陸龍福

（黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，湖北 黃岡 438002）

CAD 軟件廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)的工業(yè)設(shè)計(jì)尤其是機(jī)械產(chǎn)品的模型設(shè)計(jì)中，任何三維模型設(shè)計(jì)都離不開曲線圖形設(shè)計(jì)。目前，有關(guān)CAD 數(shù)學(xué)曲線方程的介紹和研究比較多，但僅僅局限于給定現(xiàn)有的公式和參數(shù)，沒有更好地把數(shù)學(xué)方程和CAD 軟件曲線方程加以關(guān)聯(lián)研究，當(dāng)需要建立類似正弦/余弦曲線、齒輪曲線、雙曲線、拋物線等呈現(xiàn)規(guī)律的曲線模型時(shí)，往往苦于對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)方程在UG NX（Unigraphics NX）應(yīng)用中研究不夠，顯得力不從心，很難快速設(shè)計(jì)出隨心所欲的曲線模型。通過深度剖析數(shù)學(xué)方程和UG NX基本曲線方程函數(shù)含義[1]，找出參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，研究出所需的規(guī)律曲線模型設(shè)計(jì)，是每位CAD 模型設(shè)計(jì)師的共同追求。

1 基本曲線方程在UG NX 中的定義

1.1 變量值的定義

在UG NX 中常用字母t 定義為變量值，其變化范圍為0～1 之間。也可以用其他字母定義為變量值[2]。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)模型文件有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的方程時(shí)，定義的變量值不能使用同一字母，例如一個(gè)模型文件里需要同時(shí)建立正弦曲線和拋物線，如果正弦曲線變量值定義為t，那么拋物線變量值只能定義為其它的u/v 等字母。

變量值的定義方法為：執(zhí)行UG NX 中的“工具”→“表達(dá)式”，在彈出如圖1 所示的表達(dá)式對(duì)話框中，“名稱”輸入t，轉(zhuǎn)公式輸入1→“應(yīng)用/確定”，變量值即定義完成。

圖1 表達(dá)式定義對(duì)話框

1.2 極坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

一般地，x 變量→定義余弦函數(shù)或其它變量值；y 變量→定義正弦函數(shù)或其它變量值；z 變量→定于常數(shù)或其它函數(shù)，即：x=A*cos(w*θ*t+a)，y=A*sin(w*θ*t+a)，z=0。式中，A--幅值/半徑值，w--角頻（個(gè)數(shù)），θ--角度（0°≤θ≤360°），a--初相位角。

（2）球坐標(biāo)系(r,θ,φ)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

x=A*sin(θ)*cos(φ)，y=A*sin(θ)sin(φ)，z=A*cos(θ)，式中，A--幅值/半徑值，θ--角度（0°≤θ≤360°），φ--角度（0°≤φ≤360°）。

2 基本曲線方程轉(zhuǎn)換

2.1 直線

數(shù)學(xué)方程：y-y0=tan(θ)*(x-x0)

如生成的直線通過點(diǎn)（10,20），長(zhǎng)度L 為50mm，角度θ為60°，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=1，xt=10+50*t *cos(60)，yt=20+50*t *sin(60)，zt=0（曲線位于X、Y 平面）。

通過UG NX 中的“工具”→“表達(dá)式”，在彈出表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入直線表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”。

執(zhí)行UG NX 中的“曲線工具”→“規(guī)律曲線”，在彈出如圖2 所示的規(guī)律曲線對(duì)話框中，“X 規(guī)律”、“Y 規(guī)律”、“Z 規(guī)律”中的規(guī)律類型均選“根據(jù)方程”→“確定”生成曲線如圖3 所示。

圖2 規(guī)律曲線對(duì)話框

圖3 曲線方程（直線）

2.2 圓、圓弧

數(shù)學(xué)方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r2。

如生成圓、圓弧的圓心通過點(diǎn)（20,30），半徑r為60mm，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=1；xt=20+60*cos(360*t)；yt=30+60*sin(360*t)；zt=0（曲線位于X、Y 平面）。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入圓表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的“曲線工具”→“規(guī)律曲線”，在彈出如圖2 所示的規(guī)律曲線對(duì)話框中，“X規(guī)律”、“Y 規(guī)律”、“Z 規(guī)律”中的規(guī)律類型均選“根據(jù)方程”→“確定”生成曲線如圖4 所示。

圖4 曲線方程（圓）

規(guī)律研究：（1）曲線坐標(biāo)點(diǎn)的位置通過對(duì)應(yīng)點(diǎn)方程（x,y）+的形式建立；（2）變量t 與直線長(zhǎng)度、圓弧弧長(zhǎng)建立變量關(guān)系；（3）若方程角度改為180*t，則生成如圖5 所示的半圓曲線；（4）若yt 與xt 半徑r 不一致，則生成如圖6 所示的橢圓曲線。

圖5 曲線方程（圓?。?/p>

圖6 曲線方程（橢圓）

2.3 正弦曲線

數(shù)學(xué)方程：y=Asin(ωx+φ)+k。

如生成正弦曲線振幅為5mm，一個(gè)正弦周期值為20，起點(diǎn)為（0,0），則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=1；xt=20*t；yt=5*sin(360*t)；zt=0（曲線位于X、Y 平面）。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入正弦表達(dá)式方程參數(shù)[3]→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的“曲線工具”→“規(guī)律曲線”，在彈出如圖2 所示的規(guī)律曲線對(duì)話框中，“X”規(guī)律、“Y”規(guī)律、“Z”規(guī)律中的規(guī)律類型均選“根據(jù)方程”→“確定”生成曲線如圖7 所示，如把方程yt=5*sin(360*t)改為：yt=5*cos(360*t),則生成如圖8 所示余弦曲線。

圖7 曲線方程（正弦）

規(guī)律研究：在一個(gè)已知的圓曲線方程中，如果希望得到與通過圓平面垂直方向呈現(xiàn)正弦（或余弦）變化，這可以通過方程zt=A*sin(w*θ*t)即可實(shí)現(xiàn)，如果希望得到圓的半徑方向呈現(xiàn)正弦（或余弦）變化，這可以通過方程r=A*sin(w*θ*t)即可實(shí)現(xiàn)[4]。

（1）如生成圓圓心通過點(diǎn)（0,0），半徑r 為40mm，在Zt 方向振幅為5mm，振頻個(gè)數(shù)12 的正弦曲線，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為[5]：t=1；xt=40*cos(360*t)；yt=40*sin(360*t)；zt=5*sin(12 *360*t)。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖9 所示。

圖9 圓、Z 向正弦曲線組）

（2）如生成圓圓心通過點(diǎn)（0,0），半徑r 為30mm，在半徑方向振幅為2mm，振頻個(gè)數(shù)24 的正弦曲線，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=1；r=30+2*sin(24*360*t)；xt=r*cos(360*t)；yt=r*sin(360*t)；zt=0。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖10 所示。

圖10 圓、徑向正弦曲線組合

（3）圓柱螺旋曲線表達(dá)式規(guī)律

圓柱形螺旋線，其螺距p=6，圈數(shù)n=10，半徑r=30，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=0；xt=30*cos(360*t*10)；yt=30*sin(360*t*10)；zt=6*10*t。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖11 所示。

圖11 曲線方程（螺旋線）

2.4 拋物線

數(shù)學(xué)方程：

若拋物線焦距p=6,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（15,25），拋物線開口y 值范圍為-20～+20，則UG NX 曲線表達(dá)式方程應(yīng)為：t=1；p=6(系數(shù)變量)；xt=15+(yt-25)2/(2*p)；yt=25+40*t-20；zt=0

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入拋物線表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖12 所示。

圖12 曲線方程（拋物線）

2.5 齒輪展開線

（1）齒輪基本參數(shù)：模數(shù):m，齒數(shù):z，齒頂圓直徑:da=m*(z+2)，分度圓直徑:d=m*z，齒根圓直徑:df=m*(z-2.5)，壓力角: a=20，基圓直徑:db=d*cos(a)。

（2）齒輪推算公式：齒頂高:ha=m，齒根高h(yuǎn)f=1.25*m，齒槽寬=齒厚=齒距/2=m*π/2。

（3）數(shù)學(xué)方程：r=db/2；k=t*45（展開角度）；x=r*cos(k)+r*sin(k)* k*pi/180；y=r*sin(k)-r*cos(k)* k*pi/180。

若齒輪模數(shù)為4，齒數(shù)30，壓力角20°，則UG NX齒輪展開線曲線方程[6]應(yīng)為：t=0；m=4；z=30；a=20；k=45*t；da=m*(z+2)；d=m*z；df=m*(z-2.5)；db=d*cos(a)；r=db/2；xt=r*cos(k)+r* rad(k)*sin(k)；yt=r*sin(k)- r* rad(k)*cos(k)；zt=0。

在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入齒輪展開線表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，分別繪制齒頂圓、分度圓、基圓、齒根圓、以及漸開線鏡像中心線，生成曲線如圖13（a）所示，過齒輪展開線端點(diǎn)繪制相切直線，中心線分別鏡像漸開線及相切線，得到齒廓線如圖13（b）所示。

圖13 曲線方程（齒輪展開線）

3 曲線方程三維建模應(yīng)用案例

3.1 案例1：圓柱齒輪建模

已知一圓柱齒輪，齒輪模數(shù)為6，齒數(shù)32，壓力角20°，齒厚為30mm，其UG NX 三維建模過程為[6]：

（1）打開記事本，建立如下表達(dá)式，保存為：齒輪展開線表達(dá)式.exp 文件：t=0；m=6；z=32；a=20；k=45*t；da=m*(z+2)；d=m*z；df=m*(z-2.5)；db=d*cos(a)；r=db/2；xt=r*cos(k)+r* rad(k)*sin(k)；yt=r*sin(k)- r* rad(k)*cos(k)；zt=0。

（2）執(zhí)行UG NX 的“表達(dá)式”命令→在表達(dá)式對(duì)話框中，導(dǎo)入文件“齒輪展開線表達(dá)式.exp”齒輪展開線表達(dá)式方程參數(shù)導(dǎo)入結(jié)果如圖14 所示→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，分別繪制齒頂圓、分度圓、基圓、齒根圓、以及漸開線鏡像中心線，創(chuàng)建齒輪廓曲線，創(chuàng)建過程如圖13 所示。

圖14 表達(dá)式導(dǎo)入對(duì)話框

（3）執(zhí)行UG NX 的“拉伸”命令，在彈出如圖15 所示的拉伸對(duì)話框中，分別選擇齒根圓、齒頂?shù)烬X根的齒廓線進(jìn)行對(duì)稱拉伸，拉伸值設(shè)置15→“確定”，對(duì)齒根進(jìn)行倒圓角，結(jié)果如圖16（a）所示。

圖15 拉伸對(duì)話框圖

圖16 齒輪建模圖

（4）執(zhí)行UG NX 的“陣列特征”命令，對(duì)拉伸對(duì)的齒廓曲線模型、倒圓角進(jìn)行環(huán)形陣列，設(shè)置陣列數(shù)量32，陣列總角度360 →“確定”，結(jié)果如圖16(b)所示。

3.2 案例2：波紋果盤建模

已知一異形波紋果盤，端部開口為34 個(gè)凹凸相間波紋狀正六邊形，邊長(zhǎng)58mm，高27mm，底部為橢圓形，長(zhǎng)半軸36mm，短半軸28mm，其UG NX 三維建模過程為：

（1）建立凹凸相間波紋表達(dá)式：t=0；r=32+2*sin(34*360*t)；xt=r*cos(360*t)；yt=r*sin(360*t)；zt=0

（2）在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖17 所示的波紋曲線[5]。

圖17 波紋曲線圖

（3）新建草圖1，在草圖環(huán)境中分別繪制如圖18 所示的圓、橢圓、正六邊形以及變化掃掠輔助圓等截面曲線。

圖18 變化掃掠截面曲線

（4）新建草圖2，在草圖環(huán)境中分別繪制如圖19 所示的交點(diǎn)及“變化掃描”驅(qū)動(dòng)曲線。

圖19 變化掃掠驅(qū)動(dòng)曲線

（5）執(zhí)行UG NX 中的 “變化掃描”命令，彈出如圖20 所示“變化掃掠”對(duì)話框，選擇圖19 創(chuàng)建驅(qū)動(dòng)線，執(zhí)行片體“加厚”指令，彈出如圖21 所示的“加厚”對(duì)話框，生成波紋果盤模型，如圖22 所示。

圖20 變化掃掠對(duì)話框

圖21 加厚對(duì)話框

圖22 波紋果盤

3.3 案例3：雞蛋托盤建模

（1）建立余弦曲線表達(dá)式：t=1；xt=10*t；yt=4*cos(8*360*t)；zt=0。

（2）在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)→“確定”，執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖23 所示的余弦曲線，對(duì)曲線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、陣列得到如圖24 所示網(wǎng)格余弦曲線。

圖23 余弦曲線

圖24 網(wǎng)格余弦曲線

（3）執(zhí)行UG NX 中的 “通過網(wǎng)格曲線”命令，彈出如圖25 所示“網(wǎng)格曲線”對(duì)話框，分別選擇圖24 所示一組對(duì)應(yīng)邊網(wǎng)格余弦曲線為“主線”，另一組對(duì)應(yīng)邊為“交叉線”→“確定”，雞蛋托盤模型，如圖26 所示。

圖25 網(wǎng)格曲線對(duì)話框

圖26 雞蛋托盤模型

3.4 案例4：編織面建模

（1）第1 條水平方向曲面

①建立正弦曲線表達(dá)式：t=1：xt=4*8*4*t。

式中，第一個(gè)數(shù)值“4”指4 個(gè)周期，8*4*t 指一個(gè)周期內(nèi)x 方向的長(zhǎng)度。yt=0；zt=1.3*sin(4*360*t)。

②第2 條水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt1=8；zt1=1.3*sin(4*360*t-90)。

③第3 條水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt2=16；zt2=1.3*sin(4*360*t-180)。

④第4 條水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt3=24；zt3=1.3*sin(4*360*t-270)。

（2）在表達(dá)式對(duì)話框中，依次鍵入表達(dá)式方程參數(shù)(xt 方程只鍵入一次)→“確定”，分別執(zhí)行UG NX中的 “規(guī)律曲線”命令，生成曲線如圖27 所示的正弦弦曲線，分別對(duì)曲線進(jìn)行拉伸→得到如圖28 所示的水平編織曲面。

圖27 正弦曲線1

圖28 編織曲面1

（3）執(zhí)行UG NX 中的 “陣列幾何特征”命令，在彈出如圖29 所示對(duì)話框中，分別選取圖28 所示拉伸的四條曲面，“布局”類型→“線性”，“方向”→Y,“數(shù)量”→4，“間隔”→32，“輸出”→復(fù)制特征，“確定”→結(jié)果如圖30（a）所示。

圖29 陣列幾何特征

圖30 陣列編織曲面

（4）按照下列步驟，分別執(zhí)行UG NX 中的 “規(guī)律曲線”命令。

①第1 條數(shù)值方向曲面：規(guī)律曲線中，x 規(guī)律輸入yt，y 規(guī)律輸入xt，z 規(guī)律輸入zt1；②第2 條數(shù)值方向曲面：規(guī)律曲線中，x 規(guī)律輸入yt1，y 規(guī)律輸入xt，z 規(guī)律輸入zt2；③第3 條數(shù)值方向曲面：規(guī)律曲線中，x 規(guī)律輸入yt2，y 規(guī)律輸入xt，z 規(guī)律輸入zt3；④第4 條數(shù)值方向曲面：規(guī)律曲線中，x 規(guī)律輸入yt3，y 規(guī)律輸入xt，z 規(guī)律輸入zt1。

生成曲線如圖31 所示的正弦弦曲線，分別對(duì)曲線進(jìn)行拉伸→得到如圖32 所示的豎直平編織曲面，執(zhí)行UG NX 中的 “陣列幾何特征”命令，參照步驟（3）→結(jié)果如圖30（b）所示。

圖31 正弦曲線2

圖32 編織曲面2

4 小結(jié)

通過UG NX 建立數(shù)學(xué)方程表達(dá)式，可以快速創(chuàng)建各種規(guī)律曲線形狀，當(dāng)需要修改設(shè)計(jì)模型時(shí)，可方便地通過修改數(shù)學(xué)方程表達(dá)式的相關(guān)參數(shù)、改變其曲線形狀或規(guī)律，重新調(diào)用曲線即可得到想要的設(shè)計(jì)模型。建立的數(shù)學(xué)方程表達(dá)式模型不僅呈現(xiàn)規(guī)律變化，而且為數(shù)值精確的參數(shù)化模型設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)支撐保障。參數(shù)化方程建模是包括UG NX 在內(nèi)的所有三維軟件最重要的內(nèi)容，通過全方位研究UG NX 數(shù)學(xué)方程曲線規(guī)律及造型案例，為UG NX 設(shè)計(jì)者提供了較完整的理論依據(jù)和技術(shù)保障。