摘" 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》中提出：體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識.以計(jì)數(shù)單位為統(tǒng)領(lǐng)，在乘法運(yùn)算中體會知識之間的聯(lián)系，形成經(jīng)驗(yàn).將小學(xué)有關(guān)乘法的知識進(jìn)行梳理，在遷移、類推的過程中，實(shí)現(xiàn)對乘法一致性的整體建構(gòu).老師應(yīng)將乘法運(yùn)算的一致性落實(shí)到課堂教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、推理意識等核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；小學(xué)數(shù)學(xué)；乘法；一致性

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，探尋乘法運(yùn)算的“一致性”，梳理乘法的算理與算法，當(dāng)然可以簡單地還原成加法，這樣做，乘法就找到了源頭.但如果一直這樣，乘法就永遠(yuǎn)是攀附在加法上的藤蔓.因此，乘法要建構(gòu)自己獨(dú)立的算理與算法，感知乘法運(yùn)算的一致性，以此提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識，仍是教育者和研究者需要深入研究的課題.接下來針對新課標(biāo)的要求、內(nèi)容的梳理和案例的落實(shí)三個(gè)方面進(jìn)行詳述.

1" 精研課標(biāo)，找準(zhǔn)乘法運(yùn)算一致性的依據(jù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》中指出：數(shù)與運(yùn)算包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及其四則運(yùn)算.數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理，掌握算法，也提出感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識.

新課程標(biāo)準(zhǔn)將2011年版中的數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化的整合，整合為數(shù)與運(yùn)算.課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運(yùn)算的知識和方法，感悟數(shù)與運(yùn)算之間的密切聯(lián)系和計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的核心作用，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的提升.

基于對課標(biāo)的研讀，對于乘法，有這樣幾點(diǎn)共識：首先，乘法是加法的簡便運(yùn)算，也就是乘法運(yùn)算的意義，這是我們乘法運(yùn)算的根結(jié).乘法口訣是所有乘法運(yùn)算的基礎(chǔ).計(jì)數(shù)單位是乘法運(yùn)算的核心概念.乘法運(yùn)算律和等式的性質(zhì)是所有乘法的基本規(guī)律.對于乘法運(yùn)算的一致性，就是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù).而這種乘法運(yùn)算一致性，也可以幫助我們實(shí)現(xiàn)從新知到已知的轉(zhuǎn)化.而乘法運(yùn)算一致性的落腳點(diǎn)，就是促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力和推理意識的核心素養(yǎng)的提升.

2" 理清脈絡(luò)，助推乘法運(yùn)算一致性的實(shí)施

乘法運(yùn)算，包括整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法，它貫穿于小學(xué)三個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)中.整個(gè)乘法的知識結(jié)構(gòu)，根據(jù)課標(biāo)對每個(gè)學(xué)段提出的要求，從簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，螺旋上升，助推乘法運(yùn)算一致性的實(shí)施.

2.1" 注重知識結(jié)構(gòu)，教學(xué)循序漸進(jìn)，螺旋上升

第一學(xué)段課標(biāo)要求：在具體情境中了解四則運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算之間的關(guān)系，探索乘法算理與算法，學(xué)會簡單的整數(shù)乘法，熟練口算表內(nèi)乘法.

根據(jù)課標(biāo)要求，先學(xué)習(xí)表內(nèi)乘法（一），分別是學(xué)習(xí)乘法的初步認(rèn)識、二到六的乘法口訣，再學(xué)習(xí)表內(nèi)乘法（二），安排了七到九的乘法口訣.在第一階段的表內(nèi)乘法是所有乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此要達(dá)到熟練的程度.

第二學(xué)段課標(biāo)要求：探索并掌握多位數(shù)的乘法，利用運(yùn)算的意義和運(yùn)算律，分析和理解乘法運(yùn)算的算理，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化，形成運(yùn)算能力和推理意識. 根據(jù)課標(biāo)要求，安排了兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，分別安排了口算、筆算以及解決問題.接下來是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，安排了先筆算再解決問題這樣的編排思路.然后是三位數(shù)乘兩位數(shù)，也安排三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算以及積的變化規(guī)律，于是就完成了整數(shù)乘法的學(xué)習(xí).

在第二學(xué)段，要帶領(lǐng)學(xué)生感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化.從兩、三位數(shù)乘一位數(shù)到兩位數(shù)乘兩位數(shù)再到三位數(shù)乘兩位數(shù)，都是體現(xiàn)了從未知到已知的轉(zhuǎn)化，循序漸進(jìn)，螺旋上升.這種知識經(jīng)驗(yàn)的積累，可以幫助學(xué)生去計(jì)算三位數(shù)乘三位數(shù)，多位數(shù)乘多位數(shù).

第三學(xué)段課標(biāo)要求：能進(jìn)行簡單的分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算一致性，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識.

根據(jù)課標(biāo)要求，先安排了小數(shù)乘法，其中有小數(shù)乘整數(shù)，一個(gè)數(shù)乘小數(shù)等.最后安排了分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù).在第三學(xué)段重點(diǎn)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法.小數(shù)乘法和整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘法有著運(yùn)算的一致性，學(xué)生需要借助運(yùn)算的一致性，將小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來學(xué)習(xí).

整體來看，小學(xué)數(shù)學(xué)乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)，需遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律.在第一學(xué)段學(xué)習(xí)乘法口訣，為乘法運(yùn)算奠定基礎(chǔ).在第二學(xué)段安排了兩、三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)，感悟計(jì)數(shù)單位的意義和核心價(jià)值，初步了解運(yùn)算的一致性.而在第三學(xué)段安排了小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法，通過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算進(jìn)一步突出計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性，這樣循序漸進(jìn)，螺旋上升，合理布局，打通了知識間的聯(lián)系，助推乘法運(yùn)算一致性的實(shí)施.

2.2" 以計(jì)數(shù)單位為核心，統(tǒng)領(lǐng)乘法運(yùn)算，體現(xiàn)運(yùn)算的一致性

乘法運(yùn)算就是計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算，最終的結(jié)果還是計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá).以計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法，體現(xiàn)乘法運(yùn)算的一致性.

2.2.1" 以計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加，體現(xiàn)未知到已知的轉(zhuǎn)化

在第一學(xué)段學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)了乘法口訣.在第二學(xué)段整數(shù)乘法中，充分抓住數(shù)概念的本質(zhì)，以計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加來統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)乘法.

兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，20×3，在這里應(yīng)充分借助數(shù)概念的本質(zhì)，20就是2個(gè)十，2個(gè)十乘3，得6個(gè)十，6個(gè)十就是60，讓學(xué)生初步感悟計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加.在兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算中，也是借助數(shù)概念的本質(zhì)，12×3可以把12看成1個(gè)十和2個(gè)一，1個(gè)十和2個(gè)一分別與3相乘，1個(gè)十乘3就是3個(gè)十，3個(gè)十就是30，2個(gè)一和3相乘就是6個(gè)一，6個(gè)一就是6，然后再把這兩部分合起來.教材借助數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生清楚看出，把12乘3分成10和2分別與3相乘，先分后合的過程，讓學(xué)生感受從未知到已知的轉(zhuǎn)化.體會兩位數(shù)乘一位數(shù)實(shí)際上也是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加.

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)可延續(xù)兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算的思路，借助圖形，讓學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過程，也是通過先分后合實(shí)現(xiàn)知識從未知到已知的轉(zhuǎn)化.到了三位數(shù)乘兩位數(shù)，學(xué)生借助兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)去探究三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法，體現(xiàn)運(yùn)算一致性，實(shí)現(xiàn)知識遷移.

兩三位數(shù)乘一位數(shù)、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘整數(shù)，都是基于乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算這一乘法的意義，體會計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加.40乘2是4個(gè)十乘2得8個(gè)十，所以是80;2.8乘4是28個(gè)0.1乘4得112個(gè)0.1，是11.2;23乘4是2個(gè)13乘4得8個(gè)13，是83.兩、三位數(shù)乘一位數(shù)同分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘整數(shù)都是一樣的，都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加.

2.2.2" 與數(shù)概念的本質(zhì)、運(yùn)算律等有效融合，突出計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算

（1）計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位

兩位數(shù)乘兩位數(shù)口算20×30時(shí)，10乘10等于100，這里的十是計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位十和計(jì)數(shù)單位十相乘得到的新的計(jì)數(shù)單位一百.借助數(shù)概念的本質(zhì)，十個(gè)十就是一百，讓學(xué)生初步的感悟計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，為后續(xù)兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算奠定基礎(chǔ).小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)可以引入矩型模形，借助數(shù)的意義突破計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位.小數(shù)乘法中0.1×0.1，借助圖形結(jié)合小數(shù)的意義，讓學(xué)生體會0.1×0.1，就是求十分之一的十分之一，也就是百分之一，是0.01，讓學(xué)生感悟計(jì)數(shù)單位0.1和0.1相乘得到一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位0.01.

將整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位作為整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)復(fù)雜計(jì)算的開啟.主要就是突破產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的理解，后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算都可以以計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成舊知識解決問題.

（2）計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)

兩位數(shù)乘兩位數(shù)中口算20×30時(shí)，其中2×3=6.這里的2和3都是兩個(gè)乘數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù).6就是新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生初步感悟計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù).教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)，2.8×1.2，根據(jù)小數(shù)概念的本質(zhì)，2.8就表示28個(gè)0.1，也就是28乘0.1，1.2就是12個(gè)0.1，也就是12乘0.1，根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律，先算28乘12，再算0.1乘0.1，分別是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘、計(jì)數(shù)單位相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位是0.01，新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)就是336，336個(gè)0.01就是3.36.計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘、計(jì)數(shù)單位相乘借助于乘法運(yùn)算律，實(shí)現(xiàn)了整數(shù)乘法到小數(shù)乘法的遷移，將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，從而實(shí)現(xiàn)新知和已知的轉(zhuǎn)化.

同樣，分?jǐn)?shù)乘法也是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義和乘法交換律和結(jié)合律呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)相乘和分?jǐn)?shù)單位相乘這樣的算法.45乘23，45表示4個(gè)15，也就是15乘4，23就是2個(gè)13，也就是13乘2，根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律，先算4乘2等于8，再算15乘13得到新的分?jǐn)?shù)單位是115.新的分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)是8，就是8個(gè)115，也就是815，借助于分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)相乘，分?jǐn)?shù)單位相乘，將分?jǐn)?shù)乘法再一次轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)乘法、整數(shù)乘法和小數(shù)乘法運(yùn)算的一致性.

在乘法的教學(xué)中，應(yīng)打通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法上的關(guān)聯(lián)，把握乘法運(yùn)算的本質(zhì)，也就是計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)了乘法運(yùn)算的一致性，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識.

3" 案例研究，推進(jìn)乘法運(yùn)算一致性的落地.

老師們常思考：如何真正地讓孩子關(guān)注到數(shù)的運(yùn)算，實(shí)際就是計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算這一問題.其中小數(shù)乘小數(shù)的算理是比較抽象，新學(xué)階段還無法與分?jǐn)?shù)乘法加以溝通，給學(xué)生的理解造成了障礙.接下來就以《小數(shù)乘小數(shù)》為例，以“一致性”為學(xué)習(xí)的腳手架，突破難點(diǎn).

3.1" 數(shù)形結(jié)合，突破理解

借助學(xué)生探究生成的問題：0.1×0.1＝0.01，為什么等于0.01？讓學(xué)生借助圖形，來研究0.1乘0.1到底等于多少？充分調(diào)動了已有的知識經(jīng)驗(yàn)，0.1就表示把整體1平均分成十份取其中的一份，結(jié)合小數(shù)的意義，就是求0.1個(gè)0.1是多少，也就是0.1的十分之一是多少.把0.1再平均分成十份，取其中的一份，借助圖形，學(xué)生很清晰地就可以看出，0.1乘0.1，就是求十分之一的十分之一，也就是0.01，借助數(shù)形結(jié)合，明析0.1乘0.1為什么等于0.01.也就是兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位，0.1和0.1相乘產(chǎn)生了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，也就是0.01.透過這個(gè)表象，讓學(xué)生進(jìn)一步的提煉出計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位.

從計(jì)數(shù)單位的視角挖掘本質(zhì)進(jìn)一步突破了計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位這個(gè)問題的理解.在動手操作中感悟，在交流碰撞中明晰，在深度思考中提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位.

3.2" 聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)，遷移類推

乘法運(yùn)算一致性的價(jià)值，就是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的遷移和經(jīng)驗(yàn)的積累，在探究結(jié)束后及時(shí)地梳理知識之間的聯(lián)系，深度挖掘運(yùn)算的本質(zhì)，感悟運(yùn)算的一致性.

3.2.1" 調(diào)取經(jīng)驗(yàn)，以核心問題引領(lǐng)探究活動.

“關(guān)于乘法，你想從哪些方面來研究它？”課前充分調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)、方法策略，引導(dǎo)孩子們從怎么算，為什么這么算，和之前的學(xué)習(xí)有怎樣的聯(lián)系三方面思考.培養(yǎng)學(xué)生從算法、算理到一致性這三個(gè)方面進(jìn)行研究的經(jīng)驗(yàn).這就要求老師在日常的教學(xué)中也需關(guān)注到這一點(diǎn)，加減乘除、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)的運(yùn)算都是從這三個(gè)方面來探究，以核心問題來引領(lǐng)課堂探究動.

3.2.2" 溝通聯(lián)系，從表象走向本質(zhì).

教學(xué)2.8乘1.2，老師大膽放手，讓學(xué)生借助已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行小數(shù)乘小數(shù)的探究.有的孩子是用計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘.老師問：“28乘12求的是什么？0.1乘0.1求的是什么？”2.8就是28個(gè)0.1，1.2就是12個(gè)0.1，28是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，12是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是336.計(jì)數(shù)單位0.1和計(jì)數(shù)單位0.1相乘得到新的計(jì)數(shù)單位0.01.有的孩子是根據(jù)積的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計(jì)算.

重現(xiàn)兩種算法之后，提問：仔細(xì)觀察兩種方法，有沒有相同的地方？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，小數(shù)轉(zhuǎn)化后的整數(shù)，其實(shí)就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，整數(shù)乘整數(shù)就是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘，產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù).整數(shù)通過積的變化規(guī)律，變回小數(shù)的過程，其實(shí)就是乘了計(jì)數(shù)單位相乘后產(chǎn)生的新的計(jì)數(shù)單位.以老師的問題做

引領(lǐng)溝通知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從表象走向了問題的本質(zhì)，再次指向計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心要素.

總體來說，老師要以計(jì)數(shù)單位做統(tǒng)領(lǐng)，在乘法運(yùn)算中體會知識之間的聯(lián)系，形成經(jīng)驗(yàn).在遷移、類推的過程中，深度思考，感悟乘法運(yùn)算存在的一致性.在整體化理念的指導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)對乘法一致性的整體建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識.運(yùn)算的一致性是每一位老師需繼續(xù)研究和實(shí)踐的一個(gè)重要話題，要繼續(xù)研究課標(biāo)，研讀教材，將乘法運(yùn)算一致性，落實(shí)到老師的課堂教學(xué)中，服務(wù)于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

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