劉太杰　周發(fā)鳳

［摘? 要］ 文章以一道期末調(diào)研填空壓軸題為例，通過一題多解，引導學生從多方面深入探究多元最值問題的求解方法；通過變式拓展訓練，加深學生對多元最值問題處理方法的理解，提升學生的發(fā)散思維能力；通過教學反思，深度品味例題帶給大家的教學啟示.

［關(guān)鍵詞］ 多元最值；深入探究；深度品味

多元最值問題一直是一個熱門考點，較受命題者的青睞. 從考查內(nèi)容來看，考查的知識點較多，涉及不等式、函數(shù)與方程、導數(shù)、幾何意義等內(nèi)容；從命題意圖來看，多元最值問題綜合性較強，區(qū)分度較大，便于命題者命題以篩選優(yōu)等考生；從考生應(yīng)試來看，多元最值問題讓很多考生望而生畏、默默放棄，成為他們心中揮之不去的夢魘.

在上學期我市期末調(diào)研考試中，就出現(xiàn)了這樣一道讓學生望而卻步的多元最值問題. 通過閱卷了解到，該題的平均分只有0.04分，而難度系數(shù)不足1%，遠遠低于教學預期，筆者力圖從多層面、多視角剖析該題，并進行適當?shù)淖兪酵卣?，以期達到拋磚引玉的功效. 正如數(shù)學家波利亞所言：“一個有責任心的教師，與其窮于應(yīng)付煩瑣的教學內(nèi)容和大量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入挖掘題目的各個側(cè)面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”［1］

試題呈現(xiàn)

題1 若實數(shù)a，b，c滿足ab+c=1，

a2+b2+c2=3，則abc的最小值是_____.

1. 追溯命題源頭

我國宋代著名詩人朱熹在《觀書有感》中寫道：“問渠那得清如許？為有源頭活水來. ”

在數(shù)學中，很多題目不是無中生有，大多根植于課本，要么拓展自前期的高考真題，要么變形自前人命制的各種模擬試題. 可見，追溯命題源頭非常重要. 通過追溯命題源頭，能發(fā)現(xiàn)命題者的命題意圖和考查方向，便于順藤摸瓜查找各種支流，為以后的研究和學習提供幫助.

例如題1源于2014年浙江省高考文科卷第16題：

已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是______.

2. 品味解題方法

“一題多解，是指在原有基本解法的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮發(fā)散性思維的優(yōu)勢，對原有解法進行提煉加工，并以原解法為中心拓展，上下求索，左右逢源，尋找其他多個解決問題的途徑.它對激發(fā)學生的學習興趣、提高知識的遷移能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維及創(chuàng)新能力都是十分難得的載體和重要途徑.”［3］ 本文中筆者分別從代數(shù)運算和幾何推演兩個途徑對題1的解法進行剖析，其中解法1至解法3屬于通性通法，便于學生模仿練習；解法4至解法8均有較大的運算量，適合課外拓展使用. 不管是哪種解法，都是先消元，再求余元的取值范圍，最終利用基本不等式或二次函數(shù)求最值. 在考場實戰(zhàn)中，考生應(yīng)根據(jù)自己的解題習慣選擇適合自己的解題方法.

3. 探究教學方向

題1的得分率之所以非常低，主要原因有兩點：一是在不等式這一章的日常教學中，教師所選例題大多是一元或二元問題，很少涉及三元問題，相應(yīng)題型的訓練和思維培養(yǎng)不到位；二是學生在平時的訓練中對各種方法的理解不是很透徹，沒有及時復習鞏固，再加上考場上的各種心理因素的影響，看到題目就放棄的應(yīng)該不在少數(shù).

在教學方面，首先，教師要積極研究歷年高考真題，因為高考真題是很多模擬試題的源頭，只有把握了源頭活水，才能將它源源不斷地輸送給學生，正所謂先“授人以魚”，再“授人以漁”；其次，教師要多去嘗試變式教學，通過變條件、變目標、變結(jié)構(gòu)等讓學生感受題型的復雜多變，體驗各種解題方法所蘊含的智慧；再次，在日常教學中，教師要引領(lǐng)學生及時消化課堂所學內(nèi)容，定時總結(jié)各種解題方法，適時復習鞏固考試內(nèi)容. 總之，要讓教師的“教”與學生的“學”形成合力，讓教師在教學中研究，讓學生在學習中成長.

參考文獻：

［1］ 葉琳. 提出問題 啟發(fā)引導 深度對話——“一道教材例題的激活與拓展”教學反思［J］. 中學數(shù)學教學參考，2018（25）：22-24+29.

［2］ 張金良. 構(gòu)建深度學習課堂 促進數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成［J］. 中學教研（數(shù)學），2019（11）：1-5.

［3］ 魯和平. 對高中數(shù)學“一題多解”教學的辯證思考［J］.中學教研（數(shù)學），2019（05）：29-31.

基金項目：浙江省湖州市2022年度教學研究課題（HZJY22115）.

作者簡介：劉太杰（1981—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學和研究工作，曾獲2020年度湖州市教科研先進個人榮譽稱號.