閆冬雪 （南京郵電大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210023）

運(yùn)籌學(xué)課程是管理科學(xué)與工程、物流管理和供應(yīng)鏈管理等專業(yè)十分重要的核心課程，是一門運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)分析模型和數(shù)據(jù)分析學(xué)的專業(yè)知識，尋找繁雜難題里邊最佳或類似最佳的解釋[1]。其主要目的是在決策時為管理人員提供科學(xué)依據(jù)，是實(shí)現(xiàn)有效管理、正確決策和現(xiàn)代化管理的重要方法之一。運(yùn)籌學(xué)運(yùn)用的行業(yè)和市場前景十分寬闊，從貨運(yùn)物流、倉儲物流、供應(yīng)鏈管理，到活動中動態(tài)性標(biāo)價(jià)，金融工程下的組合優(yōu)化，及其交通出行方面的最短路徑算法等，都離不了運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用。

《運(yùn)籌學(xué)》是南京郵電大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)開設(shè)的一門非常實(shí)用的基礎(chǔ)理論課，傾向于文科的課程體系設(shè)置，對后續(xù)很多課程的學(xué)習(xí)起著承前啟后的作用，同時通過學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和運(yùn)籌素養(yǎng)。運(yùn)籌學(xué)的學(xué)習(xí)要求學(xué)生以高等數(shù)學(xué)作為工具來定量分析和解決運(yùn)籌學(xué)中的問題，需要花費(fèi)很多時間才能掌握大量的概念、公式和求解方法[2-3]，這使得部分同學(xué)在學(xué)習(xí)初期會產(chǎn)生畏難心理和枯燥甚至厭學(xué)的情緒，從而缺乏主動學(xué)習(xí)的興趣，阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升。如何能讓學(xué)生相對容易解決或很快接受課堂所學(xué)的知識，加深學(xué)生對所學(xué)概念和計(jì)算的理解，從而提高學(xué)生運(yùn)籌學(xué)課程學(xué)習(xí)的興趣，這是教授該課程老師需要認(rèn)真思考的問題。

Wolfram 公司的Mathematica 軟件的出現(xiàn)為運(yùn)籌學(xué)的學(xué)習(xí)提供了很大的便利性，它是將符號運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、圖形顯示很好地結(jié)合在一起的高度優(yōu)化系統(tǒng)，是目前主流的數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算軟件之一[4]。Mathematica 軟件以其強(qiáng)大的符號運(yùn)算能力，出色的圖形展示功能，軟件界面直觀和容易學(xué)習(xí)的幫助文檔受到了很多科學(xué)界和教育界人士的青睞，使得新手容易上手，因此很適用于運(yùn)籌學(xué)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

目前為止，已有不少學(xué)者對Mathematica 在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用做了研究[5-6]，但Mathematica 在《運(yùn)籌學(xué)》課程教學(xué)中的應(yīng)用很少有涉及。本文主要從具體實(shí)例出發(fā)，對Mathematica 在運(yùn)籌學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探索，利用Mathematica 軟件解決運(yùn)籌學(xué)課堂教學(xué)中遇到的一些典型問題，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升課堂的教學(xué)效果。

1 用Mathematica 軟件對課堂典型案例分析

在運(yùn)籌學(xué)非線性規(guī)劃、庫存論和排隊(duì)論部分，Hessian 矩陣的計(jì)算和無約束最優(yōu)化問題、數(shù)量折扣的最佳訂貨量計(jì)算以及排隊(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算都是十分重要的知識點(diǎn)。對于大學(xué)二年級的學(xué)生，盡管他們在大一年級已完成高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，但運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識求解上述優(yōu)化問題中涉及的復(fù)雜數(shù)學(xué)表達(dá)式和計(jì)算問題經(jīng)常不是那么得心應(yīng)手，顯得力不從心。本文列舉一些運(yùn)籌學(xué)課堂中的典型案例，并利用Mathematica 軟件進(jìn)行求解分析和可視化，學(xué)生可以很直觀地看到和感受到使用該軟件的便利性，有助于提高課堂的效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

1.1 Hessian 矩陣的計(jì)算和無約束最優(yōu)化問題的求解。對于如下的無約束非線性優(yōu)化問題：

可以通過函數(shù)f的Hessian 矩陣行列式的正負(fù)值判斷其凸凹性，進(jìn)而利用一階最優(yōu)條件求解優(yōu)化問題。然而，當(dāng)函數(shù)f的表達(dá)式比較復(fù)雜時，手動求解f的Hessian 矩陣或其行列式的值會很復(fù)雜。然而，使用Mathematica 的符號計(jì)算功能可以很大程度上簡化上述手解過程。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有：求導(dǎo)函數(shù)D，行列式命令D，約化函數(shù)Reduce 和數(shù)值最大/小化函數(shù)NMaximize/NMinimize。

例1：求解如下優(yōu)化問題的最優(yōu)解：

解：在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問題的程序代碼：

應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到最優(yōu)解為（x*,y*,z*）= （0,0,0 ），目標(biāo)函數(shù)最小值為f（x*,y*,z*）=3。

1.2 數(shù)量折扣的最佳訂貨量及其計(jì)算。數(shù)量折扣最佳訂貨量問題為：找到最佳的訂貨量Q≥0，使得企業(yè)的平均成本函數(shù)G（Q）最小，可以表示為：

其中：λ 為確定的常值需求率，h（Q）為庫存持有成本，K為固定的訂購成本，單位產(chǎn)品的采購價(jià)格c（Q）為：

這里，p1＞p2,…,pn，b1,b2,…,bn-1為訂貨量間斷點(diǎn)。由于函數(shù)c（Q）是不連續(xù)的，G（Q）也是不連續(xù)的，因此數(shù)量折扣的最佳訂貨問題比經(jīng)典的EOQ 模型要復(fù)雜。此外，當(dāng)訂貨量間斷點(diǎn)數(shù)量較多時，手動求解該問題也會很繁瑣。然而，使用Mathematica 的圖形展示和數(shù)值計(jì)算功能，很容易求解優(yōu)化問題的最佳訂貨量。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有：分段函數(shù)Piecewise，二維繪圖函數(shù)Plot，求導(dǎo)函數(shù)D 和解方程函數(shù)Solve。

例2：考慮如下的數(shù)量折扣最佳訂貨量問題參數(shù)值：λ=1 000，K=100，h（Q）=0.1c（Q），b1=100，b2=300，p1=50，p2=49，p3=48.5。

解：在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問題的程序代碼：

應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到，Qopt=202.031，G[Qopt]=49 989.9。然而，在訂貨量間斷點(diǎn)b2=300 的成本為G（30 0）=49 560.8，這表明最優(yōu)訂貨量為Q=b2=300，最優(yōu)成本為G（30 0 ）=49 560.8。

1.3 M/M/1/1 模型轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算。M/M/1/1 （K= 1 ）模型對應(yīng)于隊(duì)列容量有限M/M/1/K 模型。考慮如下的M/M/1/1 轉(zhuǎn)移概率計(jì)算問題：在這個簡單的系統(tǒng)中，只有一個客戶，例如一臺機(jī)器，它可能在任意時間需要服務(wù)（例如，維修）。狀態(tài)1 對應(yīng)于繁忙的服務(wù)器（正在維修的機(jī)器） 的狀態(tài)，狀態(tài)0 對應(yīng)于空閑的服務(wù)器（正在運(yùn)行的機(jī)器） 的狀態(tài)。λ＞0 為機(jī)器的到達(dá)率（過程離開狀態(tài)0 的速率），μ＞0 為服務(wù)器的服務(wù)速率（即過程離開狀態(tài)1 的速率），則1/λ表示機(jī)器的平均運(yùn)作時間，1/μ為修理這臺機(jī)器的平均時間。應(yīng)用微分方程建立生滅過程，可以得到上述問題的轉(zhuǎn)移概率p0（t ）和p1（t ）滿足下面的微分方程組：

在教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生對M/M/1/1 模型的背景理解的比較好，但要對上述高等數(shù)學(xué)中的微分方程組求解時，學(xué)生會遇到一定的困難。然而，上述建立的微分方程組的求解在排隊(duì)論狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算中是十分重要的，尤其當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)增加時相應(yīng)的微分方程個數(shù)會更多，但是，多數(shù)同學(xué)都不清楚方程組解的形式。這時，使用Mathematica 中微分方程組的符號計(jì)算功能可以達(dá)到非常好的教學(xué)效果，學(xué)生可以求得上述微分方程組的符號解，從而更好地理解課堂上的教學(xué)內(nèi)容。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有：求解微分方程DSolve，求極限Limit，二維繪圖函數(shù)Plot 和交互式操作命令Manipulate。

例3：考慮初始狀態(tài)p0（0 ）=1 和p1（0 ）=0，求解上述微分方程組和穩(wěn)態(tài)概率。

解：在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問題的程序代碼：

應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為和相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率為和使用命令Manipulate 和Plot，可以向?qū)W生展示不同參數(shù)λ和μ組合下狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的時間路徑，讓學(xué)生可以看到更直觀的圖形展示，從而讓他們更好地理解相關(guān)知識點(diǎn)。

2 結(jié)束語

運(yùn)籌學(xué)課程是管理科學(xué)與工程、物流管理和供應(yīng)鏈管理等本科專業(yè)十分重要的核心課程，在專業(yè)課的學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用。新工科建設(shè)越來越注重對應(yīng)用創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，要求新時代學(xué)生要學(xué)會利用現(xiàn)代化信息技術(shù)進(jìn)行輔助，不斷提升解決問題的能力。本文針對學(xué)生在運(yùn)籌學(xué)課堂學(xué)習(xí)中遇到的困難，與時俱進(jìn)地將現(xiàn)代化信息技術(shù)Mathematica 數(shù)學(xué)軟件引入到運(yùn)籌學(xué)的課堂教學(xué)中。結(jié)合學(xué)生課堂學(xué)習(xí)過程中遇到的非線性規(guī)劃、庫存論和排隊(duì)論章節(jié)的典型案例，應(yīng)用Mathematica 軟件強(qiáng)大的符號計(jì)算和繪圖功能對復(fù)雜問題進(jìn)行計(jì)算求解和可視化，讓學(xué)生更加直觀地理解數(shù)學(xué)表達(dá)式，提高了學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣和計(jì)算創(chuàng)新能力，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)籌思維，獲得了更好的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)了綜合性、創(chuàng)新性應(yīng)用新工科人才培養(yǎng)的目標(biāo)。