師：集合中的數(shù)我們把它稱之為元素，數(shù)列中的每一個數(shù)，我們稱之為項(xiàng).請你說說數(shù)列中的項(xiàng)與集合中的元素有什么區(qū)別？

（設(shè)計(jì)意圖：體會知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，增強(qiáng)對數(shù)列概念的理解.）

2如何將瑣碎的知識點(diǎn)串成一條線新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有整體性與階段性，是學(xué)生在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的.高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容按照函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動四條主線展開，將數(shù)列內(nèi)容置于函數(shù)主題之下，意味著數(shù)列是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，其作為離散型函數(shù)，與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)一樣，都是重要的函數(shù)模型.這樣設(shè)置更加突出了數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列的基礎(chǔ)性，豐富了函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步深化了學(xué)生對函數(shù)的理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的整體性、發(fā)展性和聯(lián)系性.

根據(jù)新課標(biāo)和教科書呈現(xiàn)的內(nèi)容，設(shè)定本節(jié)課知識層面的教學(xué)目標(biāo)：通過觀察情境，學(xué)生能夠概括出數(shù)列的概念，知道項(xiàng)的概念，抽象出數(shù)列的一般形式，體會數(shù)列的部分性質(zhì)和分類，歸納出簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式，感受和理解數(shù)列是特殊的函數(shù)等等.從表面上看，知識點(diǎn)瑣碎，前后聯(lián)系不緊密，對教師來說實(shí)踐操作也非常困難.筆者思考：如何呈現(xiàn)知識的先后順序才能做到自然？如何巧妙銜接知識點(diǎn)才能讓知識的生成水到渠成，方法的運(yùn)用潤物細(xì)無聲？

渠東劍老師歸納的函數(shù)知識的發(fā)展線索（如上圖所示）給筆者以很大的啟發(fā)，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此我們可以借鑒函數(shù)的研究套路來研究數(shù)列，這也體現(xiàn)了大單元教學(xué)和主題式教學(xué)的作用.于是設(shè)計(jì)了以下四個問題，以問題串的形式將知識點(diǎn)串成了一條線，構(gòu)成了本節(jié)課的一條明線.

問題1：觀察上述情境中的四列數(shù)，它們有何共同特征？

（設(shè)計(jì)意圖：歸納共性，抽象出數(shù)列和項(xiàng)的概念，概括出數(shù)列的一般表示形式，并將數(shù)列中的項(xiàng)與集合中的元素進(jìn)行比較，感受數(shù)列和集合兩者的差異性.）

問題2：觀察這六列數(shù)，它們有何不同特征？

（設(shè)計(jì)意圖：分析差異，提煉數(shù)列的性質(zhì)——單調(diào)性等，并將數(shù)列按不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.）

問題3：數(shù)列的項(xiàng)與它的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生易于從第2、4、6個數(shù)列寫出項(xiàng)和序號之間的關(guān)系式，提煉出通項(xiàng)公式的概念，對于第1、3、5個數(shù)列，學(xué)生能感受到項(xiàng)和序號之間是對應(yīng)的，但說不出具體關(guān)系式，體會并不是每一個數(shù)列都可以寫出通項(xiàng)公式的.）

【課堂片段3】

生2：有，它們是一一對應(yīng)的關(guān)系.

教師：都是一一對應(yīng)的關(guān)系嗎？

生眾：不是，第6個數(shù)列是多對一.

教師：一對一和多對一讓你想到了哪個知識點(diǎn)？

生眾：函數(shù).

教師：你能得到項(xiàng)和序號之間的具體的關(guān)系式嗎？

生3：第2個是a_n=-（1/2）ⁿ，第4個是a_n=100-2n，…，哦，不對，應(yīng)該是a_n=100-2（n-1），第4個是a_n=-1，其他我就不會了.

教師：好的.同學(xué)們看這些式子有點(diǎn)像函數(shù)里面的——解析式，對了，那么你求解析式的時候僅僅考慮一個式子嗎？

生眾：哦，還要考慮定義域.分別是…

教師：那么其他的三列數(shù)有對應(yīng)關(guān)系嗎？感覺有但是說不出來.

生4：（舉手）老師，第5個我也能寫出來，根據(jù)前面幾項(xiàng)的規(guī)律，an=1+2+3+…+n.（課堂出現(xiàn)的意外驚喜）.

引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)列的通項(xiàng)公式后，教師給出一個練習(xí)：請你寫出數(shù)列：1，-1，1，-1，…的一個通項(xiàng)公式.

學(xué)生的表現(xiàn)也非常棒，舉出了a_n=（-1）^n-1，a_n=（-1）ⁿ⁺¹，a_n=sin（2n-1）π/2，a_n=cos （n-1）π等這些數(shù)列的不同的表示形式，切實(shí)體會了結(jié)論2：“一個數(shù)列的通項(xiàng)公式有時不唯一”.

問題4：第1個和第3個數(shù)列中的項(xiàng)與序號的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：回顧函數(shù)的概念，通過分析數(shù)列的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，將數(shù)列納入函數(shù)的范疇，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的眼光來看數(shù)列，用函數(shù)的表示方法來表示數(shù)列，如用列表法或圖像法來表示第1個數(shù)列；通過直觀感知，分析比較，理解數(shù)列是特殊的函數(shù)——離散型函數(shù)，為后續(xù)類比函數(shù)的研究套路來研究特殊數(shù)列和應(yīng)用數(shù)列模型解決問題打下基礎(chǔ).）

課堂上還真有學(xué)生提出不同意見：“數(shù)列不是函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的，數(shù)列是不連續(xù)的”，最終在師生和生生的交流、辨析和補(bǔ)充中完成對概念的認(rèn)識和理解.

3如何彰顯章引言課的作用章引言一般從學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)或?qū)W生能理解的實(shí)例出發(fā)，簡單地介紹本章節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容、地位和作用，同時又從數(shù)學(xué)文化的角度，揭示與本章內(nèi)容有關(guān)的人文背景、數(shù)學(xué)應(yīng)用價值以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想方法，所以章引言也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的起始課，是本章知識的核心內(nèi)容和生長點(diǎn).

數(shù)學(xué)文化是人類文明的一個重要組成部分，新課標(biāo)把“數(shù)學(xué)文化”融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中.而數(shù)列承載著很多文化背景，古代埃及、巴比倫、中國和印度的文獻(xiàn)中都有豐富的數(shù)列問題，教材在編寫本章內(nèi)容的過程中，特別注意引用或改編數(shù)學(xué)史中的例子，不僅豐富了本章內(nèi)容，而且有利于提升學(xué)生的人文素養(yǎng).

筆者思考：① 如何在本節(jié)課中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的功能，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和熱情？② 如何讓學(xué)生體悟出學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)對象的研究方法，體會其普適性、應(yīng)用性和有效性？

對于第一點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)文化，除了問題情境中的畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù)，還在本節(jié)課后留了一個課外拓展題：“謝爾賓斯基三角形是一種分形，它是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的.取一個實(shí)心的三角形，挖掉由每條邊中點(diǎn)組成的三角形，進(jìn)而繼續(xù)在新生成的三個小三角形中繼續(xù)挖，如此循環(huán).你能發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)列嗎？如果有，你還會繼續(xù)提出哪些需要深入研究的問題？”

（設(shè)計(jì)意圖：在建立了數(shù)列的概念之后，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的思維來提出問題，為用數(shù)學(xué)的方法解決問題做好鋪墊.）

對于第二點(diǎn)，要讓學(xué)生有自覺的認(rèn)識，就要讓學(xué)生深入具體概念和原理的生成情境中，充分體驗(yàn)分析、歸納、概括、數(shù)學(xué)表達(dá)、辨析等過程，在過程中建立對概念和原理的清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識.本節(jié)課概念生成的過程，也就是讓學(xué)生經(jīng)歷“背景分析和共性歸納——下定義——數(shù)學(xué)表達(dá)——概念辨析”的全過程，在課堂小結(jié)中讓學(xué)生梳理了此過程，并類比函數(shù)的研究路徑，對數(shù)列即將要研究的內(nèi)容和方法進(jìn)行了展望，并遷移到研究新的數(shù)學(xué)對象的一般方法.

反思：章引言的另一個比較大的教學(xué)功能體現(xiàn)在“幫助學(xué)生了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容、地位和作用”，筆者沒有深入思考，聽了張老師的課，覺得張老師的開篇設(shè)計(jì)正好彌補(bǔ)了這個缺憾.具體如下：

從人教A版選擇性必修第二冊的封面“海螺圖象”提出問題：對這一事物或現(xiàn)象，你能提出哪些問題？引入主題：數(shù)列.

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，如何從整體上認(rèn)識“數(shù)列”這一新內(nèi)容的學(xué)習(xí)？引導(dǎo)學(xué)生思考可能研究的內(nèi)容是數(shù)列的產(chǎn)生，數(shù)列的本質(zhì)，數(shù)列的價值，數(shù)列的內(nèi)容，數(shù)列的思想方法和研究路徑……

以兩個生活實(shí)例引入，一棵樹每年同一時刻記錄的高度，一個學(xué)生的六次測驗(yàn)成績，體會數(shù)列來源于現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)、生活需要.并讓學(xué)生自己舉出幾個類似的按順序排成一列的數(shù)，研究其變化規(guī)律.

由于是借班上課，學(xué)生的應(yīng)答不是很順暢，但如果每個章節(jié)起始課都是這樣上，長此以往，相信學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、歸納遷移能力都會有很大的提高.

聚焦新課標(biāo)，研讀新教材，踐行新理念，應(yīng)落實(shí)到平時的每一節(jié)課堂，讓我們的研究落地生根、開花結(jié)果.參考文獻(xiàn)：

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［3］ 孫朝仁.“章引言”數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考［J］.上海教育科研，2015（9）：7375.

［4］ 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考［J］.課程·教材·教學(xué)，2016，36（7）：4449.

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［6］ 郭玉峰，趙坤.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中教材習(xí)題中的表現(xiàn)研究：以“函數(shù)”為例［J］.教育科學(xué)研究，2019（3）：6874.