黨耀宇,譚宏武,曹 慧

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710021)

0 引言

隨著信息網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展,計(jì)算機(jī)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播已成為一種常見現(xiàn)象,而計(jì)算機(jī)感染病毒后,會不同程度地影響人們的工作和生活,甚至?xí)斐删薮蟮慕?jīng)濟(jì)損失．因此,了解計(jì)算機(jī)病毒的傳播動力學(xué)性態(tài)也許能為抵御病毒的攻擊提供一些防御技術(shù)的設(shè)計(jì)思路．

由于計(jì)算機(jī)病毒感染的過程與流行病學(xué)感染過程類似[1],因此已有不少學(xué)者基于經(jīng)典的傳染病倉室模型建立了動力學(xué)模型來研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播[2-7],包括SIS模型[2-3]、SIR模型[4-5]、SIRS模型[6]、SVEIR模型[7]．由于計(jì)算機(jī)病毒的隱秘性,導(dǎo)致計(jì)算機(jī)感染病毒后需要經(jīng)歷一段時(shí)間后才能被防御系統(tǒng)識別并清除．

本文基于經(jīng)典的SIRS傳染病倉室模型,將網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)分為未感染類、感染類和恢復(fù)類,并分別用S(t)和R(t)表示t時(shí)刻未感染類計(jì)算機(jī)和恢復(fù)類計(jì)算機(jī)的數(shù)量,I(t,a)表示t時(shí)刻感染年齡為a的感染類計(jì)算機(jī)的密度．該模型中感染年齡a指的是病毒在感染倉室中所停留的時(shí)間長度,并不是實(shí)際的年齡,而是一種類年齡結(jié)構(gòu)．計(jì)算機(jī)病毒傳播過程如圖1所示.

圖1 基于SIRS模型的計(jì)算機(jī)病毒感染進(jìn)展流程圖

(2)

(3)

1 適定性

(4)

2 平衡態(tài)的存在性

為了得到系統(tǒng)(1)的平衡態(tài),需要求解以下方程組(5)．

下面先討論系統(tǒng)(1)的無病毒平衡態(tài)．

當(dāng)I(a)=0時(shí),直接求解可得系統(tǒng)(1)始終存在無病毒平衡態(tài)E0=(S0,0,R0),其中,

(6)

(7)

3 平衡態(tài)的穩(wěn)定性

3.1 無病毒平衡態(tài)的穩(wěn)定性

證明將系統(tǒng)(1)在E0處線性化,得到的特征方程為:

(8)

其中,2μ+α1+γ1>0,μ(μ+γ1+α1)>0,由勞斯-赫爾維茨判據(jù)可知Δ(λ)=0的兩個(gè)根的實(shí)部都小于0．當(dāng)λ∈時(shí),是關(guān)于λ的連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)遞減的實(shí)值函數(shù),且滿足0-1．因此,當(dāng)0>1時(shí),Δ2(λ)=0至少有一個(gè)正實(shí)根,即無病毒平衡態(tài)E0是不穩(wěn)定的．

引理3.2[9]設(shè)g∶+→是一個(gè)有界函數(shù),

證明為了建立無病毒平衡態(tài)E0的全局漸近穩(wěn)定性,設(shè)(S(t),I(t,a),R(t))是系統(tǒng)(1)的解,由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程與邊界條件(2)得到

(9)

3.2 病毒平衡態(tài)的穩(wěn)定性

f(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ)+B0(τ)e-λτ=0,

(11)

證明通過直接計(jì)算,可得

A1(0)A2(0)-(A0(0)+B0(0))

+μ(2μ+γ1+α1)(μ+γ1+α1)>0.

4 Hopf分支

當(dāng)τ>0時(shí),將特征方程f(λ,τ)=0改寫為超越方程

P(λ,τ)+Q(λ,τ)e-λτ=0

(12)

其中:P(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ),Q(λ,τ)=B0(τ).

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]的第二節(jié),需要證明如下假設(shè):

(Ⅰ)P(0,τ)+Q(0,τ)≠0;

(Ⅱ)P(iω,τ)+Q(iω,τ)≠0;

(Ⅳ)F(iω,τ)=|P(iω,τ)|2-|Q(iω,τ)|2;

(Ⅴ)當(dāng)F(iω,τ)=0存在正根ω(τ)時(shí),其在τ中是連續(xù)且可微的．

通過計(jì)算,可得:

則滿足上述條件(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ).

注意到,因?yàn)?/p>

所以

(13)

則條件(Ⅳ)成立．由于F(ω,τ)是關(guān)于ω2的三次多項(xiàng),且Ai(τ)(τ=1,2,3)和B0(τ)都是關(guān)于τ的連續(xù)可微函數(shù),因此條件(Ⅴ)也成立．

令λ=iω(ω>0)是f(λ,τ)=0的一個(gè)純虛根,則

-iω3-A2(τ)ω2+A1(τ)iω+A0(τ)+B0(τ)(cosωτ-isinωτ)=0.

Q(Θ)∶=Θ3+q2(τ)Θ2+q1(τ)Θ+q0(τ)

(14)

引理4.1

若式(14)沒有正根,則隨著τ的增加,病毒平衡態(tài)E*的穩(wěn)定性并沒有發(fā)生變化．反之,若式(14)存在正根,當(dāng)τ達(dá)到某個(gè)臨界值τ*時(shí),病毒平衡態(tài)E*的穩(wěn)定性可能會發(fā)生變化．綜上所述,可以得到如下結(jié)論:

對τ∈Σ,則存在ω=ω(τ)>0,使得F(ω,τ)=0．

令θ(τ)∈(0,2π](τ∈Σ)是以下方程的解:

有ω(τ)τ=θ(τ)+2nπ,因此ω*=ω(τ*)是(11)的純虛根,當(dāng)且僅當(dāng)對于n∈有τ*是Cn的零點(diǎn),.

從參考文獻(xiàn)[10]中定理2.2可得到以下引理:

引理4.2假設(shè)ω(τ)是τ∈Σ定義的F(ω,τ)=0的正實(shí)根,在τ*∈Σ時(shí),

Cn(τ*)=0,n∈.

則在特征方程(11)中τ=τ*存在一對共軛純虛根,λ+(τ*)=iω(τ*),λ-(τ*)=-iω(τ*),并且

當(dāng)δ(τ*)>0時(shí),虛根從左到右穿過虛軸．反之,當(dāng)δ(τ*)<0時(shí),虛根從右到左穿過虛軸．

當(dāng)Q＇(Θ*)≠0且τ=τ*時(shí)發(fā)生了Hopf分支,根據(jù)Hopf分支定理得到如下結(jié)論:

5 數(shù)值模擬和結(jié)論

本文提出了一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的獲得性免疫的計(jì)算機(jī)病毒模型,并將年齡結(jié)構(gòu)和時(shí)滯結(jié)合起來描述,當(dāng)感染的計(jì)算機(jī)停留在感染類一段時(shí)間后,由于獲得性免疫而成為恢復(fù)類計(jì)算機(jī)的病毒傳播現(xiàn)象．與傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)病毒模型相比,不僅考慮了病毒的感染時(shí)長,還考慮了不同感染情況下的治愈能力,因此本文考慮的模型更為現(xiàn)實(shí)．同時(shí),本文也對病毒在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中出現(xiàn)的Hopf分支情況進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬．另一方面,本文的目的是分析討論感染年齡和病毒感染的時(shí)滯對病毒傳播的影響．

圖2 病毒平衡態(tài)E*在τ不同取值情況下的穩(wěn)定性

討論時(shí)滯在τ>0的情況下,感染年齡a對于模型的影響．圖3(a)表明,在圖2病毒平衡態(tài)漸近穩(wěn)定的情況下,此時(shí)病毒平衡態(tài)處的感染個(gè)體I*(a)會隨著感染年齡的不斷增大而逐漸減少,直至為0.這說明此時(shí)計(jì)算機(jī)病毒的傳播是可以得到有效控制的．圖3(b)表明,對于整個(gè)模型而言,感染年齡a和感染時(shí)間t同時(shí)增大時(shí),感染個(gè)體I(t,a)會不斷減少．然而,在數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí)滯超過某個(gè)臨界值τ*時(shí),系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf分支,這意味著計(jì)算機(jī)病毒流行的狀態(tài)從感染平衡狀態(tài)變?yōu)闃O限環(huán)．也就是說,計(jì)算機(jī)病毒的傳播已經(jīng)失去了控制．圖4說明系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支,此時(shí)Hopf分支范圍內(nèi)時(shí)滯τ的取值很?。欢?當(dāng)時(shí)滯超過臨界值后,系統(tǒng)的穩(wěn)定性會再次發(fā)生變化成為漸近穩(wěn)定的．

(a) I*(a)在E*處的分布 (b) I(t,a)的分布

(a) 周期解 (b) 相圖