摘" 要：結(jié)構(gòu)化視角下解析幾何的教學(xué)方法要注重教學(xué)目標(biāo)的明確性；以核心問(wèn)題展開(kāi)內(nèi)容教學(xué)；注意體現(xiàn)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從單一到綜合的教學(xué)邏輯；對(duì)每類(lèi)圓錐曲線的研究要形成研究路徑的一致性；對(duì)曲線方程的核心概念要給予學(xué)生足夠多的遞進(jìn)式學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，遵循螺旋上升的原則；開(kāi)展綜合性、復(fù)雜性、現(xiàn)實(shí)性的教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步深化理解解析幾何的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化；解析幾何；教學(xué)建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）04-0026-05

引用格式：虞濤，時(shí)杰. 結(jié)構(gòu)化視角下解析幾何的教學(xué)方法建議［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：26-30.

結(jié)構(gòu)化視角下的教學(xué)應(yīng)遵循聯(lián)系入手、整體思考和發(fā)展演繹三個(gè)基本階段. 基于這三個(gè)階段，筆者曾系統(tǒng)分析了結(jié)構(gòu)化視角下解析幾何的教學(xué)內(nèi)容. 解析幾何的創(chuàng)立源于笛卡兒希望把“數(shù)”與“形”結(jié)合的設(shè)想，為此引入坐標(biāo)系，構(gòu)建了點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此奠定了解析幾何產(chǎn)生與發(fā)展的基礎(chǔ). 解析幾何的方法精髓是數(shù)形結(jié)合，解析幾何的教學(xué)內(nèi)容具有豐富的教育價(jià)值，對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要作用. 具體來(lái)說(shuō)，解析幾何的研究重點(diǎn)包含坐標(biāo)法和代數(shù)法等核心思想方法，梳理解析幾何的知識(shí)體系和知識(shí)脈絡(luò)，螺旋式引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)曲線方程的概念，等等. 在分析滬教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“新教材”）中的解析幾何教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步探究解析幾何的教學(xué)方法，以便更好地促進(jìn)解析幾何教學(xué)內(nèi)容和教育價(jià)值的落實(shí).

一、教學(xué)目標(biāo)的明確性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，關(guān)于解析幾何的知識(shí)內(nèi)容包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程，主張?jiān)谥R(shí)構(gòu)建的過(guò)程中領(lǐng)會(huì)解析幾何的思想方法，掌握用平面解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的基本過(guò)程：根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問(wèn)題；根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題（圖形）的分析，探索解決問(wèn)題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論；對(duì)代數(shù)結(jié)論給出合理的幾何解釋?zhuān)鉀Q幾何問(wèn)題. 從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界切換，能夠根據(jù)不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；在數(shù)學(xué)世界中，能夠運(yùn)用代數(shù)方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系；從數(shù)學(xué)世界到現(xiàn)實(shí)世界切換，能夠運(yùn)用平面解析幾何思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)，通過(guò)對(duì)軌跡問(wèn)題的探究體會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用及其創(chuàng)新價(jià)值，通過(guò)了解解析幾何的發(fā)展簡(jiǎn)史感受數(shù)學(xué)背后的人文精神.

解析幾何的教學(xué)應(yīng)該以數(shù)形結(jié)合為主要思想方法，即以坐標(biāo)法為主導(dǎo)觀念，以用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題為行動(dòng)目標(biāo)，圍繞“曲線方程”這一主題，以直線為起點(diǎn)、圓為基礎(chǔ)、橢圓為重點(diǎn)，類(lèi)比研究雙曲線、拋物線，以及它們之間的位置關(guān)系，在教學(xué)過(guò)程中逐步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 教學(xué)重點(diǎn)是解析幾何的思想方法，即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn)是幾何推理和代數(shù)運(yùn)算的靈活轉(zhuǎn)換.

二、教學(xué)問(wèn)題的核心性

教學(xué)過(guò)程的推進(jìn)，應(yīng)該以問(wèn)題為引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思考，圍繞核心概念和核心思想方法梳理知識(shí)內(nèi)容，建立“大單元核心問(wèn)題—小單元中心問(wèn)題—章節(jié)問(wèn)題—課時(shí)教學(xué)內(nèi)容”的問(wèn)題串教學(xué)路徑，形成提問(wèn)的宏觀邏輯. 對(duì)解析幾何教學(xué)內(nèi)容中的教學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)如下.

以“如何用坐標(biāo)法研究直線？”為核心問(wèn)題開(kāi)啟“平面直角坐標(biāo)系中的直線”一章的教學(xué). 以三個(gè)子問(wèn)題引領(lǐng)三個(gè)方面的思考：如何用代數(shù)方法描述平面直角坐標(biāo)系中的直線？如何用直線的方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系？如何應(yīng)用坐標(biāo)法研究與距離有關(guān)的問(wèn)題？再分解章節(jié)問(wèn)題：如何對(duì)確定直線的幾何要素進(jìn)行代數(shù)表述？如何根據(jù)已知直線的幾何特征用代數(shù)方法表示直線？如何從代數(shù)視角將直線的各種方程一般化？如何利用二元一次方程組研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系？如何運(yùn)用直線的斜率研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系？如何求點(diǎn)到直線的距離？如何求兩條平行直線間的距離？

以“如何用代數(shù)方法認(rèn)識(shí)、理解和研究圓錐曲線？”為核心問(wèn)題開(kāi)啟“圓錐曲線”一章的教學(xué). 以三個(gè)子問(wèn)題引領(lǐng)三個(gè)方面的思考：如何理解各類(lèi)圓錐曲線（包含橢圓、雙曲線和拋物線的幾何定義，如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系推導(dǎo)各類(lèi)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程）？如何通過(guò)方程研究各類(lèi)圓錐曲線的性質(zhì)？如何運(yùn)用圓錐曲線的方程和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，從而進(jìn)一步理解用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想？再分解章節(jié)問(wèn)題：如何從具體情境和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中抽象出各類(lèi)圓錐曲線的定義？如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系推導(dǎo)各類(lèi)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？如何通過(guò)方程研究各類(lèi)圓錐曲線的性質(zhì)？如何運(yùn)用各類(lèi)圓錐曲線的方程和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題？

三、教學(xué)思路的邏輯性

在解析幾何思想的引導(dǎo)下，我們可以更好地認(rèn)識(shí)將幾何問(wèn)題代數(shù)化和用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的過(guò)程，在經(jīng)歷核心概念、重要概念、基本概念和數(shù)學(xué)事實(shí)等知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的同時(shí)，不斷感悟數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用思路：用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系—將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題—處理代數(shù)問(wèn)題—分析代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義—解決幾何問(wèn)題.

考慮到學(xué)生的認(rèn)知心理，對(duì)坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化思想等默會(huì)知識(shí)的理解和吸收需要逐步由感悟到提升，對(duì)此可以采取滲透、明確和應(yīng)用的教學(xué)過(guò)程. 核心概念和重要概念盡量運(yùn)用歸納推理的方式進(jìn)行推演. 注意從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從單一到綜合地組織內(nèi)容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式形成概念. 強(qiáng)調(diào)先行組織者的使用，先把握對(duì)象的基本幾何特征、明確面臨的幾何問(wèn)題，然后才是用代數(shù)方法研究. 不要忽視對(duì)幾何要素的分析過(guò)程，要適當(dāng)進(jìn)行代數(shù)關(guān)系的幾何意義訓(xùn)練，處理好代數(shù)求解與幾何直觀之間的關(guān)系. 解較復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題時(shí)要掌握“先幾何觀察，再利用坐標(biāo)進(jìn)行推理論證與求解”的基本思路，掌握用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本方法.

四、教學(xué)環(huán)節(jié)的一致性

在解析幾何中，從直線、圓、橢圓、雙曲線到拋物線，每一種曲線的研究過(guò)程都遵循“從幾何直觀（曲線的幾何定義）到代數(shù)表示（建立曲線的方程）再到幾何直觀（通過(guò)方程研究曲線的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系、距離度量等問(wèn)題）”的過(guò)程，有利于形成系統(tǒng)的研究幾何對(duì)象的可靠經(jīng)驗(yàn).

由曲線和方程的關(guān)系的整體性考察知識(shí)內(nèi)容，并關(guān)注知識(shí)內(nèi)容之間有意義的聯(lián)結(jié)，同時(shí)關(guān)注單元之間互相協(xié)調(diào)配合，可以梳理出解析幾何“曲線—方程—性質(zhì)”學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，如圖1所示.

五、核心概念的反復(fù)性

《標(biāo)準(zhǔn)》在“教材編寫(xiě)建議”部分指出，數(shù)學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)應(yīng)循序漸進(jìn)，螺旋上升，使教材成為一個(gè)有機(jī)的整體. 可見(jiàn)，“螺旋上升”是教材編寫(xiě)的重要原則. 要落實(shí)“螺旋上升”的原則，關(guān)鍵在于要處理好教學(xué)內(nèi)容中那些核心概念的重現(xiàn)問(wèn)題，要確保學(xué)生有足夠多的遞進(jìn)式學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).

如前所述，解析幾何的核心概念是“曲線方程”，新教材在“直線的點(diǎn)斜式方程”“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”“求軌跡的方程”“簡(jiǎn)單的參數(shù)方程”“極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程”及章復(fù)習(xí)題等內(nèi)容多次重現(xiàn)曲線方程的概念. 但是對(duì)核心概念的重現(xiàn)不能是單一再現(xiàn)和簡(jiǎn)單重復(fù)，而應(yīng)該從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，使后面的內(nèi)容作為前面內(nèi)容的擴(kuò)展和深化，交叉遞進(jìn)地重現(xiàn)核心概念，同時(shí)應(yīng)該兼顧學(xué)生的認(rèn)知水平. 新教材中“曲線方程”概念的建立經(jīng)歷了“具體直線方程—各類(lèi)直線方程—直線方程的一般式—直線方程的概念—曲線方程的概念—參數(shù)方程—極坐標(biāo)方程”等階段，循環(huán)往復(fù)，層層遞進(jìn). 具體來(lái)說(shuō)，新教材最初從特殊的方程引入直線方程的概念，是在學(xué)生初中學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)及知道一次函數(shù)的圖象是直線的認(rèn)知基礎(chǔ)上，初步建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，而后將確定直線位置的幾何要素放入直角坐標(biāo)系，從而引入包括直線的點(diǎn)斜式方程在內(nèi)的各種直線方程，在此基礎(chǔ)上去除直線的幾何要素特征，建立一般直線方程的概念，并順勢(shì)準(zhǔn)確闡述直線和二元一次方程的聯(lián)系，總結(jié)直線方程的嚴(yán)格定義. 至此，從二元一次方程的角度認(rèn)識(shí)了直線這一幾何圖形. 為了考慮更一般的平面曲線，推而廣之定義了曲線方程的一般概念，主要目的是為后續(xù)二元二次方程的學(xué)習(xí)建立起嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這加深了“曲線方程”概念的思維深度. 隨后，新教材改變“曲線方程”學(xué)習(xí)素材的載體，以圓、橢圓、雙曲線、拋物線等二元二次方程為研究對(duì)象，進(jìn)一步深化對(duì)“曲線方程”概念的理解. 最后，再次給出“曲線方程”的概念，并將普通直角坐標(biāo)方程拓展到參數(shù)方程，將平面直角坐標(biāo)系拓展到極坐標(biāo)系，這增加了坐標(biāo)法和曲線方程學(xué)習(xí)內(nèi)容的廣度，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的最終統(tǒng)一. 此外，從解析幾何內(nèi)容的編排順序來(lái)看，新教材十分注重“從特殊到一般，再用一般指導(dǎo)特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，與學(xué)生的認(rèn)知水平更加適應(yīng)，從而能讓學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)“曲線方程”概念的過(guò)程，逐步理解和掌握解析幾何的重要思想方法.

六、教學(xué)路徑的循環(huán)性

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的解析幾何思想指引下的問(wèn)題解決過(guò)程. 首先，通過(guò)具體實(shí)例了解幾何圖形的背景，知道圓錐曲線的背景與應(yīng)用價(jià)值；其次，在情境中清晰地描述圖形的幾何特征，提出需要研究的幾何問(wèn)題；再次，結(jié)合具體問(wèn)題建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)語(yǔ)言描述這些幾何特征并研究問(wèn)題；最后，借助圖形的幾何特征，形成問(wèn)題解決的思路，通過(guò)直觀想象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)果，并從幾何角度予以解釋?zhuān)罱K解決問(wèn)題. 解析幾何教學(xué)從直線、圓、橢圓、雙曲線一直到拋物線，針對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，都可以按照“背景引入—幾何定義—幾何要素—曲線方程—曲線性質(zhì)—位置關(guān)系—實(shí)踐應(yīng)用”的方式展開(kāi)教學(xué)，具體如表1所示. 不同曲線的研究遵循著同樣的研究規(guī)律，有利于構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化理解知識(shí)和靈活遷移知識(shí). 同時(shí)，積累解析幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一種通用路徑.

七、教學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一性

追求知識(shí)的統(tǒng)一性有利于在更高層面認(rèn)識(shí)知識(shí). 我們分別在橢圓、雙曲線、拋物線這三節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中得知它們都是具有某種到定點(diǎn)和定直線距離和或差的特征的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，這是從運(yùn)動(dòng)變化的觀念認(rèn)識(shí)曲線. 在研究橢圓時(shí)，還特別指出當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合于橢圓的中心，橢圓就變成圓. 這四種曲線還可以在圓錐曲線的定義中統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，即可以看作由不同的平面截同一個(gè)圓錐得到，這就是新教材章名“圓錐曲線”的由來(lái). 橢圓、雙曲線和拋物線還可以統(tǒng)一為到定點(diǎn)和定直線距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡. 在極坐標(biāo)系中，可以給出簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程. 事實(shí)上，從高等數(shù)學(xué)層面來(lái)看，圓、橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱(chēng)為二次曲線，它們的方程都是二元二次方程. 在教學(xué)中，通過(guò)具體例子來(lái)溝通它們之間的聯(lián)系，通過(guò)研究曲線[y=1x]的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程來(lái)說(shuō)明反比例函數(shù)與雙曲線之間的關(guān)系，研究二次函數(shù)[y=x2-2x+1]的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程來(lái)說(shuō)明二次函數(shù)圖象與拋物線之間的關(guān)系，研究函數(shù)[y=x+1x]的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程來(lái)說(shuō)明其圖象與雙曲線之間的關(guān)系；還可以通過(guò)探究與兩給定圓均相切的圓的圓心軌跡，認(rèn)識(shí)圓、橢圓、雙曲線、相交直線之間的關(guān)系，圓錐曲線被統(tǒng)一到具有某種規(guī)則的動(dòng)點(diǎn)的軌跡中.

八、教學(xué)活動(dòng)的豐富性

1. 數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)

《標(biāo)準(zhǔn)》建議將平面解析幾何的形成與發(fā)展作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容之一. 組織學(xué)生開(kāi)展檢索、閱讀和整理平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史文獻(xiàn)，撰寫(xiě)研究性報(bào)告，論述平面解析幾何的發(fā)展歷程、重要成果、突出人物和關(guān)鍵事件. 數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史閱讀能拓寬知識(shí)視野和統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)體系，閱讀、寫(xiě)作和論述都是鍛煉學(xué)生表達(dá)能力的良好機(jī)會(huì). 另外，離心率也是一個(gè)很好的研究課題. 可以了解恒星的運(yùn)轉(zhuǎn)：如何由運(yùn)轉(zhuǎn)速度的不同產(chǎn)生扁平程度不一的橢圓？能用適當(dāng)?shù)牧靠坍?huà)橢圓的扁平程度嗎？怎樣從定義偏心率到定義離心率？橢圓的離心率的定義的合理性、科學(xué)性體現(xiàn)在哪里？

2. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

拋物線的焦點(diǎn)弦具有豐富的、重要的性質(zhì)和幾何意義，它們是構(gòu)建較復(fù)雜解析幾何問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ). 可以開(kāi)展收集、整理這些重要性質(zhì)和幾何意義的活動(dòng)，熟悉性質(zhì)的運(yùn)算思路，理解知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，運(yùn)用知識(shí)的邏輯性，將對(duì)探尋思路和優(yōu)化算法具有積極作用. 卡西尼曲線，即到兩定點(diǎn)距離之積為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，也是一個(gè)鍛煉用代數(shù)方法探究曲線的幾何特征的素材. 從曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、封閉性和極點(diǎn)，以及隨著參數(shù)的變化如何形成雙紐線或卵形線等多個(gè)角度探究曲線的性質(zhì).

3. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

在生活中學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)：用一張紙能折出橢圓嗎？可以開(kāi)展用折紙法畫(huà)橢圓或拋物線的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，理解和運(yùn)用圓錐曲線的知識(shí)核心. 夜晚，用手電筒在墻面上打出一束光，該光束在墻面上的投影就是圓錐曲線. 理解圓錐曲線的統(tǒng)一知識(shí)體系，了解射影幾何學(xué)的學(xué)習(xí)意義. 還可以利用數(shù)學(xué)軟件或圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 探究一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，原點(diǎn)在線段上的射影的軌跡及其方程. 這種曲線（玫瑰曲線）有什么特征？如何形成更美麗的多葉玫瑰曲線？還可以讓學(xué)生了解笛卡兒研究心形曲線的一段浪漫故事，并借助數(shù)學(xué)軟件自主創(chuàng)造和驗(yàn)證，探尋最浪漫的心形曲線，與笛卡兒的成果媲美. 將信息技術(shù)與解析幾何學(xué)習(xí)充分融合，讓學(xué)生真實(shí)感受解析幾何的魅力.

參考文獻(xiàn)：

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