龍祁林

摘要：平面解析幾何中的最值問題往往可以很好地融入“動(dòng)”與“靜”，而解決問題時(shí)又可以體現(xiàn)“數(shù)”與“形”，成為高考命題的一個(gè)重要場(chǎng)景.本文結(jié)合一道高考模擬題，并結(jié)合“動(dòng)”與“靜”的場(chǎng)景，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)視角切入，展示不同的解題思維與技巧方法，指導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)解題研究.

關(guān)鍵詞：橢圓；最值；函數(shù)；幾何；變式涉及平面解析幾何中參數(shù)、代數(shù)式等的最值問題，一直是高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)熟悉“面孔”，難度中等及以上.此類問題可以有效綜合點(diǎn)、直線、圓、圓錐曲線等相關(guān)元素，合理交匯其他相關(guān)知識(shí)，題目新穎，背景生動(dòng)，“動(dòng)”“靜”結(jié)合，融合度高，變化多端，形式各樣.而解決問題時(shí)又可以“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化，給考生以更多的視角與機(jī)會(huì)，充分體現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，備受各級(jí)各類考試的命題者青睞.

1問題呈現(xiàn)

2問題破解

2.1思維視角一：函數(shù)視角

2.2思維視角二：幾何視角

解后反思：幾何思維解法是處理此類問題的“巧技妙法”，展現(xiàn)的就是“米勒定理”問題，通過幾何圖形的直觀視角，結(jié)合正弦定理以及圓的幾何性質(zhì)等加以邏輯推理與數(shù)形結(jié)合，這里合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的圓是解決問題的過渡點(diǎn)與“橋梁”，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)張角的最大位置與三角函數(shù)值的最值.幾何思維法的關(guān)鍵在于構(gòu)建相應(yīng)的幾何直觀圖形，“形”看最值條件，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)加以分析與應(yīng)用.

3教學(xué)啟示

3.1“動(dòng)”與“靜”結(jié)合，“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化破解平面解析幾何中的代數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)值等的定值、最值（或取值范圍等）相關(guān)問題時(shí)，基于動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等要素對(duì)應(yīng)的題設(shè)中點(diǎn)、直線、圓等相關(guān)元素的變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律，“動(dòng)”中取“靜”，確定相關(guān)定值、最值（或取值范圍等）的位置點(diǎn).解決問題時(shí)，可以從“數(shù)”的視角通過相關(guān)幾何元素中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系，結(jié)合關(guān)系式或不等式的建立，以代數(shù)方式來處理；或從“形”的視角通過平面幾何圖形中歸納運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合幾何特征來分析，以幾何方式來處理.

3.2開展“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”

2019年發(fā)行的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為今后的高考試題改革指明方向，其中包括“高考試題要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”等，為高考命題與高中教學(xué)提供更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)與解題研究中，在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與基本技能等方面訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，以習(xí)題的“一題多解”探究為載體，開闊學(xué)生解題視野，使他們熟練掌握更多解題方法；并在此基礎(chǔ)上做到深度學(xué)習(xí)，進(jìn)行合理的“一題多變”，達(dá)到“一題多得”等目的，總結(jié)解題規(guī)律，有效避免題海戰(zhàn)術(shù)，真正有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力等.