夏繼平

摘? 要：“兩角和與差的余弦公式”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，主要表現(xiàn)在公式引入、公式推導(dǎo)兩方面。在公式引入方面，從數(shù)學(xué)史的角度看，可通過求任意角的三角函數(shù)值；從高觀點(diǎn)的角度看，可通過基本初等函數(shù)研究的一致性，即給出定義之后都要研究運(yùn)算性質(zhì)。在公式推導(dǎo)方面，可以引導(dǎo)學(xué)生：先探究基于銳角三角函數(shù)定義的平面幾何方法，再推廣到一般，探究基于任意角三角函數(shù)定義的解析幾何方法，最后基于解析幾何方法的構(gòu)圖，發(fā)散聯(lián)想到向量方法，并注意其嚴(yán)謹(jǐn)性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；兩角和與差的三角函數(shù)；公式引入；公式推導(dǎo)

“兩角和與差的余弦公式”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第10章《三角恒等變換》第1節(jié)“兩角和與差的三角函數(shù)”第1小節(jié)的內(nèi)容。在聽課過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，“一個(gè)定理（公式），幾項(xiàng)注意，大量練習(xí)”這樣不重視知識(shí)理解、只關(guān)注解題訓(xùn)練（知識(shí)應(yīng)用）的舍本逐末的“短平快”現(xiàn)象十分突出。這部分內(nèi)容確實(shí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，主要表現(xiàn)在公式引入、公式推導(dǎo)兩方面。本文試對(duì)其做一些分析，并尋找突破的方法。

一、公式引入的難點(diǎn)突破：依據(jù)數(shù)學(xué)史或高觀點(diǎn)，讓學(xué)習(xí)有必要

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材在“任意角的三角函數(shù)概念（包括同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式）、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”內(nèi)容（必修第一冊(cè)第7章）之后安排了“函數(shù)的應(yīng)用”內(nèi)容（必修第一冊(cè)第8章）和“平面向量”內(nèi)容（必修第二冊(cè)第9章），才安排“三角恒等變換”內(nèi)容。所以，教材先由周期運(yùn)動(dòng)疊加的三角函數(shù)刻畫，引出sinx+cosx的計(jì)算（變形）問題；再由向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得到sinx+cosx=2cosx-π4，引出更一般的問題：cos（α-β）能否用α的三角函數(shù)和β的三角函數(shù)來表示？這樣做，承接了面前的“平面向量”內(nèi)容，也體現(xiàn)了平面向量的工具作用。但是，從三角函數(shù)研究的角度看，不夠簡(jiǎn)單自然：由三角函數(shù)概念想到周期運(yùn)動(dòng)的疊加繞得比較遠(yuǎn)，而sinx+cosx的計(jì)算（變形）其實(shí)是cos（α-β）計(jì)算（變形）的逆問題。而且，這樣引入沒有解決“為什么先研究?jī)山遣畹挠嘞?，而不先研究?jī)山呛偷挠嘞?、兩角差的正弦或兩角和的正弦”的問題。

翻閱人教A版高中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)其將“三角恒等變換”內(nèi)容放在《三角函數(shù)》一章（必修第一冊(cè)第五章）中，緊跟在“任意角的三角函數(shù)概念（包括同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式）、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”內(nèi)容后。因此，教材從誘導(dǎo)公式出發(fā)，將其中的特殊角kπ2（k∈Z）一般化，引出兩角和與差的三角函數(shù)計(jì)算（變形）問題，然后讓學(xué)生先探究?jī)山遣畹挠嘞夜剑儆盟茖?dǎo)其他公式。這樣引入要簡(jiǎn)單自然一些，但是仍然沒有解決“為什么先研究?jī)山遣畹挠嘞摇钡膯栴}。

對(duì)于兩角和與差的三角函數(shù)的引入，我們可以從數(shù)學(xué)史和高觀點(diǎn)（現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“抽象結(jié)構(gòu)”方法與體系）兩個(gè)角度尋找必要性——知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的邏輯與動(dòng)力。

從數(shù)學(xué)史的角度看，三角學(xué)起源于天文學(xué)中的測(cè)量問題，而解決天文學(xué)中的測(cè)量問題需要求任意角的三角函數(shù)值。古希臘天文學(xué)家托勒密（C.Ptolemy，約100—170）在制作弦表（即求任意角的三角函數(shù)值）時(shí)，利用了相當(dāng)于今天的兩角和與差的正弦、余弦公式的結(jié)果，從而根據(jù)已知角的正弦、余弦值來求未知角的正弦、余弦值。［1］因此，兩角和與差的三角函數(shù)可以通過求任意角（非特殊角）的三角函數(shù)值自然引入。

從高觀點(diǎn)的角度看，數(shù)學(xué)中的很多概念（如數(shù)、式、向量、集合）都是運(yùn)算對(duì)象——或者直接是運(yùn)算對(duì)象，或者作為運(yùn)算的結(jié)果是進(jìn)一步運(yùn)算的對(duì)象。對(duì)任何運(yùn)算對(duì)象，給出它的定義之后，都要研究它的運(yùn)算性質(zhì)（運(yùn)算法則或運(yùn)算律）。這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)思想?；境醯群瘮?shù)都是由解析式表達(dá)的，作為運(yùn)算的結(jié)果是進(jìn)一步運(yùn)算的對(duì)象，給出定義之后都要研究運(yùn)算性質(zhì)。比如，對(duì)冪函數(shù)f（x）=xα，由冪（指數(shù)）的運(yùn)算性質(zhì)可知（xy）α=xαyα、xyα=xαyα，即f（xy）=f（x）·f（y）、fxy=f（x）f（y）——可見，冪函數(shù)有“保持乘除運(yùn)算不變”的功能（實(shí)際上，作為特殊冪函數(shù)四則運(yùn)算結(jié)果的正比例函數(shù)還有“保持加減運(yùn)算不變”的功能）。對(duì)指數(shù)函數(shù)g（x）=ax，由冪（指數(shù)）的運(yùn)算性質(zhì)可知ax+y=axay、ax-y=axay，即g（x+y）=g（x）g（y）、g（x-y）=f（x）f（y）——可見，指數(shù)函數(shù)有“變加減為乘除”的功能。對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)h（x）=logax，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知loga（MN）=logaM+logaN、logaMN=logaM-logaN，即h（xy）=h（x）+h（y）、hxy=h（x）-h（y）——可見，對(duì)數(shù)函數(shù)有“化乘除為加減”的功能。自然地，對(duì)三角函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=tanx，也應(yīng)該研究相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)，即自變量加減乘除對(duì)函數(shù)值的影響（或者說自變量加減乘除與函數(shù)值加減乘除的關(guān)系）。當(dāng)然，受到不同運(yùn)算（解析式）本身意義（規(guī)則）的影響，有的函數(shù)只研究自變量的加減，有的函數(shù)只研究自變量的乘除。因此，考查三角函數(shù)的意義——有很明確的幾何意義，很容易發(fā)現(xiàn)：只需要研究自變量的加減。由此，便可引入兩角和與差的三角函數(shù)的研究。其實(shí)，這種引入方式也體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》設(shè)置的“函數(shù)”主題（包括“三角函數(shù)”內(nèi)容）下各種函數(shù)研究的一致性。

這里，需要指出的是，以上兩種引入方式都沒有說明應(yīng)該先研究哪一種兩角和或差的三角函數(shù)（這時(shí)，最自然的其實(shí)是先研究?jī)山呛偷恼液瘮?shù)）。對(duì)此，不應(yīng)該強(qiáng)行規(guī)定，而應(yīng)該讓學(xué)生自主探究：推導(dǎo)（獲得）兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，可以讓學(xué)生先分析公式之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只要獲得一個(gè)“弦”的公式，就可能由它推出其他“弦”和“切”的公式，再嘗試尋找最容易推出的“弦”的公式。

此外，值得一提的是，在高等數(shù)學(xué)中，相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)正是基本初等函數(shù)的公理化（形式化）定義。比如冪函數(shù)的嚴(yán)格（抽象）定義：如果函數(shù)f（x）滿足對(duì)定義域內(nèi)任意的α、β，都有f（αβ）=f（α）f（β），那么就稱f（x）是冪函數(shù)。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的嚴(yán)格（抽象）定義也是基于兩角和或差的正弦或余弦公式的。［2］

二、公式推導(dǎo)的難點(diǎn)突破：從平面幾何方法到向量方法，讓學(xué)生想得到

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材把α-β看成單位向量（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）的夾角，由向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，推出兩角差的余弦公式。這一方法同樣承接了前面的“平面向量”內(nèi)容，也體現(xiàn)了平面向量的工具作用，并且非常簡(jiǎn)潔。但是，從三角函數(shù)研究的角度看，同樣不夠直接自然：雖然向量數(shù)量積的定義中有夾角的余弦，但是，求兩角和或差的正弦或余弦時(shí)，怎么能一下子想到向量的數(shù)量積？特別是，向量數(shù)量積的定義中，只有余弦，沒有正弦。此外，這一方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，還要討論α-β不在［0，π］范圍內(nèi)的情況。

翻閱人教A版高中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)其利用單位圓上的點(diǎn)（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）之間的距離與（cos（α-β），sin（α-β））和（1，0）之間的距離相等，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離的坐標(biāo)公式，推出兩角差的余弦公式。這一方法是根據(jù)教材整體編排，在學(xué)生沒學(xué)過向量的情況下給出的方法——也是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材補(bǔ)充的方法。這一方法同樣存在不夠直接自然的問題：由高中學(xué)習(xí)的任意角的三角函數(shù)的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)定義想到單位圓上的點(diǎn)不難，聯(lián)系到點(diǎn)（1，0）發(fā)現(xiàn)兩條線段相等則有些難度——需要教師引導(dǎo)。此外，如何發(fā)現(xiàn)由兩點(diǎn)之間距離的坐標(biāo)公式建立等量關(guān)系后化簡(jiǎn)可得兩角差的余弦公式也是一個(gè)問題——畢竟沒有直接求解cos（α-β）。

對(duì)于兩角和與差的正弦與余弦公式的推導(dǎo)，筆者了解了相關(guān)的數(shù)學(xué)史，發(fā)現(xiàn)其大致經(jīng)歷了從平面幾何方法（基于初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義，可以推出四個(gè)公式）到解析幾何方法（人教A版高中數(shù)學(xué)教材的方法，可以推出兩個(gè)余弦公式）再到向量方法（蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的方法，可以推出兩個(gè)余弦公式）的過程。

實(shí)際上，三角函數(shù)有很明確的幾何意義，如直角三角形中邊長的比值（其實(shí)是圓中弦長與直徑的比值）、單位圓中的三角函數(shù)線（可分別看成半弦長、弦心距、切線長的數(shù)量）。用平面幾何方法求解兩角和與差的正弦與余弦，思路十分直接自然，很容易想到（雖然過程可能有點(diǎn)煩瑣），因此，在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生先探究這種方法。不過，平面幾何方法的問題在于限制在銳角（第一象限角）的范圍，推廣起來比較繁難，需要結(jié)合三角函數(shù)線或誘導(dǎo)公式，分多種情況討論。對(duì)此，可以引導(dǎo)學(xué)生從任意角的三角函數(shù)的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)定義出發(fā)，逐步探究發(fā)現(xiàn)解析幾何方法。至于向量方法，則可在教師的提示下作為補(bǔ)充，讓學(xué)生與之前的方法比較，充分感受其簡(jiǎn)潔性，同時(shí)注意其嚴(yán)謹(jǐn)性。

首先，不難發(fā)現(xiàn)：無論是求兩角和的三角函數(shù)，還是求兩角差的三角函數(shù)，都涉及三個(gè)角，且其中一個(gè)角是另外兩個(gè)角的和。這樣，便可以把“兩角和”與“兩角差”統(tǒng)一起來看成一種情況——這也是模型思想的體現(xiàn)。然后，便可以從特殊到一般地探究多種推導(dǎo)方法。

（一）平面幾何方法的探究

考慮三個(gè)角都是銳角的情況——這是從特殊性看問題，即特殊化這種重要解題思想的體現(xiàn)。這時(shí)，可將兩個(gè)小角拼在一起得到大角，如圖1所示。然后，可以在一條靠外的邊上任取一點(diǎn)，向另一條靠外的邊作垂線，從而構(gòu)造出分別以大角和一個(gè)小角為一個(gè)銳角的兩個(gè)直角三角形，如圖2所示。接著，構(gòu)造以另一個(gè)小角為一個(gè)銳角的直角三角形，有四種方式：如圖3，過靠外邊上的點(diǎn)作中間邊的垂線、自身的垂線，過中間邊上的點(diǎn)作靠外邊的垂線、自身的垂線。利用圖3中的任意一個(gè)圖形，都可以推導(dǎo)兩角和與差的正弦與余弦公式。其思路十分自然清楚：確定一條線段的長度（設(shè)為1），再逐步用已知的兩個(gè)角的三角函數(shù)來表示圖中的其他線段。

（1）

（2）

（3）

（4）

比如，在圖3（1）中，設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β，OC=1，則CD=sinβ，OD=cosβ，BD=CDtanα=sinβtanα，BC=CDcosα=sinβcosα，OB=OD-BD=cosβ-sinβtanα，AB=OBsinα=（cosβ-sinβtanα）sinα=sinα·cosβ-sin2αsinβcosα，所以sin（α+β）=AC=AB+BC=sinαcosβ-sin2αsinβcosα+sinβcosα=sinα·cosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=OA=OBcosα=（cosβ-sinβtanα）cosα=cosαcosβ-sinα·sinβ，即得兩角和的正弦與余弦公式。

再如，在圖3（2）中，設(shè)∠BOC=α，∠AOB=β，OC=1，則CD=tanα，OD=1cosα，過點(diǎn)D作DE垂直BC于E，則DE=CDsin（α+β）=tanαsin（α+β），CE=CD·cos（α+β）=tanαcos（α+β），BE=DEtanβ=tanαtanβsin（α+β），BD=DEcosβ=tanαsin（α+β）cosβ，OB=OD-BD=1cosα-tanαsin（α+β）cosβ，AB=OBsinβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβsinβ=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β），所以sin（α+β）=AC=AB+BE+CE=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β）+tanαtanβsin（α+β）+tanαcos（α+β）=sinβcosα+sinαcos（α+β）cosα，cos（α+β）=OA=OBcosβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβcosβ=cosβcosα-sinαsin（α+β）cosα，代入化簡(jiǎn)可得兩角和的正弦與余弦公式。

又如，在圖3（3）中，設(shè)∠AOC=α，∠AOB=β，OB=1，則AB=sinβ，OA=cosβ，AC=OAtanα=cosβtanα，OC=OAcosα=cosβcosα，BC=AC-AB=cosβtanα-sinβ，CD=BCsinα=sinαcosβtanα-sinαsinβ，所以sin（α-β）=BD=BCcosα=cosαcosβtanα-cosαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α-β）=OD=OC-CD=cosβcosα-sinαcosβ tanα+sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ，即得兩角差的正弦與余弦公式。

還如，在圖3（4）中，設(shè)∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1，則……也能得到兩角差的正弦與余弦公式。

這一思路下的具體方法很多，學(xué)生可以自由探究。在探究的過程中，學(xué)生能充分感受到“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的”（劉紹學(xué)語）。在具體方法的比較中，學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)怎樣使求解過程更加簡(jiǎn)潔。比如，最好設(shè)要求的角所在的直角三角形的斜邊長為1，從而該直角三角形的直角邊長就是要求的角的正弦與余弦。再如，求解過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是用好構(gòu)造第三個(gè)直角三角形時(shí)“補(bǔ)”或“割”出的小三角形——△BCD中的邊角關(guān)系：圖3（1）和圖3（3）中的△BCD是直角三角形，處理起來比較方便；圖3（2）和圖3（4）中的△BCD不是直角三角形，處理起來就比較麻煩（要分割成兩個(gè)直角三角形）；圖3（1）中∠BCD=∠AOB，圖3（4）中∠CBD=∠AOB，因此利用這兩個(gè)圖形時(shí)，不宜讓∠AOB成為要求的角，即如果要推導(dǎo)兩角差的正弦與余弦公式，應(yīng)該設(shè)∠AOB=β；圖3（2）中∠BCD=∠AOC，圖3（3）中∠CBD=∠AOC，因此利用這兩個(gè)圖形時(shí)，不宜讓∠AOC成為要求的角，即不宜利用這兩個(gè)圖形推導(dǎo)兩角和的正弦與余弦公式。

一些學(xué)生甚至還能在簡(jiǎn)潔解法的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)更加直觀的“無字證明”（把相關(guān)線段的長度表示直接標(biāo)示在圖上）。比如，圖4就是基于圖3（3），設(shè)∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1得到的兩角差的余弦公式的“無字證明”。

當(dāng)然，若學(xué)生對(duì)具有一般性的符號(hào)表示（計(jì)算）感到抽象、困難，則還可以進(jìn)一步特殊化，比如設(shè)α=45°，β=30°。其實(shí)，推導(dǎo)兩角和與差的正弦與余弦公式的困難還在于沒辦法用特殊值探路，根據(jù)算出的結(jié)果猜想一般的情況，然后證明。比如，即使學(xué)生算出sin75°（cos15°）=6+24，cos75°（sin15°）=6-24，也很難猜出它們和sin45°、cos45°、sin30°、cos30°的關(guān)系。但是，取特殊值仍有探究?jī)r(jià)值：學(xué)生在結(jié)合圖形（圖3中的任意一個(gè)），利用已知角計(jì)算未知角的三角函數(shù)值的過程中，能體會(huì)到線段之間的關(guān)系以及求解的先后順序。

（二）解析幾何方法的探索

考慮完三個(gè)角都是銳角的情況后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試將它們推廣到任意角。首先可以將不是“和”的兩個(gè)角都限制在［0，2π）范圍內(nèi)——當(dāng)某個(gè)角超出這個(gè)范圍時(shí)，可以通過“+2kπ（k∈Z）”在這個(gè)范圍內(nèi)找到與其終邊相同的角，它們所有的三角函數(shù)值都一樣。這時(shí)，是“和”的角落在［0，4π）范圍內(nèi)，且是三個(gè)角中最大的。然后，可以在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，通過旋轉(zhuǎn)得到三個(gè)角的終邊，進(jìn)而得到三條終邊與單位圓O的交點(diǎn)，則三個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)分別是三個(gè)角的正弦與余弦。設(shè)x軸正半軸與單位圓的交點(diǎn)為P0，三個(gè)角從小到大終邊與單位圓的交點(diǎn)依次為P1、P2、P3，則P3對(duì)應(yīng)的角是P1對(duì)應(yīng)的角與P2對(duì)應(yīng)的角的和。

在圓中，（圓心）角之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為弧之間的關(guān)系，但這樣還是用不到三角函數(shù)。所以，考慮將（圓心）角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為弦之間的關(guān)系——弦長即端點(diǎn)之間的距離，可以用端點(diǎn)的坐標(biāo)表示，這樣便用得到三角函數(shù)了。但是，“一個(gè)角是另外兩個(gè)角的和”并不等價(jià)于“一條弦是另外兩條弦的和”。所以，要進(jìn)一步分析角之間的直接相等關(guān)系。根據(jù)“得到兩個(gè)正角的和可以將一個(gè)正角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)另一個(gè)正角的大小”，可以發(fā)現(xiàn)：如圖5所示，P1對(duì)應(yīng)的角（從OP0到OP1的角）等于P3對(duì)應(yīng)的角與P2對(duì)應(yīng)的角的差（從OP2到OP3的角），P2對(duì)應(yīng)的角（從OP0到OP2的角）等于P3對(duì)應(yīng)的角與P1對(duì)應(yīng)的角的差（從OP1到OP3的角），它們是等價(jià)的，分別可以轉(zhuǎn)化為弦之間的直接相等關(guān)系P0P1=P2P3和P0P2=P1P3。根據(jù)“得到兩個(gè)正角的和也可以將一個(gè)正角的始邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)另一個(gè)正角的大小”，可以作出P1、P2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′1、P′2，則它們對(duì)應(yīng)的角分別是P1、P2對(duì)應(yīng)的角的相反角，從而發(fā)現(xiàn)：如圖6所示，P3對(duì)應(yīng)的角（從OP0到OP3的角）等于P1對(duì)應(yīng)的角與P′2對(duì)應(yīng)的角的差（從OP′2到OP1的角），等于P2對(duì)應(yīng)的角與P′1對(duì)應(yīng)的角的差（從OP′1到OP2的角），它可以轉(zhuǎn)化為弦之間的直接相等關(guān)系P0P3=P′2P1=P′1P2。

由此，對(duì)三個(gè)角作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，便可以通過將P0P1=P2P3、P0P2=P1P3、P0P3=P′2P1或P0P3=P′1P2用兩點(diǎn)之間距離的坐標(biāo)公式表示，化簡(jiǎn)得到相應(yīng)的三角恒等變換公式。比如，在圖5中，設(shè)P1對(duì)應(yīng)的角為α-β，P2對(duì)應(yīng)的角為β，則P3對(duì)應(yīng)的角為α，由P0P1=P2P3，可得［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化簡(jiǎn)即得兩角差的余弦公式。再如，在圖6中，設(shè)P1對(duì)應(yīng)的角為α，P2對(duì)應(yīng)的角為β，則P3對(duì)應(yīng)的角為α+β，由P0P3=P′2P1，可得［cos（α+β）-1］2+sin2（α+β）=［cosα-cos（-β）］2+［sinα-sin（-β）］2，化簡(jiǎn)即得兩角和的余弦公式。

在自由探究的過程中，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)：必須表示出α-β或α+β的終邊與單位圓的交點(diǎn)到P0（1，0）的距離，才能得到兩角差或和的余弦公式。教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么這種方法得不出兩角和與差的正弦公式？學(xué)生可以猜測(cè)：這和角的始邊設(shè)定為x軸有關(guān)。由此，教師可以引發(fā)學(xué)生的直覺：如果把α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2，那么α-β和α+β的終邊也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2，于是利用誘導(dǎo)公式便可得到兩角和與差的正弦公式。這樣思考正弦公式的推導(dǎo)，可以幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)正弦與余弦之間的關(guān)系，并且培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺。

（三）向量方法的補(bǔ)充

將三個(gè)角推廣到任意角后，有了解析幾何方法的構(gòu)圖（圖5、圖6），向量方法便容易引出了。一方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)中還有哪個(gè)（些）涉及正弦或余弦的；另一方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖5或圖6，思考有關(guān)的終邊形成的角還可看成什么形成的角。學(xué)生可能想到向量數(shù)量積的定義涉及向量夾角的余弦，發(fā)現(xiàn)終邊形成的角也可看成向量的夾角，從而嘗試?yán)孟蛄繑?shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式。比如，在圖5中，設(shè)P1對(duì)應(yīng)的角為α-β，P2對(duì)應(yīng)的角為β，則P3對(duì)應(yīng)的角為α，向量OP2和OP3的夾角也為α-β，所以cos（α-β）=OP3·OP2|OP3||OP2|=OP3·OP2=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ。再如，在圖6中，設(shè)P1對(duì)應(yīng)的角為α，P2對(duì)應(yīng)的角為β，則P3對(duì)應(yīng)的角為α+β，向量OP′2和OP1的夾角也為α+β，所以cos（α+β）=OP1·OP′2|OP1|·|OP′2|=OP1·OP′2=（cosα，sinα）·（cos（-β），sin（-β））=cosαcosβ-sinαsinβ。

這時(shí)，教師可以提醒學(xué)生：上述推導(dǎo)中，α-β或α+β一定是兩個(gè)向量的夾角嗎？這里的α-β或α+β的范圍是什么？向量夾角的范圍是什么？學(xué)生便能注意到：這里的α-β被限制在［0，2π）范圍內(nèi)，α+β則落在［0，4π）范圍內(nèi)，但是向量夾角的范圍為［0，π］。怎么辦？對(duì)此，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的解釋有些含糊：“由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α-β≤π的情況?！苯處熆梢岳谜T導(dǎo)公式做進(jìn)一步解釋：當(dāng)α+βSymbolNC［2π，4π）時(shí)，通過“-2π”，即去掉多轉(zhuǎn)的一圈（可以作圖演示），使之落在［0，2π）范圍內(nèi)，即cos（α+β）=cos（α+β-2π）；當(dāng)α-β或α+βSymbolNC@［π，2π）時(shí)，通過“2π-”，找到其組角［例如圖7中的2π-（α-β）］，使之落在（0，π］范圍內(nèi)，即cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］或cos（α+β）=cos［2π-（α+β）］。

參考文獻(xiàn)：

［1］張益明，丁倩文.“兩角和與差的余弦公式”：從歷史中找價(jià)值、看證明［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（6）：34.

［2］劉云章，馬復(fù).中學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代思想［M］.北京：人民教育出版社，1986：15.