［摘? 要］ 雖然合情推理在日常生活中無(wú)處不在，卻難以達(dá)到數(shù)學(xué)精確水平. 猜想是合情推理的主要形態(tài)，合理猜想是具有良好直覺(jué)的高級(jí)認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程. 文章從合情推理的內(nèi)涵與價(jià)值出發(fā)，具體談?wù)剶?shù)學(xué)探究思維活動(dòng)流程，并從公式、定理與例題教學(xué)三方面對(duì)合情推理能力的培養(yǎng)措施展開(kāi)分析.

［關(guān)鍵詞］ 合情推理；公式；定理；解題

波利亞認(rèn)為，在我們的日常交流、思維、藝術(shù)表演以及最高學(xué)科成就中到處都充滿了合情推理，雖然合情推理無(wú)處不在，卻難以達(dá)到數(shù)學(xué)精確水平. 他還提出，不管是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，抑或其他學(xué)科，都不能缺乏合情推理過(guò)程，合情推理在所有的發(fā)現(xiàn)中都有著重要作用. 新課標(biāo)也著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與推理能力.

合情推理的內(nèi)涵與價(jià)值

合情推理是指在認(rèn)知心理活動(dòng)過(guò)程中，從感性直觀到知性探究的過(guò)程，它與演繹推理的邏輯形式有所不同，直覺(jué)、歸納與類比是它慣用的思維方式. 猜想是合情推理的主要形態(tài)，合理猜想是具有良好直覺(jué)的高級(jí)認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程，一般以知識(shí)的形成作為思維的起點(diǎn). 那么，在什么情況下，數(shù)學(xué)教學(xué)需要合情推理的輔助呢？

康德哲學(xué)學(xué)說(shuō)認(rèn)為，主體一般會(huì)利用自身意識(shí)中直觀性的先驗(yàn)格式來(lái)羅列萬(wàn)象，整頓乾坤，即外于主體的客體信息為人類已有的觀念賦予了它結(jié)構(gòu)與意義，這種賦予外在信息意義的過(guò)程源于感性直觀和知性探究. 也就是說(shuō)在學(xué)習(xí)者的思維活動(dòng)中，獲得決定問(wèn)題信息的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，才能組織好外在信息，利用數(shù)學(xué)知識(shí)生成有價(jià)值的知識(shí)輪廓. 那么，賦予數(shù)學(xué)化信息結(jié)構(gòu)與意義的過(guò)程是怎樣的呢？

如圖1所示，首先，主體從外在信息中確定支點(diǎn)信息，而這個(gè)心理活動(dòng)又由外在信息與已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)互相誘導(dǎo)、調(diào)整而來(lái)；其次，支點(diǎn)信息形成“凝聚核”后，諸多外在信息則形成網(wǎng)絡(luò)式輪廓；最后，信息輪廓提示主體選擇相應(yīng)的知識(shí)封裝成網(wǎng)絡(luò)式輪廓，形成新的信息結(jié)構(gòu)圖.

綜上可知，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題信息時(shí)，主體對(duì)信息的結(jié)構(gòu)并沒(méi)有十足把握. 因此需要從信息的某個(gè)支點(diǎn)出發(fā)，將信息組織成帶有結(jié)構(gòu)意義的脈絡(luò)，這一切都離不開(kāi)合情推理的作用.

培養(yǎng)合情推理的具體措施

概念、公式、定理、法則等是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)解題之源. 原理命題的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程，都離不開(kāi)合情推理的應(yīng)用. 因此，公式、定理與解題教學(xué)也是發(fā)展學(xué)生合情推理能力的必經(jīng)之路.

1. 立足公式教學(xué)，培養(yǎng)合情推理能力

有些教師認(rèn)為，學(xué)生只要記住公式就可以了，至于公式的來(lái)龍去脈沒(méi)有必要弄清楚. 殊不知，公式是解題的基礎(chǔ)，學(xué)生只有做到“知其然且知其所以然”，才能準(zhǔn)確地應(yīng)用公式. 淡化公式推導(dǎo)過(guò)程不僅會(huì)嚴(yán)重消減學(xué)生對(duì)公式的重視程度，還會(huì)阻礙學(xué)生合情推理能力的發(fā)展.

案例1 “等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué).

對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，基本上從特殊對(duì)象著手開(kāi)始研究，再逐步擴(kuò)展到一般情況，即應(yīng)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法推導(dǎo)公式. 比如先提出問(wèn)題“1+2+…+100=？”而后推廣問(wèn)題“1+2+…+n=？”“a+a+…+a=？”，最后總結(jié)方法“配對(duì)求和”“倒序相加求和”.

筆者按照上述思路在一個(gè)班上了一節(jié)課，有兩點(diǎn)感受：①學(xué)生并不會(huì)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與高斯算法聯(lián)系到一起，即使在教師的點(diǎn)撥下，也無(wú)法順利從高斯算法中得到啟示，自主實(shí)現(xiàn)倒序相加法的思維轉(zhuǎn)換；②討論高斯算法時(shí)，學(xué)生的興致較高，但對(duì)于其算理的研究以及倒序相加法的轉(zhuǎn)換，學(xué)生表現(xiàn)的是茫然的狀態(tài). 因此只能將倒序相加法強(qiáng)硬地灌輸給學(xué)生，在這種高壓措施下，“順利”完成了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo). 雖說(shuō)最終完成了教學(xué)任務(wù)，但學(xué)生并沒(méi)有從本源上認(rèn)識(shí)到倒序相加法的原理，為后續(xù)實(shí)際應(yīng)用埋下了隱患.

為此，在另一班授課時(shí)，筆者進(jìn)行了如下改進(jìn)：

與學(xué)生從求和符號(hào)開(kāi)始進(jìn)行討論，分析等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和用數(shù)學(xué)中常用的求和字母S來(lái)表示，即S=a+a+…+a①. 若對(duì)式①進(jìn)行逐項(xiàng)相加計(jì)算，則計(jì)算過(guò)程冗長(zhǎng)煩瑣，而且容易出現(xiàn)失誤，這就要考慮使用一種簡(jiǎn)單的求和方法進(jìn)行計(jì)算，由此引發(fā)了如下互動(dòng)過(guò)程.

生1：可以結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，探索式①的簡(jiǎn)單表達(dá)式，即求和公式.

師：英雄所見(jiàn)略同，那么表達(dá)式的結(jié)構(gòu)是什么樣子的呢？如果表達(dá)式確實(shí)存在，那么在其結(jié)構(gòu)形式中，可能存在哪些組成元素？

（學(xué)生沉默）

師：現(xiàn)在我們從以下幾方面去思考：式①的右邊存在n項(xiàng)，n為變量，其變化必然引起S的變化；結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式不難發(fā)現(xiàn)，若能確定等差數(shù)列中的某兩項(xiàng)，或者確定公差與等差數(shù)列中的某一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列也就明確了. 這能給我們帶來(lái)啟示嗎？

生2：如果一個(gè)等差數(shù)列明確了，那么該數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)該也是確定的.

師：非常好！若這種猜想是正確的，則S表達(dá)結(jié)構(gòu)中的元素有哪些？

生3：若猜想正確，則可能存在n，因?yàn)榍皀項(xiàng)和的值會(huì)隨著項(xiàng)數(shù)的變化而變化.

生4：還可能存在式①右側(cè)n項(xiàng)中的兩項(xiàng).

師：很好！對(duì)于生3的想法，比較容易理解. 如果n是確定的，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和必然也是確定的. 現(xiàn)在請(qǐng)生4說(shuō)說(shuō)你的想法.

生4：鑒于等差數(shù)列求和公式包含其所有項(xiàng)，因此其表達(dá)式就必須反映出該數(shù)列的所有項(xiàng). 根據(jù)等差數(shù)列的特殊性，若知道其中兩項(xiàng)即可確定其所有項(xiàng)，換個(gè)角度理解，就是S的表達(dá)式僅需包含等差數(shù)列中的兩項(xiàng)就能將問(wèn)題表達(dá)清楚，而且這兩項(xiàng)必須是相加的關(guān)系.

師：非常好！你的洞察力很強(qiáng)，提出的猜想也非常合理. 如果這種猜想成立的話，我們可以嘗試在式①右側(cè)的n項(xiàng)中取兩個(gè)特殊項(xiàng)，如a與a，那么S的表達(dá)式則含有a，a與n三個(gè)元素，而a與a必然以加法算式整體呈現(xiàn).

生5：如果S的表達(dá)式含有這幾個(gè)元素，那么根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是不是也可以用n，a，d來(lái)表達(dá)S？

師：非常好！生5的思路非常清晰，希望大家能像他一樣擁有鉆研精神，也希望你課后能繼續(xù)研究下去，相信一定會(huì)有所收獲. 現(xiàn)在我們以a，a與n三個(gè)元素來(lái)表達(dá)S，鑒于a，a為等差數(shù)列中已知的項(xiàng)，那么唯一會(huì)發(fā)生變化的元素只有n，也就是說(shuō)可以將S視為關(guān)于n的函數(shù)，即S=f（n）. 接下來(lái)就要思考如何確定函數(shù)S=f（n）的表達(dá)式.

生6：可以從特例著手進(jìn)行分析，如S=a+a②.

師：這種探索思路對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有很大的幫助. 之前猜想的是S為n的函數(shù)……

生7（打斷教師）：我認(rèn)為S=a+a這個(gè)式子的右側(cè)應(yīng)該用n=2來(lái)表達(dá)，即S=.

師：太棒了！那么S=a+a+a③該怎么處理呢？

生8：結(jié)合之前的猜想，S可以用n，a，a來(lái)表達(dá)，去掉a即可. 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a+a=2a，因此a=④，將式④代入式③，得S=a++a=⑤.

師：這是關(guān)鍵的一步. 現(xiàn)在我們來(lái)看看S的表達(dá)式，因?yàn)閍+a=a+a，所以S=2（a+a）⑥. 式⑥不含4，這該怎么處理呢？

生9：式⑥可以化為S=.

師：很好！綜上分析，咱們可以猜想出S的表達(dá)式了嗎？

生10：S=.

觀察改進(jìn)后的教學(xué)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)公式教學(xué)的真正價(jià)值并不在于公式推導(dǎo)或公式證明的邏輯過(guò)程，而在于公式結(jié)構(gòu)探索的過(guò)程. 公式推導(dǎo)或證明只能說(shuō)明該公式是正確、可靠的，而公式結(jié)構(gòu)的探索則需要學(xué)生從零起點(diǎn)開(kāi)始，通過(guò)智力的投入與思維的介入，才能促使公式誕生. 該過(guò)程是助力學(xué)生合情推理能力和探究能力發(fā)展的過(guò)程.

2. 關(guān)注定理教學(xué)，培養(yǎng)合情推理能力

定理是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)，是在原命題的基礎(chǔ)上，通過(guò)證明獲得的新命題，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的合情推理能力、數(shù)學(xué)思維能力以及探究能力都有重要的促進(jìn)作用. 關(guān)注定理教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生親歷定理形成與發(fā)展的過(guò)程，是將課堂轉(zhuǎn)移到“何以學(xué)會(huì)”的基礎(chǔ).

案例2 “正弦定理”的教學(xué).

筆者首先呈現(xiàn)圖2，提出這是一個(gè)三條邊與三個(gè)角各不相等的三角形，要求學(xué)生判別這個(gè)三角形的三個(gè)角和它們各自所對(duì)的邊具有怎樣的關(guān)系. 學(xué)生通過(guò)直觀觀察，很快就提到“大角對(duì)長(zhǎng)邊或長(zhǎng)邊對(duì)大角”. 根據(jù)這個(gè)猜想，獲得結(jié)論：當(dāng)C>B>A①時(shí)，則c>b>a②，即在同一個(gè)三角形中，角和邊的大小呈一種互相依存的關(guān)系.

上述學(xué)生自主探索而來(lái)的結(jié)論屬于定性結(jié)論，定性是科學(xué)或哲學(xué)研究常用的方法，數(shù)學(xué)對(duì)定性研究還需要進(jìn)一步準(zhǔn)確刻畫，增加定量的研究過(guò)程.

師：對(duì)于式①和式②這兩個(gè)有一定聯(lián)系的不等式，是否可以定量刻畫？

生11：從三角形的三個(gè)角與三條邊的關(guān)聯(lián)情況，可以推測(cè)出定量關(guān)系==③，角度為弧度制單位.

師：很好！這個(gè)猜想是否成立呢？

生12：可以拿有的直角三角形來(lái)驗(yàn)證，式③顯然不成立.

師：是否有其他意見(jiàn)或想法？

生13：嘗試將式③中的角分別取正弦值、余弦值與正切值進(jìn)行分析，也就是==④，==⑤，==⑥，再檢驗(yàn)這三個(gè)式子是否成立.

生14：式⑤和式⑥根本就不需要檢驗(yàn)，取C=就可知，這兩個(gè)式子都不成立.

師：式④成立嗎？

學(xué)生經(jīng)討論分析，發(fā)現(xiàn)式④是成立的.

關(guān)于三角形的邊角關(guān)系，學(xué)生在初中階段就有所接觸. 學(xué)生從“大角對(duì)長(zhǎng)邊或長(zhǎng)邊對(duì)大角”出發(fā)，猜想并構(gòu)造式③，通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)式③并不正確，由此引出新式④、新式⑤和新式⑥，當(dāng)式⑤和式⑥被直接否定后，剩下的式④需要想辦法去證明.

合情推理過(guò)程在定理教學(xué)中的作用不言而喻，一環(huán)扣一環(huán)的猜想、驗(yàn)證，為知識(shí)的獲得奠定了基礎(chǔ). 教師若為了教學(xué)進(jìn)度，直接將定理展示給學(xué)生，省略學(xué)生自主探索、猜想與驗(yàn)證的過(guò)程，則學(xué)生會(huì)因缺乏推理過(guò)程，對(duì)定理感到陌生，應(yīng)用定理時(shí)難免出現(xiàn)各種問(wèn)題.

3. 強(qiáng)化解題教學(xué)，培養(yǎng)合情推理能力

合情推理能力的發(fā)展對(duì)構(gòu)建解題技巧、提升解題能力具有直接影響. 有些教師為了讓學(xué)生接觸更多的題型，解題教學(xué)中常常關(guān)注學(xué)生“怎么解”，而忽略“為什么這么解”. 其實(shí)，解題思路與方法的提煉、總結(jié)，是實(shí)現(xiàn)觸類旁通的基礎(chǔ)，亦是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的根本.

案例3 “數(shù)列”的解題教學(xué).

問(wèn)題：已知數(shù)列｛a｝與｛b｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足a=（n∈N*）①. b=（n∈N*）②. 若｛a｝為等比數(shù)列，分別求a，b.

式①和式②難以配合在一起，若將式②變形為=，則可以猜想：若數(shù)列｛b｝為等比數(shù)列，則｛a｝必然是公比為1的常數(shù)列. 由于題目沒(méi)有直接給出｛b｝為等比數(shù)列的條件，因此需要從猜想出發(fā)，從式①中探尋a是常數(shù)的條件.

根據(jù)式①的結(jié)構(gòu)考慮到基本不等式，從數(shù)列｛a｝與｛b｝都是正項(xiàng)數(shù)列的條件可知a+b<（a+b）2≤2（a+b），因此1<≤，也就是1≤a≤③. 接下來(lái)想辦法證明該猜想是成立的（過(guò)程略）.

從本題的解答過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，猜想“｛b｝為等比數(shù)列”是解題關(guān)鍵. 在猜想的輔助下，學(xué)生很快就意識(shí)到解決本題的關(guān)鍵措施是什么，由此成功地推導(dǎo)出解題思路. 這讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到合情推理對(duì)解題思路的形成具有重要影響，推理是促進(jìn)自身形成“三會(huì)”能力的重要過(guò)程.

總之，借助課程資源培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力具有可行性. 在教學(xué)中，教師可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生猜想知識(shí)是怎樣產(chǎn)生的，讓學(xué)生在猜想與驗(yàn)證中不斷強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，提高發(fā)現(xiàn)與解決問(wèn)題的能力，以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維與合情推理能力的發(fā)展.

作者簡(jiǎn)介：于美娟（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，海安市骨干教師.