［摘? 要］ 問題情境是落實(shí)“素養(yǎng)本位”的重要舉措，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”與“三會(huì)”具有深遠(yuǎn)的影響. 文章從以下幾方面談?wù)剢栴}情境助力數(shù)學(xué)教學(xué)：趣味型問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；探究型問題情境，喚醒探索意識(shí)；應(yīng)用型問題情境，促使命題呈現(xiàn)；啟發(fā)型問題情境，突破思維難點(diǎn)；挑戰(zhàn)型問題情境，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).

［關(guān)鍵詞］ 問題情境；數(shù)學(xué)教學(xué)；思維

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確提出：培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向，恰當(dāng)?shù)膯栴}情境不僅能有效啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的探究興趣，還能讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握知識(shí)內(nèi)涵，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 實(shí)踐證明，將問題情境應(yīng)用在教學(xué)中是落實(shí)“素養(yǎng)本位”的重要舉措，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”與“三會(huì)”具有深遠(yuǎn)的影響.

趣味型問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，基于學(xué)生“興趣點(diǎn)”設(shè)置的問題情境，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生對(duì)情境內(nèi)容產(chǎn)生自主探索的動(dòng)機(jī). 結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與心理發(fā)展特征，教師創(chuàng)設(shè)妙趣橫生的問題情境，一方面能活躍課堂氣氛，拉近師生心靈之間的距離；另一方面能讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生探索欲，更加積極地參與到課堂活動(dòng)中來.

案例1 “等比數(shù)列”的教學(xué).

為了有效激發(fā)學(xué)生的好奇心，筆者在本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了如下情境，以引發(fā)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列概念的探索興趣.

有一天，兔子與烏龜賽跑，已知烏龜在兔子前方1千米處，兔子的速度是烏龜速度的10倍. 當(dāng)兔子追到1千米處時(shí)，烏龜向前爬行了千米；當(dāng)兔子追到千米處時(shí)，烏龜向前爬行了千米；當(dāng)兔子追到千米處時(shí)，烏龜向前爬行了千米……

問題：（1）分別寫出各個(gè)時(shí)間段內(nèi)兔子和烏龜各自奔跑的路程；

（2）根據(jù)這個(gè)規(guī)律，在這場(chǎng)賽跑中，兔子能否贏過烏龜？

龜兔賽跑是學(xué)生耳熟能詳?shù)耐捁适拢虼顺晒Φ匚×藢W(xué)生的探索興趣，學(xué)生從情境中成功地探尋出了等比數(shù)列的定義. 這種趣味型的教學(xué)法，不僅深化了學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，還讓學(xué)生感到了數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力，為學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成奠定了基礎(chǔ).

探究型問題情境，喚醒探索意識(shí)

林清玄在其一篇文章中寫道：墾地播種，都是“花未發(fā)而草先萌，禾未綠而草先青”. 學(xué)習(xí)與種莊稼一樣，都是一個(gè)從“有一點(diǎn)”到“有更多”的過程. 建構(gòu)主義理論認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)當(dāng)把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

探究型問題的設(shè)計(jì)，首要考查學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系圖（見圖1），明晰探索的聯(lián)結(jié)點(diǎn). 這里提到的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，可以是知識(shí)拓展關(guān)系、思想同源關(guān)系，也可以是方法類比轉(zhuǎn)化關(guān)系等. 不論從哪種關(guān)系出發(fā)，均為喚醒學(xué)生的探索意識(shí)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到知識(shí)的深入探索中做鋪墊.

案例2 “函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué).

對(duì)于函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、方程的根以及函數(shù)的零點(diǎn)，學(xué)生已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ). 基于此探索函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，需要引導(dǎo)學(xué)生思考該怎樣判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的情況，想要解決這個(gè)問題，存在兩條思路：①把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成求方程的根的問題；②探索函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的情況.

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理為什么可以從函數(shù)圖象著手進(jìn)行分析呢？挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾明確證出五次及五次以上的方程不存在根式解. 由此能看出第一條思路無法作為通性通法來解決這個(gè)問題.

基于學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，此處可設(shè)計(jì)如下問題情境.

問題1：函數(shù)f（x）=x5+x-1有沒有零點(diǎn)？為什么？

問題2：確定函數(shù)圖象與x軸是否存在交點(diǎn)后，回顧畫圖過程，思考是否需要畫出完整的圖象，是否存在更便捷的方法.

問題3：如果（a，b）為函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，思考在什么條件下該函數(shù)存在零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 第一個(gè)問題，低起點(diǎn)的情境設(shè)計(jì)，意在讓每一個(gè)學(xué)生都能參與到問題的思考中來. 后面兩個(gè)問題的逐層深入，能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索行為，培養(yǎng)學(xué)生的思考習(xí)慣，為形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笳婢竦於ɑA(chǔ).

應(yīng)用型問題情境，促使命題呈現(xiàn)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論將真實(shí)情境作為“意義建構(gòu)”的前提，認(rèn)為創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境是實(shí)施教學(xué)的重要手段之一. 在教學(xué)中，一些問題情境的創(chuàng)設(shè)，不僅僅是為了讓學(xué)生解決純粹的數(shù)學(xué)問題，更重要的是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生從情境中自主抽象出數(shù)學(xué)概念、定義與命題等.

事實(shí)證明，情境是問題產(chǎn)生的土壤，精心創(chuàng)設(shè)情境是促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題的關(guān)鍵，當(dāng)學(xué)生面臨處于最近發(fā)展區(qū)的問題情境時(shí)，能有效調(diào)動(dòng)自身的探索意識(shí)，進(jìn)一步提升鉆研精神，為形成創(chuàng)新能力奠定基礎(chǔ).

案例3 “正弦定理”的教學(xué).

如圖2所示，一名測(cè)繪員準(zhǔn)備測(cè)量河兩岸A，B之間的距離，經(jīng)緯儀分別測(cè)出∠CAB=105°，∠ACB=45°，AC的距離為100米. 通過這幾個(gè)數(shù)據(jù)，該測(cè)繪員就能獲得A，B之間的距離，為什么呢？

面對(duì)這個(gè)問題，大部分學(xué)生將△ABC轉(zhuǎn)換成直角三角形來分析，筆者趁勢(shì)提出：是否有相應(yīng)的定理可以直接用來解決這個(gè)實(shí)際問題呢？

這個(gè)問題成功地將學(xué)生的思維引入本節(jié)課的教學(xué)主題——正弦定理. 這個(gè)應(yīng)用型問題情境的提出，不僅激發(fā)了學(xué)生的探索欲，還彰顯了正弦定理研究的必要性與實(shí)用性. 那么，該從什么角度來探索正弦定理呢？

結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，筆者決定帶領(lǐng)學(xué)生從著名的哥德巴赫猜想出發(fā)：哥德巴赫在一次研究中發(fā)現(xiàn)3+3=6，3+5=8，3+7=10，5+7=12，3+11=14，…. 由此，他猜想任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)均能表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和. 顯然，哥德巴赫猜想應(yīng)用了從特殊到一般，由具體到抽象的歸納法，屬于數(shù)學(xué)研究的常用方法之一.

以此作為探索的切入口，帶領(lǐng)學(xué)生采取從特殊到一般的方法來探索正弦定理，如通過對(duì)上述問題中A，B之間的距離的探索，延伸到其他類似問題的探索，而后總結(jié)歸納一般情況下的正弦定理.

類比思想的應(yīng)用，不僅讓學(xué)生對(duì)正弦定理的研究方法有所了解，還成功激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，讓學(xué)生充分感知?jiǎng)?chuàng)新源于生活的真諦. 同時(shí)，數(shù)學(xué)史的引入，也成功滲透了數(shù)學(xué)文化，從一定意義上提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 學(xué)生在這些具有豐富內(nèi)涵的問題情境的熏陶下，積極開動(dòng)腦筋，形成想學(xué)、會(huì)學(xué)、樂學(xué)的氛圍.

啟發(fā)型問題情境，突破思維難點(diǎn)

問題情境確實(shí)能助力有效教學(xué)，但并不是要求所有的問題情境設(shè)計(jì)都要做到面面俱到. 事實(shí)告訴我們，問題情境的創(chuàng)設(shè)須從學(xué)生的思維出發(fā)，把控學(xué)生思維的活動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生在豐富的問題情境中碰撞出新的火花. 例如從學(xué)生思維的障礙點(diǎn)處、思維的拐角點(diǎn)處、思維的發(fā)散點(diǎn)處設(shè)計(jì)問題情境，常能啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生突破思維難點(diǎn).

案例4 “函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué).

怎樣科學(xué)合理地讓學(xué)生自然理解數(shù)學(xué)問題的“代數(shù)化”，如何把文字語言轉(zhuǎn)換成抽象的代數(shù)符號(hào)？這是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是學(xué)生思維的障礙點(diǎn). 一旦解決了這個(gè)問題，本節(jié)課就算圓滿了. 為此，筆者結(jié)合教情與學(xué)情，創(chuàng)設(shè)了如下問題情境.

師：函數(shù)的單調(diào)性，亦可稱為函數(shù)的增減性. 即當(dāng)函數(shù)f（x）的自變量x位于其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減?。r(shí)，函數(shù)值y也隨之增大（或減小），此為該函數(shù)位于該區(qū)間所具有的單調(diào)性. 結(jié)合我們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)大家思考該怎樣用代數(shù)語言對(duì)“x增大，y也隨之增大”這句話進(jìn)行精準(zhǔn)刻畫，并將其特征表述清楚.

這個(gè)問題作為課堂導(dǎo)入的核心問題，對(duì)學(xué)生來說，確實(shí)比較抽象，不少基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生難以理解并給出準(zhǔn)確的結(jié)論. 為此，筆者在此問題的基礎(chǔ)上，利用幾個(gè)逐層深入的“子問題”啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我突破.

問題1：請(qǐng)大家思考，想要體現(xiàn)“x增大”，最少要有幾個(gè)數(shù)？怎樣將這些數(shù)進(jìn)行代數(shù)化？

問題2：從函數(shù)單調(diào)性的概念出發(fā)，請(qǐng)大家說說，在什么情況下會(huì)出現(xiàn)“x增大，y隨之增大”的情況？

問題3：在一次函數(shù)y=2x+1中，x逐漸增大，y值會(huì)發(fā)生怎樣的變化？這種變化反映了一次函數(shù)y=2x+1的什么特性？

問題4：說一說該用怎樣的代數(shù)語言來準(zhǔn)確表達(dá)一次函數(shù)y=2x+1的單調(diào)遞增.

問題5：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，分析“當(dāng)x=1，x=2時(shí)，可得y=3，y=5，這就表示y=2x+1為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)”，這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)正確表述.

x，x的任意性是學(xué)生在高中階段首次碰到的“任意”的情況，想要讓學(xué)生精準(zhǔn)理解這個(gè)詞的實(shí)際含義，從真正意義上突破認(rèn)知難點(diǎn)，需要教師創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主去辨析，并通過反例的應(yīng)用，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在自主探索中發(fā)現(xiàn)奧秘.

問題串以低起點(diǎn)、小步子、多層次的方式啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性形成與發(fā)展的過程. 問題5的提出，意在讓學(xué)生學(xué)會(huì)追根溯源，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，為更深刻地理解函數(shù)的單調(diào)性夯實(shí)基礎(chǔ)，這對(duì)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的邏輯思維與抽象素養(yǎng)具有重要意義.

挑戰(zhàn)型問題情境，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)并不僅僅是為了讓學(xué)生掌握相應(yīng)的知識(shí)與技能，還要讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上提升實(shí)踐能力，形成創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 這要求教師在課堂中除了常規(guī)授課外，還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些富有挑戰(zhàn)性的問題情境，引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，為培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”與“三會(huì)”奠定基礎(chǔ).

案例5 “點(diǎn)到直線的距離公式”的應(yīng)用.

當(dāng)學(xué)生掌握了點(diǎn)到直線的距離公式后，為了激發(fā)學(xué)生的潛能，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑能力，筆者創(chuàng)設(shè)了如下問題情境.

問題：已知點(diǎn)P（x，y），直線l：Ax+By+C=0，如果作PQ⊥l，Q為垂足，設(shè)點(diǎn)Q（a，b），那么點(diǎn)P到直線l的距離d=（*），求d的表達(dá)式.

看到這個(gè)問題，大部分學(xué)生會(huì)直接利用兩條直線（直線PQ和直線l）的方程獲得點(diǎn)Q的具體坐標(biāo)，再借助兩點(diǎn)間的距離公式獲得d的表達(dá)式. 不過也有學(xué)生提出，這種思路雖然比較容易理解，但是整個(gè)運(yùn)算過程煩瑣、冗長(zhǎng)，容易出現(xiàn)失誤，因此考慮換一個(gè)角度來解決這個(gè)問題.

學(xué)生的想法暴露出了真實(shí)的思維狀態(tài)，想要突破這個(gè)難點(diǎn)，可從宏觀的角度引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生感知整體思想的優(yōu)勢(shì).

從宏觀的角度來分析這個(gè)問題，不難發(fā)現(xiàn)求出a，b絕非解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵的一步在于求出（x-a）和（y-b）. （計(jì)算是否煩瑣就在于這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)的區(qū)別）

若設(shè)A≠0，那么Aa+Bb+C=0，

=，從求解目標(biāo)出發(fā)，可將Aa+Bb+C=0轉(zhuǎn)換成A（x-a）+B（y-b）=Ax+By+C. 根據(jù)=的比例關(guān)系，可設(shè)x-a=At，y-b=Bt，將此代入A（x-a）+B（y-b）=Ax+By+C中，求得t=，將此代入式（*）中，則d=t= . 容易證明，當(dāng)A=0時(shí)，此公式亦成立.

這種處理方法顯然比大部分學(xué)生的初始思路要簡(jiǎn)便許多. 為什么換個(gè)角度就能讓解題過程變得如此便捷呢？這就是站在整體性、系統(tǒng)性的角度來分析問題的優(yōu)勢(shì). 擁有洞察全局的能力，則能分清矛盾的主次關(guān)系，從而探尋出解決問題的突破口.

此問題情境不僅讓學(xué)生體會(huì)了整體思想在解題中的妙處，還讓學(xué)生強(qiáng)化了“目標(biāo)意識(shí)”和“設(shè)而不求”的解題技巧. 上述求解過程，彰顯了從不同角度、不同思維去分析問題，會(huì)有完全不一樣的解題路徑，這給學(xué)生帶來了啟示：數(shù)學(xué)是一門有魅力的學(xué)科，在學(xué)習(xí)過程中不一定要有特別強(qiáng)大的理論功底，只要勇于質(zhì)疑、勤于思考，便能開啟創(chuàng)造的篇章.

總之，借助問題情境助力數(shù)學(xué)教學(xué)是踐行高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的重要手段之一. 教師應(yīng)不斷地更新教學(xué)理念，將“立德樹人”“五育并舉”等理念放在教學(xué)首位，創(chuàng)設(shè)各種符合學(xué)情、教情與考情的問題情境，激趣啟思、引發(fā)質(zhì)疑、突破自我，為培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

作者簡(jiǎn)介：錢勇（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，市級(jí)學(xué)科帶頭人，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.