王西辭

摘要：培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)教師應(yīng)做到：創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生能力的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生思維的火花，給學(xué)生留白的時間；善于捕捉學(xué)生思維的閃光點，鼓勵學(xué)生展示自己的想法；在必要的時候，讓學(xué)生恰當(dāng)?shù)亟柚娔X或圖形計算器等現(xiàn)代信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)或驗證猜想，建立模型思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，進(jìn)而提高直觀想象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；初中生；現(xiàn)代信息技術(shù)；直觀想象素養(yǎng)1問題的提出“Math education for all”，數(shù)學(xué)教育為人人，通常譯為“大眾數(shù)學(xué)教育”.這是大家熟知并接受的數(shù)學(xué)教育改革的標(biāo)志性理念.［2］［3］在有一些學(xué)生和家長反映出數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展存在困難的情況下，如何從教師的課堂教學(xué)入手，在培養(yǎng)直觀想象方面做到大眾數(shù)學(xué)則成為突出的現(xiàn)實問題.以計算機(jī)、智能設(shè)備、互聯(lián)網(wǎng)和通用技術(shù)等為代表的現(xiàn)代信息技術(shù)帶給了我們新的希望.近幾來年，我們看到北京、上海、廣東一些中學(xué)老師在培養(yǎng)直觀想象中大膽的嘗試，教學(xué)效果顯著.但是這些嘗試，更多是關(guān)于現(xiàn)代信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)課程的整合.在初中，我們也需要有成功的范例，需要有基于現(xiàn)代信息技術(shù)的反映數(shù)學(xué)新課程的資源，需要有能夠整體把握基于現(xiàn)代信息技術(shù)的數(shù)學(xué)課程的專業(yè)教師團(tuán)隊，需要有成功應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)支持學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的案例.

利用現(xiàn)代信息技術(shù)對初中生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個全新的挑戰(zhàn)性課題，且該過程是一個循序漸進(jìn)的過程，無法一蹴而就，需要在實踐中不斷地尋求解決路徑.

2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀述評以“直觀想象”為關(guān)鍵詞在中國知網(wǎng)上檢索，共找到806篇結(jié)果，其中期刊、學(xué)位論文共119篇；其中，以“初中、直觀想象”為篇名共檢索到22篇，以“初中、直觀想象培養(yǎng)”為篇名共檢索到10篇.以“信息技術(shù)、直觀素養(yǎng)”或以“信息技術(shù)、幾何直觀”或以“信息技術(shù)、空間想象”一起為關(guān)鍵詞搜索，結(jié)果均為0.說明在這一領(lǐng)域需要進(jìn)行深入、系統(tǒng)的研究.結(jié)合已有文獻(xiàn)并參考相關(guān)專著，綜述文獻(xiàn)如下：

2.1直觀想象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物.［4］董林偉和喻平將直觀想象核心素養(yǎng)劃分為3個維度：空間想象，幾何直觀，數(shù)形結(jié)合.［5］吳立寶，劉哲雨，康玥在分析直觀想象素養(yǎng)形成過程的基礎(chǔ)上，提出直觀想象素養(yǎng)歷經(jīng)了原型直觀、表象直觀和想象直觀三個階段.［6］史寧中認(rèn)為直觀想象在義務(wù)教育階段體現(xiàn)的就是幾何直觀和空間觀念.［7］

有關(guān)幾何直觀的內(nèi)涵，孔凡哲，史寧中認(rèn)為幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力.幾何直觀具體表現(xiàn)為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀四種表現(xiàn)形式.［8］幾何直觀包括以下三個方面：（1） 利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；（2） 建立形與數(shù)的聯(lián)系；（3） 建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.［9］

有關(guān)空間觀念的內(nèi)涵，空間觀念是我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十大核心概念之一，具體表現(xiàn)為根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描繪的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動和變化；根據(jù)語言的描述畫出圖形等.［10］全美數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）指出，空間觀念是對一個人周圍環(huán)境和實物的直接感知：對于2或3維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.［11］孔凡哲，史寧中認(rèn)為空間觀念（空間想象能力）傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力，而幾何直觀更強(qiáng)調(diào)借助一定的直觀背景條件而進(jìn)行整體把握能力.［12］

根據(jù)以上綜述，對于直觀想象，我們不能認(rèn)為它是幾何直觀和空間想象的結(jié)合.二者既各自有側(cè)重點也有更多的交融點.這就要求我們從核心素養(yǎng)的整體性、綜合性出發(fā)，重視幾何直觀和空間想象體現(xiàn)在學(xué)生身上的整體效應(yīng).在實際教學(xué)中，抓住“空間認(rèn)識”“圖形描述”“構(gòu)建直觀模型”“數(shù)形結(jié)合”幾個關(guān)鍵詞，逐步培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2.2初中生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，史寧中談到兩個原則：“一個原則是把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，另一個原則是設(shè)計并且實施合理的教學(xué)活動”.具體而言，在教學(xué)設(shè)計中，首先，應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進(jìn)行整體設(shè)計，其次，教學(xué)的設(shè)計與實施，要特別重視情境與問題，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升.［13］鐘啟泉指出，“核心素養(yǎng)”不是直接由教師教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來的.［14］在“圖形與幾何”的編排中，要盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的時機(jī).［15］圖形語言是培養(yǎng)直觀想象的優(yōu)良載體.小平邦彥提出，初中平面幾何（歐氏幾何）需要看圖形，并對其進(jìn)行驗證，特別是畫輔助線需要觀察圖形整體后做出綜合判斷 ，因此也是訓(xùn)練右腦（負(fù)責(zé)幾何等）的最好方法.［16］他認(rèn)為初中平面幾何是幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)造力、空間想象能力、用圖形語言思考問題能力、直觀洞察能力的最好教材.

2.3數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的測評問卷新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價關(guān)注學(xué)生知識技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.［17］

幾何直觀的測評問卷更多傾向于方法而非能力.以“幾何直觀”或“數(shù)形結(jié)合”為主題的研究多以理論思辨為主，且更多是關(guān)注教學(xué)或解題方面，圍繞視覺表象進(jìn)行研究.從題目的設(shè)計看出，研究者的目的并不在于學(xué)生的答案是否正確，而在于判斷學(xué)生在多大程度上傾向于使用視覺化的方法.［18］

空間觀察的測評問卷主要來自心理學(xué)領(lǐng)域.數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域同心理學(xué)領(lǐng)域中用于評價空間想象的任務(wù)類型很大程度上是重合的，例如圖形旋轉(zhuǎn)、圖形折疊、圖形展開、圖形識別等.針對初中生的主要有楊孟萍、石德澄編制的初中生空間認(rèn)知能力的測試.［19］

2.4現(xiàn)代信息技術(shù)與課程整合的意義教師的信息技術(shù)與教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容的整合能力以及課堂教學(xué)中信息技術(shù)的充分使用有利于學(xué)生代數(shù)、幾何成績提高.［20］同時，借助信息技術(shù)手段，變革教學(xué)（學(xué)習(xí)）方式，學(xué)生將手機(jī)、平板、電腦不再用作娛樂工具，而是可以用作學(xué)習(xí)的設(shè)備，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.一個重大的發(fā)展是，2010年教育部發(fā)布的JY/T 04062010《高中理科教學(xué)儀器配備標(biāo)準(zhǔn)》（教基二［2010］1號）中，將數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件（具有幾何作圖、圖形變換、函數(shù)圖象繪制、度量、動作控制等方面的功能，并以中文菜單顯示配備目錄）加入配備目錄，并提出了新的要求.這將極大的推動現(xiàn)代信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的科學(xué)應(yīng)用.國際數(shù)學(xué)教育界也有共識，特別是美國著名的國家數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）關(guān)于技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)更是明確的強(qiáng)調(diào)“要確保（ensure）”所有學(xué)生都能使用技術(shù).在初中，人民教育出版社八下數(shù)學(xué)教科書在勾股定理這一章中多次允許學(xué)生使用計算器.

3研究設(shè)計

3.1研究內(nèi)容我們重點從初中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩個內(nèi)容進(jìn)行初中生的直觀想象培養(yǎng).如下表：（具體授課可能會根據(jù)實際研究情況作調(diào)整）

3.2培養(yǎng)方式以上內(nèi)容分三個時間段實施（其中帶“*”是考試重點研究對象）

*課上團(tuán)體培養(yǎng)的行動研究

課間答疑個體培養(yǎng)行動研究

*課后服務(wù)團(tuán)體培養(yǎng)的行動研究

4實證研究

4.1滲透數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)4.1.1班級介紹V1班和V3班均是2021年初二A層的學(xué)生； V2班是2018（三年前）年初二A層的學(xué)生.這三個班從成績和能力來說水平相當(dāng)，適合作對比研究.

4.1.2授課內(nèi)容路徑最值問題，選自八年級上《軸對稱》.通過該內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)與形結(jié)合能力.進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

4.1.3授課方式（1） V1班：傳統(tǒng)板書教學(xué)，不采用任何信息技術(shù)手段.從兩點、一點一線到兩點一線到兩線一點，從銳角內(nèi)一點到鈍角內(nèi)一點，通過不停地變式研究路徑最短問題.

（2） V2班：幾何畫板+板書授課.只講兩點一線，把這個問題的四種圖形及涉及到的和最小、和最大、差最小、差最大四類問題講透.

（3） V3班：現(xiàn)代信息技術(shù)+板書授課.預(yù)設(shè)學(xué)生可能發(fā)生的所有情況，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生建立在自己考慮的根底上，獲得新知.

4.1.4教學(xué)效果分析（1） 使用現(xiàn)代信息技術(shù)比不使用現(xiàn)代信息技術(shù)效果更好，學(xué)生親自操作現(xiàn)代信息技術(shù)比看老師操作現(xiàn)代信息技術(shù)效果更好，更有利于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

〖XB，HT6H，J2mm;Y0<續(xù)表>〗題號12345V197.50%7.50%70.00%16.25%13.75%V295%28%78%17%13%V3100%41.46%90.24%47.56%43.90%（2） 學(xué)生親自操作現(xiàn)代信息技術(shù)比看老師操作現(xiàn)代信息技術(shù)更有利于創(chuàng)造思維的培養(yǎng).

教師利用TI—nspire軟件發(fā)布的了一道學(xué)生未曾見過的測試題，學(xué)生現(xiàn)場接收并完成測試題，共用時2分鐘.

已知∠AOB（鈍角）內(nèi)一點M，OM=4cm，點M到射線OA的距離為3，點M到射線OB的距離為2.若在射線OA上有一點P，射線OB上有一點Q，使得MP+PQ+QM最小，則此時MP+PQ+QM的最小值.

A. 6B. 4C. 8D. 10

測試結(jié)果如下（正確答案為C）：

A層同學(xué)正確率為96.77%，該結(jié)果比三年前同等水平的學(xué)生正確率高.

許多同學(xué)雖然結(jié)果分析得不準(zhǔn)確，但是，他們的測試中體現(xiàn)出了直觀想象的意識.

4.2構(gòu)造直觀模型培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)4.2.1班級介紹培養(yǎng)對象：22名初二學(xué)生，他們在每周五下午有一個小時左右團(tuán)體培養(yǎng)時間，雖然他們的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平參差不齊，但是他們均是本著對數(shù)學(xué)的熱愛自愿報名參加的.

教師在教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的幾何模型.數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程，啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題；鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考、學(xué)會思考；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證.

4.2.2模型思想的滲透案例：兩個共頂點不全等的等腰三角形產(chǎn)生的幾何模型

（1） 動手畫圖，推理猜想，直觀想象：請同學(xué)們在紙上繪制一個等腰三角形ABC，在BC上選取一點D，作等腰三角形DAE，使得∠DAE=∠BAC.學(xué)生看到圖形作出如下推理：可以產(chǎn)生兩個全等的等腰三角形：△ABD≌△ACE（SAS）.

直觀想象：隨著點D的運(yùn)動，這兩個三角形永遠(yuǎn)全等嗎？

（2） 借助現(xiàn)代信息技術(shù)親自驗證猜想.

（3） 由△ABD≌△ADE可以得到什么？

可以得到：∠B=∠ACE，

又因為：AB=AC，可得∠B=∠ACB，

從而，∠ACE=∠ACB，

可得，CA平分∠BCE.

（4） 由角平分線，想到什么？想到角平分線性質(zhì)定理.

（5） 動手畫出角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？過點A作AF⊥CE于點F，過點A作AH⊥BC于點H.

（6） 學(xué)生猜想：△ADH≌△AEF（HL）.

（7） 直觀想象：隨著點D的運(yùn)動，這兩個三角形永遠(yuǎn)全等嗎？學(xué)生猜想：永遠(yuǎn)全等.

（8） 學(xué)生利用現(xiàn)代信息技術(shù)驗證猜想：△ADH≌△AEF永遠(yuǎn)成立.然后你可以得到什么？得到DH=EF.

（9） 引導(dǎo)借助現(xiàn)代信息技術(shù)探究：CD，BD，EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.

此時，CD-BD=2DH.

此時，BD-CD=2DH.

（10） 學(xué)生反思：點D不同的位置，三者之間的關(guān)系有何區(qū)別，有何聯(lián)系？借助幾何直觀，可以更清晰地想象.

4.2.3教學(xué)效果分析課后服務(wù)團(tuán)體培養(yǎng).2021年9月—2022年2月，課后服務(wù)時間，開設(shè)了數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)社團(tuán)，采用現(xiàn)代信息技術(shù)授課，22名數(shù)學(xué)薄弱的學(xué)生參與了進(jìn)來.經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實踐，他們中有17名同學(xué)數(shù)學(xué)成績提升.

他們反饋道：“這樣的課堂運(yùn)用了電子設(shè)備，更加生動具體，且自己能操作，很有意思.”“這個數(shù)學(xué)社團(tuán)別具一格，顛覆了我對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，非常形象有趣，在歡樂中探索知識，每節(jié)課總是很快就過去了，這是我在平時數(shù)學(xué)課上沒感受過的.”、“能聽到平時課上聽不到的題，開拓了思維.”、“使我對復(fù)雜的題目有了思路，更加直觀.”……

5研究啟示針對初中生直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)困難的問題，教師在教學(xué)過程中，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生在自己原有的基礎(chǔ)之上自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.首先創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生能力的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生思維的火花，舍得給學(xué)生留白的時間；在課堂教學(xué)中善于捕捉學(xué)生思維的閃光點，鼓勵學(xué)生展示自己的想法；在必要的時候，恰當(dāng)借助現(xiàn)代信息技術(shù)幫助初中生構(gòu)造幾何直觀模型、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

5.1滲透數(shù)形結(jié)合能力、構(gòu)造直觀模型有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)很多數(shù)學(xué)家對數(shù)字的癡迷源于對數(shù)學(xué)本身的熱愛.對于初學(xué)幾何的學(xué)生，數(shù)形結(jié)合能力的滲透、數(shù)學(xué)直觀模型的構(gòu)造有助于學(xué)生更快地建立幾何直觀，把握整體思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

5.2學(xué)生親自操作現(xiàn)代信息技術(shù)還有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心每次下課，總有學(xué)生給老師分享他們利用現(xiàn)代信息技術(shù)編的新題或探究出的新成果.他們在學(xué)習(xí)感悟中寫到的關(guān)鍵詞：“很有趣”“巧妙”“受益良多”“生動有趣”“使思路更清晰”“現(xiàn)代信息技術(shù)提高了我的數(shù)學(xué)思維能力”“更直觀”“使我的猜想得到了驗證”“讓我對數(shù)學(xué)增加了興趣”等等.紛紛表達(dá)了自主探索解決問題的快樂.

5.3現(xiàn)代信息技術(shù)不能完全替代原有的教學(xué)手段現(xiàn)代信息技術(shù)的真正價值在于實現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至達(dá)不到的效果.例如動態(tài)圖形的演示，計算器準(zhǔn)確的度量功能.但是在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時，教師不能摒棄傳統(tǒng)教學(xué)模式中好的做法，例如課堂教學(xué)的板書設(shè)計.必要的板書有利于實現(xiàn)學(xué)生的思維與教學(xué)過程同步，有助于學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)［15］.我們到底該怎么用它？我認(rèn)為可以用它進(jìn)行一些基礎(chǔ)計算，或用于開拓思路.但核心思路不要用計算器一帶而過.兩個“課標(biāo)”均指出教學(xué)中要盡可能地使用計算器、計算機(jī)以及有關(guān)軟件；課堂教學(xué)、課外作業(yè)、實踐活動中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容的要求，允許學(xué)生使用計算器，還應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生用計算器進(jìn)行探索規(guī)律等活動.但是現(xiàn)代信息技術(shù)的作用不能完全替代原有的教學(xué)手段，其真正價值在于實現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至達(dá)不到的效果.例如，利用計算機(jī)展示函數(shù)圖象、幾何圖形的運(yùn)動變化過程；從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表；利用計算機(jī)的隨機(jī)模擬結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解隨機(jī)事件以及隨機(jī)事件發(fā)生的概率.在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時，教師還應(yīng)注重課堂教學(xué)的板書設(shè)計.必要的板書有利于實現(xiàn)學(xué)生的思維與教學(xué)過程同步，有助于學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)［15］.

5.4時代的進(jìn)步，需要教師與時俱進(jìn)，不斷地學(xué)習(xí)新的知識和技能守著一成不變的教學(xué)模式無法適應(yīng)新時代的學(xué)生.在利用現(xiàn)代信息技術(shù)授課中，學(xué)生不斷地產(chǎn)生新的想法，教師及時地回應(yīng)，需要教師更多地知識儲備和靈活應(yīng)變能力，在這樣的授課方式中，促使教師更用心地備課，教師的教學(xué)水平也得到了提高，實現(xiàn)了教學(xué)相長.參考文獻(xiàn)：

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