張建明 祝峰

摘要： 數(shù)學抽象是具有嚴謹性、純粹性、形式化、模式化的思維方式，數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展一般經(jīng)歷感知到識別、分類到概括、想象到構建、定義到表征、系統(tǒng)化到結構化的認知過程。基于TPACK理論，以有意義使用信息技術，發(fā)展高中學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學思維框架為指導，闡明TPACK視角下，信息技術與發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)課堂教學深度融合的可為性，構建了“數(shù)學內(nèi)容用技術表征”“為技術匹配數(shù)學內(nèi)容”“用技術改進已有教學”三個路徑，探索利用信息技術有效發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的基本策略。

關鍵詞： 數(shù)學 ?抽象素養(yǎng) ?TPACK視角

如何處理好技術和數(shù)學抽象教學的關系？從數(shù)學抽象教學的視角看信息技術，從信息技術的視角審視數(shù)學抽象教學，兩者缺一不可。只有理順信息技術、教學策略、學科知識、學科能力、數(shù)學抽象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的關聯(lián)，把信息技術與數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學深度融合，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的課程目標才能落到實處。本文嘗試基于TPACK理論框架，構建信息技術與數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)教學深度融合的知識網(wǎng)絡，并在此基礎上從數(shù)學內(nèi)容用技術表征、為技術匹配數(shù)學內(nèi)容、用技術改進已有教學三個角度，在實踐中探索信息技術與發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的課堂教學深度融合的有效路徑。

一、TPACK理論

TPACK由“學科內(nèi)容、教學法和技術”知識有機融合而成，2005年由Mishra和Koehler在PCK基礎上提出，并構建了TPACK模型。兩人把技術知識融入教師知識中，明確學科內(nèi)容教學法和技術三者并非機械疊加，而是深度融合并生成的一種全新知識。教學實踐中，三者處于動態(tài)平衡，每個因素的變化都會導致其他因素的相應調(diào)整，不存在對各個知識點、各種教學法的普適技術，反之亦然。TPACK理論日趨成熟，并深入具體學科。

于文字、胡典順在TPACK視角下，創(chuàng)立了數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的雙模型，如圖1所示，并提出了準備、過程、目標三階段教師TPACK提升和學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展實踐路徑。張景中等以區(qū)域教師網(wǎng)絡畫板培訓為例，進行了“互聯(lián)網(wǎng)+”數(shù)學教師TPACK能力培訓模式研究。相關文獻顯示，研究者多關注教師TPACK發(fā)展，對TPACK視閾下有效發(fā)展學生具體數(shù)學學科核心素養(yǎng)的研究不多。

二、TPACK視角下發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)教學的可為性分析

（一）數(shù)學抽象活動的特征及基本過程

與其他學科的抽象活動不同，數(shù)學抽象只針對“數(shù)量關系”及“空間形式”，目的是獲得包括概念、關系、方法、思想、規(guī)律和結構在內(nèi)的數(shù)學研究對象。特殊的抽象對象，清晰的抽象目標，使得數(shù)學抽象活動過程具有穩(wěn)定的規(guī)律性。其一般經(jīng)歷概括、表征和系統(tǒng)三個階段，每個階段又有著其獨特認知場域，也可認為是一個獨特的認知空間。

概括需在對抽象對象感知、識別、分類的基礎上進行，三者分別是概括活動的一個維度，相互作用、反復影響下，構建了抽象活動的概括空間。同理，表征空間由想象、建構、定義三個維度構成，系統(tǒng)空間由聯(lián)想、結構、應用三維構成。數(shù)學抽象的三階段認識過程層層遞進，反復回蕩。

（二）TPACK視角下信息技術與數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)教學深度融合框架

借鑒閆志明、李美鳳的“整合技術的學科教學知識網(wǎng)絡（TCPNet）”理論框架，充分尊重數(shù)學抽象活動的特征，以及發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)教學的特殊性，構建出“整合信息技術的學生數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展教學知識網(wǎng)絡”，如圖2所示。

該知識網(wǎng)絡嚴格遵循TPACK框架的系統(tǒng)性和解釋力，在明確的學科范疇內(nèi)，聚焦單一的學科教學目標，克服了TPACK框架中PK、CK、TK內(nèi)涵模糊，關系寬泛、實踐中無法界定等操作不確定性。把PK、CK、TK限定為：在事物的具體背景下，對數(shù)量關系、空間形式、一般規(guī)律、結構特征、數(shù)學命題、數(shù)學模型、方法思想、數(shù)學體系的抽象和構建過程中的相關知識。

該網(wǎng)絡構建過程中注重PK、CK和TK的作用與反作用，強調(diào)“與數(shù)學抽象相關的信息技術知識”（TK）對 “發(fā)展學生數(shù)學抽象的內(nèi)容知識”（CK）的作用體現(xiàn)在兩個方面，一是信息技術能夠更合理地表征學習內(nèi)容，更利于學生數(shù)學抽象活動的開展；二是新的信息技術能拓展數(shù)學抽象學習內(nèi)容的領域，助推數(shù)學抽象活動向著更深層、更廣闊的領域進發(fā)。反過來，CK對TK有著決定性作用，即信息技術的選擇必須符合學習內(nèi)容的特點，技術的好壞應以是否利于學生數(shù)學抽象活動的開展為標準。當然，為了數(shù)學抽象活動的開展，CK對PK也起到改進甚至創(chuàng)造的奇效。

對于TK與PK之間作用，持以下觀點。與數(shù)學抽象相關的信息技術知識對教學知識的作用表現(xiàn)為增強、限制以及創(chuàng)新。增強是指信息技術依靠本身的強大功能，為發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學提供有力支持。限制則指信息技術本身的局限性可能會導致錯用、誤用等。創(chuàng)新的內(nèi)涵是用技術改進傳統(tǒng)教學。教學知識對信息技術知識的作用為選擇、改進和創(chuàng)造，類似于CK對PK的作用。

三、TPACK視角下發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)教學的實踐路徑

（一）為數(shù)學內(nèi)容尋求技術表征

抽象源于直觀，感性先于理性。學習內(nèi)容與學生認識模式不匹配，是數(shù)學抽象概括階段學生面臨的最大問題。如何把數(shù)學抽象對象以恰當?shù)姆绞街糜趯W生思維及認知能力的前一站，契合學生的認知基礎和習慣？準確把握學習內(nèi)容特點，基于內(nèi)容個性尋求恰當?shù)男畔⒓夹g表征，能夠助力學生數(shù)學抽象活動的順利開展。表述、分析、模擬是常見的三種信息技術表征支持方式。

為學習內(nèi)容尋求信息技術表征的教學設計的基本思路為：遵循學習內(nèi)容的特點合理選擇信息技術，結合表征的信息技術遴選具體的教學手段。這樣的過程中，與數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展相關的PK、CK和TK自然相互作用、互為促進、深度融合，達成發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學目標。實際教學中，也會出現(xiàn)表征的信息技術與數(shù)學教學內(nèi)容“自動結合”的情形，如超幾何畫板、Geogebra、圖形計算器等軟件，開發(fā)時就把數(shù)學學科內(nèi)容嵌入其表征方式中，從而形成能夠增強表征能力的信息技術產(chǎn)品。再如PhET平臺、我國的數(shù)字化學習工程技術研究中心等，都開發(fā)了豐富的學科教學相關工具。它們一般集表述、分析與模擬功能于一身，支持學生完成感知、識別、分類等數(shù)學抽象活動。教學中教師可依據(jù)這些軟件與網(wǎng)絡平臺設計教學過程，實現(xiàn)學習內(nèi)容、信息技術、教學方法三者深度融合。

（二）為信息技術匹配教學內(nèi)容

這里的信息技術指信息技術、通信技術的合稱。隨著信息技術日新月異地更新及發(fā)展，可用于數(shù)學學科教學場景的信息技術軟硬件、平臺琳瑯滿目，內(nèi)置大量教學功能，支持授課全程、線上線下混合、師生互動平臺的各類教育云平臺、電子白板等，支持多通信場景的智學網(wǎng)、騰訊會議、釘釘會議等也被廣泛用于特定場景下的教學中。

大量可供數(shù)學學科教學所用的信息技術的出現(xiàn)，為發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的教學，提供了諸多可能。充分利用信息技術所提供的“信息傳輸”功能，借助其發(fā)送、接收、加工、分析、展示等作用，合理解決數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展教學中，信息分布不均、非對稱、低效傳輸、形式呆板等一系列問題。為此，教師必須深刻理解現(xiàn)有 信息技術的各種功能，在教學設計時思考這些信息技術的合理利用方式，才能改進甚至徹底改變發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)教學中的種種困境，進而再反思這些信息技術的應用是否改變了學生的認知困難。聚焦教學目標，再篩選、再融合，并最終確定可行的教學計劃，達成為信息技 術匹配發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學內(nèi)容的目的。具體路徑如圖4所示。

（三）用技術改進已有教學

教學是一門缺憾的藝術，不同方式和路徑下構建的教學設計，盡管能夠獨立完成相關教學任務，不同程度達成教學目標，但整體上氣氛沉悶、參與度低、耗時長，局部上學生認識不全、抽象活動不充分、表征形式單調(diào)死板、認識視角狹窄，是教學實踐中常見的實然狀態(tài)。借助信息技術改進已有的不滿意教學，也是TPACK視角下發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)教學中常見的實踐路徑之一。

該路徑發(fā)端于一個不夠理想的教學環(huán)節(jié)，可能是內(nèi)容理解不到位、學生分析不充分、教法使用不合理、信息技術選擇不貼切等。從信息技術視角，替換、強化、改變、重構教學，以達成更輕松、更合理、更高效完成數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展目標，基本流程如圖5所示。

理性觀察、分析發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的課堂教學，是用信息技術改進教學的依據(jù)。充分調(diào)用PK、CK、PCK，理解數(shù)學、理解教材、理解學生、理解教學，合理轉化、審視、解讀教學內(nèi)容，在實際教學實踐中評價、反思自我教學。準確定位教學中難點、低效點，甚至是無效點，兼顧學習內(nèi)容特點及信息技術特征，用信息技術解決教學中所面臨的實際困難，是用信息技術改進已有教學的價值取向。值得關注的是，信息技術改進教學是一個無止境的循環(huán)過程，比如信息技術改進教學后，可能會考慮重置更高的學習目標，自然會有新的待改進問題，如此循環(huán)遞進，以追求課堂教學中發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)效率的最大化。

四、結語

以TPACK理論和合理使用信息技術的教學思維為導向，以高效發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)為根本目的，在明確數(shù)學抽象活動特征和過程的基礎上，闡明信息技術與發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的課堂教學深度融合的可為性。在問題引領下，構建了用技術表征、為技術匹配內(nèi)容、用技術改進的基本教學路徑。借助信息技術更好發(fā)揮數(shù)學育人的特有方式，實現(xiàn)“追求最大限度的一般性”，讓學生體會并掌握數(shù)學思考的結構性、系統(tǒng)性、普適性。在深度融合信息技術的課堂教學中讓學生親歷抽象化、符號化、邏輯分析、推理、計算等抽象過程，并不斷改進、推廣，在縱深領域洞察本質(zhì)，在更廣領域進行抽象，真正達成學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的有效發(fā)展。

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責任編輯：黃大燦