李璞LI Pu；劉東LIU Dong

（①東莞濱海灣新區(qū)管理委員會(huì)，東莞 523861；②東莞理工學(xué)院生態(tài)環(huán)境與建筑工程學(xué)院，東莞 523808）

0 引言

隨著城市化的持續(xù)推進(jìn)，城市逐步向外蔓延，所面對(duì)的地形地貌越來(lái)越復(fù)雜多變，需要處理的巖土工程問(wèn)題也越來(lái)越多；同時(shí)，高層、超高層建筑越來(lái)越多，相應(yīng)的其基坑越來(lái)越深，土方工程量在工程項(xiàng)目的總體工程量中的占比也越來(lái)越大。土方工程量的計(jì)算就是求取天然地面與設(shè)計(jì)地面之間填方或挖方的體積。[1]而目前，就土方工程量的計(jì)算方法，主要有方格網(wǎng)法、等高線法、平均斷面法、DTM法等，面對(duì)不同的地形地貌，工程參與方若采用不同的計(jì)算方法，往往會(huì)得出不同的結(jié)果，其數(shù)值甚至相差較大，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)糾紛。為盡可能就土方工程量的計(jì)算定分止?fàn)?，需要從理論上?duì)各計(jì)算方法的精確性進(jìn)行探討，并探究各計(jì)算方法在實(shí)際操作層面的適用范圍。

1 計(jì)算理論的精確性

1.1 方格網(wǎng)法

方格網(wǎng)法分四方棱柱體法和三角棱柱體法。

1.1.1 四方棱柱體法

四方棱柱體法就是將施工區(qū)域劃分為若干個(gè)邊長(zhǎng)等于a 的方格網(wǎng)，每個(gè)方格網(wǎng)的土方體積V 等于底面積a2乘以四個(gè)角點(diǎn)高度的平均值。[2]如圖1、圖2 所示。

圖1 四方棱柱體法

圖2 全挖（或全填）

若方格四個(gè)角點(diǎn)部分是挖方、部分是填方時(shí)，則該公式的演繹形式為：

如圖3、圖4 所示。

圖3 半挖半填

圖4 三挖一填（或三填一挖）

用四方棱柱體法計(jì)算土方工程量，其本身從理論上就是一個(gè)近似計(jì)算公式，其精確計(jì)算的前提條件之一就是方格的四個(gè)角點(diǎn)在一個(gè)平面上。而在實(shí)際工程中，這一條件往往并不能滿足。因此，用四方棱柱體法計(jì)算土方工程量，其計(jì)算值和實(shí)際值之間往往存在較大誤差。當(dāng)?shù)匦纹鸱酱?，則誤差也越大。[3]

為了減少土方工程量計(jì)算的誤差，一般將整方格劃分成多個(gè)三角形，土方工程量的計(jì)算方法相應(yīng)地也由四方棱柱體法改成三角棱柱體法。

1.1.2 三角棱柱體法

三角棱柱體法就是將每一個(gè)方格順地形的等高線沿對(duì)角線劃分成兩個(gè)三角形，然后分別計(jì)算每一個(gè)三角棱柱體的土方工程量。[2]當(dāng)三角形為全挖或全填時(shí)：

如圖5 所示。

圖5 全挖或全填

當(dāng)三角形有挖有填時(shí)，則其零線將三角形分成兩部分，一個(gè)是底面為三角形的錐體，一個(gè)是底面為四邊形的楔體。[2]其土方工程量為：

如圖6 所示。

圖6 有填有挖

由于三點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此，上述三個(gè)用三角棱柱體法計(jì)算土方工程量的計(jì)算式就是精確計(jì)算公式，從理論上可以得到精確的土方工程量?，F(xiàn)試舉兩例說(shuō)明這一問(wèn)題。

例1：某土方方格四個(gè)角點(diǎn)的標(biāo)高如圖7 所示，其邊長(zhǎng)a 為20m，試計(jì)算其土方工程量。

圖7 土方方格四個(gè)角點(diǎn)的標(biāo)高

①用四方棱柱體法計(jì)算，其土方工程量為：V=202（9+15+6+12）/4=4200m3。

②連接角點(diǎn)A1和C1；連接角點(diǎn)A 和C，用三角棱柱體法計(jì)算，其土方工程量為：V=202[（9+15+6）+（6+12+9）]/6=3800m3。

③連接角點(diǎn)B1和D1；連接角點(diǎn)B 和D，用三角棱柱體法計(jì)算，其土方工程量為：V=202[（9+15+12）+（6+12+15）]/6=4600m3。

三個(gè)計(jì)算結(jié)果差異巨大，但都不是精確值。實(shí)際上，該方格的四個(gè)角點(diǎn)就不在同一個(gè)平面上，其土方工程量就沒(méi)有精確值。因?yàn)?，?duì)下底面為平面，而上底面不是平面的“四方棱柱體”，其體積的精確計(jì)算值就不一定是底面積乘以四條棱長(zhǎng)平均值的積。對(duì)該例，現(xiàn)證明如下：

以D1點(diǎn)為原點(diǎn)，D1A1方向?yàn)閄 軸、D1C1方向?yàn)閅 軸、D1D 方向?yàn)閆 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D、A、C 三點(diǎn)所確定的平面，其平面方程為6x+9y+20z-300=0。B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（20、20、12），將其代入該平面方程，顯然，B 點(diǎn)不在該平面上。因此，該方格的四個(gè)角點(diǎn)D、A、B、C 不共平面，八個(gè)頂點(diǎn)D、A、B、C、D1、A1、B1、C1所構(gòu)成的幾何體并不是一個(gè)四方棱柱體。如圖8 所示。

圖8 建立直角坐標(biāo)系

反之，若B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（20、20、0），即角點(diǎn)B 的標(biāo)高為0，則該方格的四個(gè)角點(diǎn)D、A、B、C 共平面，那么采用上述三種土方工程量計(jì)算方法所得到的結(jié)果則是一致的，且是精確值3000m3。

那么，是不是四個(gè)角點(diǎn)共平面，采用四方棱柱體法計(jì)算的土方工程量就是唯一精確值呢？筆者的結(jié)論是不一定?，F(xiàn)舉下例說(shuō)明該問(wèn)題。

例2：某場(chǎng)地如圖9 所示，試按挖、填方平衡的原則，分別計(jì)算挖方量和填方量。

圖9 場(chǎng)地各方格的角點(diǎn)標(biāo)高

①計(jì)算設(shè)計(jì)標(biāo)高。

各方格角點(diǎn)的施工高度如圖10 所示。

②繪出零線。

很顯然，零點(diǎn)A、B、C、D、E 為相應(yīng)方格邊線的中點(diǎn)，A、B、C、D、E 連線即為零線，且該零線為一條直線。挖方區(qū)和填方區(qū)構(gòu)成以C 點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形。因此，挖方量和填方量相等。如圖10 所示。

現(xiàn)設(shè)H11點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)標(biāo)高點(diǎn)編號(hào)為（H11）'，其余角點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)標(biāo)高點(diǎn)編號(hào)類推。以（H11）'點(diǎn)為原點(diǎn)，（H11）'（H31）'方向?yàn)閄 軸、（H11）'（H14）'方向?yàn)閅 軸、（H11）'（H11）方向?yàn)閆 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則H11點(diǎn)的坐標(biāo)為（0、0、1.25）；H31點(diǎn)的坐標(biāo)為（60、0、0.25）；H13點(diǎn)的坐標(biāo)為（0、60、0.25）。此三點(diǎn)所確定的平面，其平面方程為x+y+60z-75=0。如圖11 所示。

經(jīng)檢驗(yàn)，H21、H12、H22、A、B、C、D、E 點(diǎn)均在該平面上，即該場(chǎng)地挖方區(qū)的天然地面方格各角點(diǎn)在一個(gè)平面上?？梢宰C明，該場(chǎng)地天然地面的填方區(qū)方格各角點(diǎn)亦在該平面上，在此不予贅述。因此，將甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)方格的挖方量求和，即可求出總的挖方量。

③計(jì)算挖方量。

1）甲方格如圖12 所示。

采用三角棱柱體法計(jì)算：

連接角點(diǎn)H11和H22；連接角點(diǎn)（H11）'和（H22）'，則甲方格關(guān)于平面H11H22（H11）'（H22）'對(duì)稱，而被劃分成兩個(gè)挖方量相等的三角棱柱體。

或連接角點(diǎn)H21和H12；連接角點(diǎn)（H21）'和（H12）'，甲方格即被劃分成另兩個(gè)三角棱柱體。

采用四方棱柱體法計(jì)算：

兩種計(jì)算方法的結(jié)果一致。

2）乙、丙兩方格的底面積、五個(gè)角點(diǎn)標(biāo)高均一致。因此，該兩方格的挖方量相等?，F(xiàn)計(jì)算乙方格的挖方量。

采用三角棱柱體法計(jì)算：

連接A 點(diǎn)和H21、（H21）'點(diǎn)；連接B 點(diǎn)和H21、（H21）'點(diǎn)，則乙方格被劃分成三個(gè)三角棱柱體，如圖13 所示。三角棱柱體H21（H21）'H31（H31）'A 和H21（H21）'H22（H22）'B 的底面積、三個(gè)角點(diǎn)標(biāo)高均一致。因此，該兩三角棱柱體的挖方量相等。則該兩三角棱柱體的挖方量之和為：

圖13 乙方格（三角棱柱體法）

三角形H21AB 在設(shè)計(jì)地面的投影（H21）'AB 為等腰三角形。

三角棱柱體H21（H21）'AB 的挖方量為：

采用四方棱柱體法計(jì)算：

或僅連接B 點(diǎn)和H21、（H21）'點(diǎn)，則將乙方格劃分為一個(gè)三角棱柱體和一個(gè)四方棱柱體，如圖14 所示。

圖14 乙方格（四方棱柱體法）

兩種方法計(jì)算的結(jié)果不一致。很顯然，兩種方法，必有一種不精確或兩種都不精確。

3）丁、戊方格土方工程量計(jì)算。

丁、戊兩方格的底面積、三個(gè)角點(diǎn)標(biāo)高均一致。因此，該兩方格的挖方量相等?，F(xiàn)計(jì)算丁方格的挖方量。

因此，該場(chǎng)地挖方量根據(jù)不同的計(jì)算方法有三種不同的結(jié)果。

采用四方棱柱體法計(jì)算：

采用三角棱柱體法計(jì)算：

④現(xiàn)延長(zhǎng)EA，與X 軸相交與點(diǎn)G，可以證明H11H31的延長(zhǎng)線與X 軸也相交于點(diǎn)G，且點(diǎn)G 的坐標(biāo)為（75、0、0），如圖11 所示。

由于天然地面各方格的角點(diǎn)和A、B、C、D、E 共平面，因此，該場(chǎng)地挖方量也等于大三棱錐H11（H11）'GE 的體積減去小三棱錐H31（H31）'AG 的體積。這是一個(gè)精確值。則：

該計(jì)算結(jié)果與采用三角棱柱體法計(jì)算的結(jié)果一致。因此，上述采用四方棱柱體法計(jì)算挖方量是不精確的。究其原因在于，分別采用四方棱柱體法和采用三角棱柱體法計(jì)算的乙或丙方格的挖方量存在誤差。

乙或丙方格，其五個(gè)角點(diǎn)雖共平面，但分別采用三角棱柱體法和四方棱柱體法計(jì)算的挖方量結(jié)果仍差異巨大。由此得出結(jié)論：關(guān)于土方工程量的計(jì)量，采用三角棱柱體法可以得出精確值，而采用四方棱柱體法則不一定能得出精確值，即使天然地面方格的各角點(diǎn)共平面。

由于任何n 棱錐（底為n 邊形）都可以劃分為（n-2）個(gè)三棱錐，因此，根據(jù)祖暅原理，n 棱錐的體積和三棱錐的體積計(jì)算公式是一樣的，即V=1/3SH（S 為底面積、H 為高）。而任何一個(gè)四方棱柱體都可以劃分為多個(gè)三角棱柱體或三棱錐體，因此，任意方格的土方工程量理論上都可以運(yùn)用三角棱柱體法求得其精確值。

1.2 等高線法

等高線法計(jì)算土方工程量就是利用地形圖中的等高線計(jì)算測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的土方體積。現(xiàn)行運(yùn)用等高線法計(jì)算土方工程量的理論如下。

將兩等高線之間所夾體積看成為臺(tái)體體積，則第i 分層的體積為：

式中Si、Si+1分別為第i 分層的下底面積和上底面積；H 為等高距，其值在地形圖上可以直接取得。[4]

然后將各分層的土方工程量相加求和即可。

上述計(jì)算公式只是一個(gè)近似計(jì)算公式，要利用等高線法計(jì)算土方工程量的精確值，就必須使用計(jì)算臺(tái)體體積的精確計(jì)算公式。

而對(duì)同屬于臺(tái)體的棱臺(tái)或圓臺(tái)，設(shè)下底面積為S1，上底面積為S2，中截面面積為S0，H 為臺(tái)體的高，則臺(tái)體的體積為：

因此，應(yīng)將上述土方工程量計(jì)算公式修正為：

1.3 平均斷面法

如圖15 所示，設(shè)基坑、基槽、管溝、路堤土體兩端的橫斷面面積為F1、F2，L 為土體的長(zhǎng)度，土體中截面面積為F0，則土方工程量為：[2]

圖15 平均斷面法

該公式只是一個(gè)近似計(jì)算公式，完全精確的計(jì)算公式則為：

對(duì)于形狀簡(jiǎn)單、規(guī)則且形狀漸變的臺(tái)體或基坑、基槽、管溝、路堤土體，中截面面積并不一定等于上下底面積或兩端橫截面積的平均值。因此，公式（8）、式（12）只能是近似計(jì)算公式。而運(yùn)用等高線法或平均斷面法計(jì)算土方工程量，本質(zhì)上是一樣的，都是計(jì)算臺(tái)體的體積。因?yàn)?，基坑、基槽、管溝、路堤可以看作推倒平放的臺(tái)體。因此，等高線法和平均斷面法的兩個(gè)精確計(jì)算公式是等效的。

1.4 DTM 法

數(shù)字地面模型DTM（Digital Terrain Models）是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和模擬技術(shù)，利用野外實(shí)測(cè)的地形特征數(shù)據(jù)建立與實(shí)地相似的數(shù)字化地面模型，是地表特征空間分布的數(shù)值的離散表現(xiàn)，是地形表面形態(tài)屬性等多種信息的數(shù)字表示。地形表面形態(tài)屬性信息一般包括高程、坡度、坡向等。[5]

DTM 法計(jì)算土方工程量就是利用實(shí)際測(cè)量的地形碎部點(diǎn)數(shù)據(jù)，按照一定的構(gòu)網(wǎng)規(guī)則來(lái)形成空間三角網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型。在建立好的不規(guī)則三角網(wǎng)TIN（Triangulated Irregular Network）中，其每一個(gè)基本單元的核心是組成不規(guī)則三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的三維坐標(biāo)。[6]在天然地面的三角網(wǎng)中，從每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)豎直向下引出三條直線，直到與設(shè)計(jì)地面的三角網(wǎng)相交，這樣便形成許多的三角棱柱體，這時(shí)整個(gè)待計(jì)算區(qū)域的土方工程量便是所有這些連續(xù)但不可微分的三角棱柱體的體積之和。如圖16 所示。其中，三角棱柱體的上表面三角形ABC，即天然地面，用斜平面擬合；三角棱柱體的下表面三角形DEF 即設(shè)計(jì)地面，一般為規(guī)則或漸變的簡(jiǎn)單幾何面的組合；三角形A1B1C1為三角棱柱體上、下表面在水平面上的投影。則該三角棱柱體的體積V＝S△A1B1C1（HAD+HBE+HCF）/3。[7]而S△A1B1C1為三角形A1B1C1的面積，HAD、HBE、HCF分別為AD、BE、CF 的高度。

DTM 法計(jì)算土方工程量，其理論基礎(chǔ)是運(yùn)用公式求三角棱柱體的體積。因此，該方法理論上是可以求得其精確值的。

實(shí)際上，上述各種理論上的土方工程量精確計(jì)算公式都是基于土體為能用幾何語(yǔ)言進(jìn)行清晰、準(zhǔn)確描述的形狀簡(jiǎn)單、規(guī)則且形狀漸變的情形，但在土方工程量計(jì)算的實(shí)際操作層面，土體的實(shí)際情況遠(yuǎn)不符該理想、標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，且不同計(jì)算方法對(duì)精確性的影響更有所不同。

2 實(shí)際操作層面不同計(jì)算方法的精確性

2.1 方格網(wǎng)法

該方法的一個(gè)潛在假設(shè)就是方格兩頂點(diǎn)之間的坡度是均勻的，但實(shí)際情況往往并非如此。所以本方法一般適用于地形起伏不大、地面坡度有規(guī)律、范圍比較大的場(chǎng)地平整時(shí)使用。

當(dāng)?shù)匦螆D的比例尺越大、方格網(wǎng)邊長(zhǎng)越小、地形越平坦時(shí)，用該方法計(jì)算越精確，反之亦然。

2.2 等高線法

該方法一般適用于地形起伏較大、坡度變化較多的山坡地的土方工程量計(jì)算。但前提條件是等高線必須閉合，否則無(wú)法計(jì)算。

2.3 平均斷面法

平均斷面法一般適用于基坑、基槽、管溝、路堤等狹長(zhǎng)土體的土方工程量計(jì)算。在實(shí)際操作層面，運(yùn)用平均斷面法計(jì)算土方工程量，其誤差主要來(lái)源于橫斷面的不規(guī)則和地形的起伏?？s小誤差的相應(yīng)措施就是縮短相鄰橫斷面的距離和在地形起伏的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處增加橫斷面。

2.4 DTM 法

DTM 法在構(gòu)建的三角網(wǎng)中，直接把天然地面原始高程點(diǎn)當(dāng)成格網(wǎng)的結(jié)點(diǎn)，能較好地與地形特征點(diǎn)、線相協(xié)調(diào)，逼真地表示復(fù)雜地形的起伏特征，能更好地適應(yīng)復(fù)雜多變、不規(guī)則地形；同時(shí)用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)字化地面模型以提高計(jì)算速度。但其最終計(jì)算的精確性取決于TIN 模型的精確性，即對(duì)地形特征點(diǎn)、地形變換點(diǎn)數(shù)據(jù)采集的精確性、密度等。地形實(shí)際采樣數(shù)據(jù)越密集，越能充分呈現(xiàn)出實(shí)際地形的細(xì)微變化，越能使土方工程量的計(jì)算值接近于實(shí)際真實(shí)值。其誤差則來(lái)源于對(duì)這些地形實(shí)際原始數(shù)據(jù)采集、處理的方法和過(guò)程。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，基于TIN 模型的土方工程量計(jì)算發(fā)展前景廣闊。譬如，李華蓉基于TIN 模型，引入三角形微分思想，將三角形按照一定規(guī)則進(jìn)行分割，通過(guò)計(jì)算微分三棱柱體積，進(jìn)行土方工程量的計(jì)算，進(jìn)一步提高了其精確性；[8]金權(quán)基于TIN 模型，發(fā)展出一種改進(jìn)的約束不規(guī)則三角構(gòu)建算法，將場(chǎng)平工程區(qū)域邊界作為約束，插入初始三角網(wǎng)，生成高精度的計(jì)算約束不規(guī)則三角模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)土方工程量的精確計(jì)算[9]等。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，由于天然地面的地形地貌千變?nèi)f化，而設(shè)計(jì)地面可能是曲面、水平面、斜面或多種幾何面的組合，將不規(guī)則地形地貌用規(guī)則幾何形體進(jìn)行計(jì)算模擬，其勢(shì)必產(chǎn)生誤差。所以，要完全精確地計(jì)算出土方工程量是不可能的。而較精確的土方工程量計(jì)算，對(duì)優(yōu)選施工方案、正確選擇工程施工機(jī)械、做好工程預(yù)結(jié)算和減少工程參與方之間的經(jīng)濟(jì)糾紛等都具有重要的實(shí)際意義。[1]無(wú)論從理論上，還是在實(shí)際操作層面，相較于其它幾種方法，基于三角棱柱體體積計(jì)算方法的DTM 法，其精確性相對(duì)更高、適用范圍更廣。因此，在土方工程量計(jì)算中，應(yīng)盡可能采用DTM 法。