摘要：

在基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的隔震層設(shè)置負(fù)剛度裝置可調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)動力特性及抗震性能。針對隔震層設(shè)置預(yù)壓彈簧導(dǎo)致的非線性問題，首先采用泰勒級數(shù)展開對力-位移關(guān)系進(jìn)行線性擬合，并對比研究設(shè)置預(yù)壓彈簧純負(fù)剛度元件（PNS）和阻尼負(fù)剛度裝置（NSD）的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)特性。進(jìn)一步，利用小波分析對實際近斷層地震激勵進(jìn)行時頻分析，并采用解析模式分解方法將地震動分解為高頻和低頻成分，并分別計算高頻地震波和低頻地震波作用下設(shè)置PNS和NSD對基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，與未設(shè)置負(fù)剛度裝置的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相比，設(shè)置PNS會使得高頻激勵下的位移和加速度響應(yīng)減小，但是低頻激勵下的位移和加速度響應(yīng)會增大;而設(shè)置NSD不僅可以大幅降低基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度頻響函數(shù)峰值，并且能在很寬的頻段范圍內(nèi)減小基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

關(guān)鍵詞：

基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu); 負(fù)剛度; 頻響特性; 解析模式分解; 地震響應(yīng)

中圖分類號： TU352.1""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A"" 文章編號： 1000-0844（2024）05-1021-12

DOI：10.20000/j.1000-0844.20230408002

Dynamic characteristics and seismic response of base-isolated

structures with negative stiffness devices

HUANG Xiao1， LIU Fangling1， HU Zhixiang2， WANG Donghua1

（1.School of Civil Engineering， Anhui Jianzhu University， Hefei 230601， Anhui， China;

2.School of Civil and Hydraulic Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， Anhui， China）

Abstract：

Setting a negative stiffness device in the isolation layer can adjust the dynamic characteristics and seismic performance of base-isolated structures. The force-displacement relationship was linearly approximated by Taylor series expansion to address the nonlinearity problem caused by the preloaded spring in the isolation layer and the frequency response characteristics of base-isolated structures with a pure negative stiffness （PNS） element and a damping negative stiffness device （NSD） were compared and studied. Furthermore， the wavelet analysis was used to perform the time-frequency analysis on actual near-fault earthquakes， and the analytical mode decomposition method was used to decompose the ground motion into high- and low-frequency components. The effects of PNS and NSD on the seismic response of base-isolated structures under high- and low-frequency seismic waves were then compared. Compared with the base-isolated structure without NSD， results show that setting PNS can reduce the displacement and acceleration responses under high-frequency excitation but increase the displacement and acceleration responses under low-frequency excitation. Setting NSD not only markedly reduces the peak values of displacement and acceleration frequency response functions of base-isolated structures but also minimizes the displacement response of base-isolated structures in a wide frequency range.

Keywords：

base-isolated structure; negative stiffness; frequency response characteristics; analytical mode decomposition; seismic response

0 引言

基礎(chǔ)隔震是通過在基礎(chǔ)與上部結(jié)構(gòu)之間設(shè)置柔性隔震層以延長結(jié)構(gòu)的自振周期并降低結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。目前應(yīng)用橡膠支座隔震技術(shù)最為廣泛［1］。將負(fù)剛度裝置與橡膠支座聯(lián)合起來可以進(jìn)一步延長隔震結(jié)構(gòu)的周期，其組合隔震性能目前廣受關(guān)注。負(fù)剛度通常采用預(yù)壓縮彈簧、預(yù)彎梁、磁性材料以及復(fù)合結(jié)構(gòu)等方式實現(xiàn)，使層間反力與變形的增量之比為負(fù)值［2］。負(fù)剛度元件還可與阻尼元件組合成阻尼負(fù)剛度裝置，以調(diào)節(jié)隔震結(jié)構(gòu)動力特性。

紀(jì)晗等［3］在普通隔震層基礎(chǔ)上增加了阻尼負(fù)剛度裝置，隔震結(jié)構(gòu)自振周期和結(jié)構(gòu)阻尼比都顯著增加。付杰［4］基于負(fù)剛度原理，研制了負(fù)剛度磁流變阻尼器減震系統(tǒng)，并通過振動臺試驗驗證了該系統(tǒng)的可行性和有效性。Sarlis等［5］在隔震層中安裝阻尼負(fù)剛度裝置，通過振動臺試驗驗證了該組合系統(tǒng)可顯著地減小地震作用，同時附加黏滯阻尼器可對隔震結(jié)構(gòu)的位移進(jìn)行控制。楊巧榮等［6］設(shè)計了一種阻尼負(fù)剛度裝置，并進(jìn)行了力學(xué)模型試驗驗證，通過數(shù)值分析表明該裝置不僅能減小上部結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，而且可控制隔震層的位移。Wang等［7］提出了一種新型阻尼負(fù)剛度裝置，并應(yīng)用于現(xiàn)有隔震建筑中，研究了遠(yuǎn)場和近場脈沖型地震作用下的抗震性能。劉文光等［8］提出了負(fù)剛度裝置最優(yōu)參數(shù)的選取方法，得出最優(yōu)參數(shù)的選取由隔震支座的阻尼比決定。陸兆文等［9］將負(fù)剛度裝置引入某帶有摩擦擺支座隔震的大跨長聯(lián)連續(xù)梁橋中組成新型減震和隔震系統(tǒng)，研究了負(fù)剛度系統(tǒng)對大跨長聯(lián)隔震連續(xù)梁橋地震反應(yīng)的影響。Zhu等［10］將阻尼負(fù)剛度裝置用于基礎(chǔ)隔震液體儲罐地震響應(yīng)控制中，實現(xiàn)了液體儲罐隔震支座和晃動響應(yīng)的同時減小。Chen等［11］考慮了隔震層水平位移較大時負(fù)剛度裝置可能會產(chǎn)生正剛度的情況，對不同強(qiáng)度地震作用下隔震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行了研究。

增設(shè)負(fù)剛度裝置通常會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)成為非線性振動系統(tǒng)，其動力特性較為復(fù)雜。當(dāng)前對于設(shè)置負(fù)剛度裝置基礎(chǔ)隔震系統(tǒng)的研究尚未考慮地震波頻譜分布差異性對隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。本文對于三種基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，即未設(shè)置負(fù)剛度裝置的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)、設(shè)置預(yù)壓彈簧純負(fù)剛度元件（Pure Negative Stiffness element，PNS）的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)以及設(shè)置阻尼負(fù)剛度裝置（Negative Stiffness Device，NSD）的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)）的動力特性進(jìn)行對比研究。首先，采用泰勒級數(shù)展開對預(yù)壓彈簧的力-位移關(guān)系進(jìn)行線性化；然后，對三種隔震結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，分析其動力特性；最后，利用小波分析和解析模式分解兩種時頻分析工具，對設(shè)置負(fù)剛度裝置的隔震結(jié)構(gòu)分別在低頻和高頻地震波作用下的響應(yīng)特性進(jìn)行計算和分析，研究不同頻譜分布的地震波作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置的隔震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)特點。

1 負(fù)剛度裝置力學(xué)模型

在隔震層設(shè)置PNS可在層間引起負(fù)剛度，其力學(xué)原理如圖1所示。當(dāng)層間發(fā)生水平變形時，由于彈簧處于預(yù)壓縮狀態(tài)，會產(chǎn)生斜向推力Fn，可將其分解為水平力Fnx和豎向力Fny；當(dāng)隔震層中的剪切變形很小時，彈簧對上部結(jié)構(gòu)施加與水平變形方向一致的水平力，此時PNS提供層間負(fù)剛度;當(dāng)隔震層變形較大時，彈簧將會產(chǎn)生與水平變形方向相反的水平力，此時PNS提供層間正剛度。

根據(jù)上述表達(dá)式可以看出，白噪聲激勵下設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)B位移均方根值比隔震結(jié)構(gòu)A更大;設(shè)置NSD的隔震結(jié)構(gòu)C小于隔震結(jié)構(gòu)B的位移均方根值，并且當(dāng)（1+θng）（1+μng）gt;1時，隔震結(jié)構(gòu)C小于隔震結(jié)構(gòu)A的位移均方根值。

3 地震響應(yīng)分析

本節(jié)將分別分析和對比在不同頻譜分布的實際地震動作用下，隔震結(jié)構(gòu)A、B和C的位移和加速度響應(yīng)。選取的近斷層地震動基本信息如表1所列。地震波數(shù)據(jù)可從太平洋地震工程研究中心（PEER）獲取（https：//peer.berkeley.edu/）。隔震結(jié)構(gòu)參數(shù)分別取為：m1=4.772×106 kg，ω1=2.09 rad/s（對應(yīng)的自振周期為3 s），k1=2.07×107 N/m，ξ1=0.15，c1=2.97×106 N·s/m;預(yù)壓縮彈簧基本參數(shù)為：αng=0.5，θng=1?？紤]γng=0.8和0.6兩種情況，計算出βdBA=0.968、0.913，ωdBA=2.02 rad/s、1.91 rad/s，則TdBA=3.11、3.29 s;βdCA=0.671、0.770，ωdCA=1.40 rad/s、1.61 rad/s，TdCA=4.48 s、3.90 s。

3.1 Cape Mendocino地震動

圖5給出了Cape Mendocino地震動時程曲線和時頻圖。從圖中可以看出地震波能量的分布范圍。地震波主要能量成分周期均小于TdBA和TdCA，可推斷出在該條地震波作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置后隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會減小。

圖6給出了在Cape Mendocino地震作用下隔震結(jié)構(gòu)A與B的位移和加速度時程曲線。從圖6中可以看出，設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)B的位移和加速度響應(yīng)都有一定程度的降低，γng=0.8、0.6對應(yīng)的位移峰值分別降低了4.5%和29.0%，加速度峰值分別降低了14.0%和38.1%;γng越小，位移峰值和加速度峰值降低越多。

圖7給出了在Cape Mendocino地震波作用下隔震結(jié)構(gòu)A與C的位移和加速度時程曲線。由圖可知，γng=0.8、0.6對應(yīng)的隔震結(jié)構(gòu)C位移峰值較隔震結(jié)構(gòu)A分別降低了37.5%和41.0%，加速度峰值分別降低了0.2%和9.86%。與圖6所示的位移峰值響應(yīng)進(jìn)行對比可知，設(shè)置NSD的隔震結(jié)構(gòu)C比設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)B的位移峰值更小。

3.2 Landers地震動

Landers地震動時程曲線和時頻如圖8所示。該地震波能量主要分布在較寬的周期范圍內(nèi)，在3～5 s周期范圍內(nèi)也有能量分布。這就存在在地震波的高頻分量作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置后隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)減小，而在低頻分量作用下其地震響應(yīng)增大的情況。

圖9為在Landers地震波作用下隔震結(jié)構(gòu)A與B的位移和加速度時程曲線。從圖中可以看出，設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)B較隔震結(jié)構(gòu)A的位移響應(yīng)一定程度的增大，但加速度響應(yīng)依然降低。γng=0.8、0.6對應(yīng)的位移峰值分別增大了8.1%和24.3%，加速度峰值分別降低了4.6%和14.8%。

圖10為在Landers地震波作用下隔震結(jié)構(gòu)A與C的位移和加速度時程曲線。從圖中可以看出，設(shè)置NSD可以減小此類地震波作用下隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)，γng=0.8、0.6對應(yīng)的位移峰值分別減小了20.9%和13.0%，加速度峰值分別降低了18.0%和27.1%。

3.3 El Mayor-Cucapah地震動

圖11給出了El Mayor-Cucapah地震波時程曲線和時頻圖。從圖中可以看出地震波能量分布在一個非常寬的周期范圍內(nèi)，但在5～10 s的長周期范圍內(nèi)也有能量分布。

圖12為在El Mayor-Cucapah地震波作用下隔震結(jié)構(gòu)A與B的位移和加速度時程曲線。從圖中可以看出，設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)B的位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)較隔震結(jié)構(gòu)A都有一定程度的增大，γng=0.8、0.6對應(yīng)的位移峰值分別增大了20.3%和53.3%，加速度峰值分別增大了5.7%和3.8%。圖13為隔震結(jié)構(gòu)A與C的位移和加速度時程曲線，

從圖中可以看出，設(shè)置NSD的隔震結(jié)構(gòu)，當(dāng)γng=0.8時，其位移響僅略微減小了2.1%，當(dāng)γng=0.6時，其位移響應(yīng)增大了22.9%，但兩者對應(yīng)的加速度響應(yīng)均有一定程度的降低，加速度峰值分別降低了7.9%和9.4%。這就表明，當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ陂L周期范圍內(nèi)能量分布較大時，設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)位移和加速度響應(yīng)會有一定程度的增大，并且當(dāng)γng較小時設(shè)置NSD的隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)也可能會增大。

4 高低頻地震分量響應(yīng)分析

本節(jié)對Landers地震動采用解析模式理論和算法［15］分解為高頻和低頻兩部分，然后進(jìn)行基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和對比，所采用的結(jié)構(gòu)參數(shù)與第3節(jié)相同。

4.1 設(shè)置PNS的隔震結(jié)構(gòu)

當(dāng)γng=0.6時，βdBA=0.913，ωdBA=1.91 rad/s，則TdBA=3.29 s。選擇f=1/3.29=0.304 Hz為截斷頻率，圖14和圖15分別給出了Landers地震波高頻分量和低頻分量的時程曲線和時頻圖。

根據(jù)前文的位移頻響函數(shù)可以推斷，在Landers地震波高頻分量作用下設(shè)置PNS后隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會減小，低頻分量作用下設(shè)置PNS后隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會增大。圖16和圖17與此相符。

在Landers地震波在高頻分量作用下，隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)都有一定程度的降低，但是在低頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)都出現(xiàn)增大，特別是位移響應(yīng)增大得較多。高頻和低頻響應(yīng)疊加以后位移響應(yīng)增大、加速度響應(yīng)降低。

4.2 設(shè)置NSD的隔震結(jié)構(gòu)

當(dāng)γng=0.6時，βdCA=0.770，ωdCA=1.61 rad/s，TdCA=3.90 s。選擇f=1/3.90=0.256 Hz為截斷頻率，同樣將Landers地震波分為高頻和低頻兩部分。圖18和圖19分別給出了在高頻和低頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)A和C的位移和加速度時程曲線，從圖中可以看出，高頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)的減小量要大于低頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)位移和加速度響應(yīng)的增大量，高頻和低頻疊加以后位移和加速度響應(yīng)都降低。

Cape Mendocino地震波能量成分主要集中在高頻部分，可直接推斷出在該條地震波作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置后隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會減小，這與第3.1

小節(jié)中將該地震波作為輸入作用于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)分析和對比后得出的結(jié)論相符。

El Mayor-Cucapah地震波能量分布在一個非常寬的頻段范圍內(nèi)。采用相同的分解算法將El Mayor-Cucapah地震波分解為高頻和低頻兩部分，分別作用于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)分析和對比，同樣能夠得到高頻分量作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置較無負(fù)剛度時隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會降低，低頻分量作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置較無負(fù)剛度時隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會增大的結(jié)論。

5 結(jié)論

本文對無負(fù)剛度裝置、設(shè)置預(yù)壓縮彈簧純負(fù)剛度元件和設(shè)置阻尼負(fù)剛度裝置三種不同基礎(chǔ)的隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行了頻域和時域分析。主要結(jié)論如下：

（1） 推導(dǎo)出設(shè)置負(fù)剛度裝置和無負(fù)剛度的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)位移和加速度頻響函數(shù)表達(dá)式和H2控制性能指標(biāo)表達(dá)式;在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下比較頻響函數(shù)曲線，發(fā)現(xiàn)高頻激勵下設(shè)置預(yù)壓縮彈簧純負(fù)剛度元件會減小隔震結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)，但低頻激勵下會增大響應(yīng);設(shè)置阻尼負(fù)剛度裝置不僅可以大幅降低位移和加速度頻響函數(shù)峰值，而且在較寬的頻段范圍內(nèi)隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)都會降低。

（2） 推導(dǎo)出設(shè)置負(fù)剛度裝置與無負(fù)剛度裝置的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)值相等時的激勵頻率，并以此為截斷頻率，采用解析模式分解方法對地震波進(jìn)行了分解，驗證了設(shè)置負(fù)剛度裝置后高頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會減小、低頻分量作用下隔震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)會增大這一變化趨勢。這是因為設(shè)置負(fù)剛度裝置，進(jìn)一步延長了隔震結(jié)構(gòu)的自振周期，在地震波低頻分量作用下更易引起隔震結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振，導(dǎo)致隔震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)增大。

（3） 對不同頻譜分布的實際近斷層地震動作用下隔震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行了分析，能量分布周期不同的地震波作用下設(shè)置負(fù)剛度裝置的效果不一樣。特別是當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ陂L周期范圍內(nèi)能量分布較大時，設(shè)置預(yù)壓縮彈簧純負(fù)剛度元件的隔震結(jié)構(gòu)位移和加速度響應(yīng)會有一定程度的增大，在預(yù)壓彈簧長度與自由長度比值較小的情況下設(shè)置阻尼負(fù)剛度裝置的隔震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)也可能會增大。

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（本文編輯：任 棟）