摘"要：最新修編的人教版初中數(shù)學(xué)教材將有理數(shù)的定義，由之前的“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”改為“可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)”。但是，新定義并不比舊定義嚴(yán)謹(jǐn)、好懂。由此，根據(jù)給數(shù)學(xué)概念下定義的常用方法、基本原則，從數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，分析各種有理數(shù)定義的合理性與局限性。最后，建議教材下次修編時(shí)把有理數(shù)的定義改為：兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)叫作有理數(shù)。并說(shuō)明：按照約簡(jiǎn)后分母是否為1的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)被分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；有理數(shù)；數(shù)學(xué)概念；定義；函數(shù)

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》修編的人教版初中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“新教材”）將有理數(shù)的定義，由之前的“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”改為“可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)”，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育界引起了一波爭(zhēng)論。對(duì)此，教材主編的解釋是：之前的定義不夠嚴(yán)謹(jǐn)。^［1］本文就此談?wù)劰P者的一些想法，就教于各位方家。

一、 新舊教材的有理數(shù)定義之爭(zhēng)

舊定義“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”有何不嚴(yán)謹(jǐn)？

是整數(shù)和分?jǐn)?shù)沒(méi)有區(qū)別？其實(shí)，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生有三個(gè)路徑。一是均分的需要：把整體1平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。二是除法的需要：正整數(shù)M除以正整數(shù)m，結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，就需要用分?jǐn)?shù)Mm來(lái)表示，如11÷3=113=3+23。三是度量的需要：度量一個(gè)比度量單位還小的對(duì)象時(shí)，為了使度量更精確，需要把一個(gè)度量單位再等分成若干份，以其中的一份為新的度量單位——分?jǐn)?shù)單位，如110、1100、160等。分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的這三個(gè)路徑說(shuō)明，分?jǐn)?shù)不是整數(shù)，其分母不等于1。

是有理數(shù)不能分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)？其實(shí)，數(shù)學(xué)概念分類(lèi)（即邏輯學(xué)中的劃分）的標(biāo)準(zhǔn)不是唯一的，只要滿足四個(gè)條件即可：（1） 劃分必須是相稱的；（2） 每一次劃分只能用一個(gè)根據(jù)；（3） 劃分的子項(xiàng)必須互相排斥；（4） 劃分不能越級(jí)。對(duì)有理數(shù)，按照約簡(jiǎn)后分母是不是1的標(biāo)準(zhǔn)，可以分成整數(shù)（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)）和分?jǐn)?shù)；按照正負(fù)性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)，可以分成正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，等等。這些分類(lèi)完全符合概念劃分的4個(gè)條件。

實(shí)際上，新定義中的“可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式”這一表述是不清楚的，因此不嚴(yán)謹(jǐn)。首先，什么叫“可以寫(xiě)成”？怎么判斷“可以寫(xiě)成”“不可以寫(xiě)成”？“你不可以寫(xiě)成”不代表 “別人也不可以寫(xiě)成”。其次，學(xué)生會(huì)問(wèn)老師：什么叫作“分?jǐn)?shù)形式”？“分?jǐn)?shù)形式”是數(shù)學(xué)概念嗎？“分?jǐn)?shù)形式的數(shù)”是不是像分?jǐn)?shù)那樣的數(shù)？整數(shù)是不是像分?jǐn)?shù)那樣的數(shù)？2可以寫(xiě)成42，它是不是像分?jǐn)?shù)那樣的數(shù)？42是不是分?jǐn)?shù)？2是不是分?jǐn)?shù)？……

如此看來(lái)，新教材中有理數(shù)的定義反而更不嚴(yán)謹(jǐn)，更容易引起這些誤解：整數(shù)和分?jǐn)?shù)沒(méi)有區(qū)別，分?jǐn)?shù)包含整數(shù)。而且，新教材中有理數(shù)的定義更不利于教學(xué)：教學(xué)時(shí)，教師還要解釋很多諸如“什么是分?jǐn)?shù)形式？”“π2是不是分?jǐn)?shù)形式？”的問(wèn)題。這違反了數(shù)學(xué)大道至簡(jiǎn)的原則。

二、 給數(shù)學(xué)概念下定義的常用方法

內(nèi)涵法。給數(shù)學(xué)概念下定義，最常用的方法是內(nèi)涵法，即“種+類(lèi)差”：被定義的概念（類(lèi)）=最鄰近的上位概念（種）+類(lèi)差?！邦?lèi)差”就是被定義的概念在它最鄰近的上位概念里區(qū)別于其他類(lèi)概念的本質(zhì)屬性。例如，“鄰邊相等”的“平行四邊形”叫作“菱形”；“按一定順序排列”的“一列數(shù)”叫作“數(shù)列”；“無(wú)限不循環(huán)”的“小數(shù)”叫作“無(wú)理數(shù)”。

外延法。內(nèi)涵法的局限是，最鄰近的上位概念的邊界不可能無(wú)限擴(kuò)大，最終只能回到原始概念。為了克服這一局限性，在數(shù)學(xué)上還使用揭示概念外延的方法來(lái)給概念下定義：被定義的概念=類(lèi)概念+類(lèi)概念+類(lèi)概念+…。例如，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)；圓、橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。我國(guó)的老教材以及現(xiàn)在各種版本新教材中的絕大多數(shù)，都延用這種簡(jiǎn)明的揭示外延的方式來(lái)給有理數(shù)下定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

構(gòu)造法。構(gòu)造法也叫發(fā)生定義法，即通過(guò)被定義概念反映對(duì)象的發(fā)生過(guò)程或形成的特征描述來(lái)揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法。它是一種特殊的“種+類(lèi)差”方法。定義中的類(lèi)差是描述被定義概念的發(fā)生過(guò)程或形成的特征，而不是揭示被定義概念特有的本質(zhì)屬性。例如，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓。由于初中沒(méi)有集合的概念，為了便于學(xué)生理解，只能用一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)、不精確的非數(shù)學(xué)概念：軌跡。但是，到了高中，學(xué)生學(xué)習(xí)了“集合”，還把橢圓定義為“平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值（該定值大于兩點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡”，就不太合適了：應(yīng)該把“軌跡”改為“集合”。要講曲線與方程之間的關(guān)系——充要條件，就應(yīng)該定義“曲線”為“點(diǎn)集”。如此，求曲線的方程實(shí)質(zhì)上就是求該曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。為此，需要建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，抓住該曲線上的點(diǎn)滿足的幾何不變性，將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程，最后說(shuō)明這個(gè)方程就是所求的曲線方程。^［2］由此，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的精確性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

規(guī)定法。對(duì)有些概念，不易揭示它的內(nèi)涵，就以客觀實(shí)踐為基礎(chǔ)，直接指出它的外延，將其規(guī)定下來(lái)。如此定義概念的方法叫作規(guī)定法。例如，零指數(shù)、負(fù)指數(shù)以及零的階乘的定義，規(guī)定：a⁰=1（a≠0）；a^-m=1a^m（a≠0）；0！=1。教學(xué)用規(guī)定法定義的概念時(shí)，一要講好如此規(guī)定的必要性，二要講好如此規(guī)定的合理性^［3］，否則學(xué)生會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)不講道理：想怎么規(guī)定就怎么規(guī)定，想怎么令就怎么令，想怎么設(shè)就怎么設(shè)。

三、 數(shù)學(xué)定義的基本原則

數(shù)學(xué)定義的基本原則有：

（1） 定義必須是相稱的：定義的內(nèi)容必須與所定義的概念相符，不能出現(xiàn)定義過(guò)寬或過(guò)窄的情況。（2） 定義不得循環(huán)：定義項(xiàng)不能直接或間接地包含被定義項(xiàng)，以避免出現(xiàn)同語(yǔ)反復(fù)或循環(huán)定義的邏輯錯(cuò)誤。（3） 定義一般不用否認(rèn)形式：定義應(yīng)該使用肯定的語(yǔ)句形式，避免使用否定形式，因?yàn)榉穸ㄐ问街荒苷f(shuō)明概念不具有某些屬性，不能直接說(shuō)明它具有什么屬性。但是，考慮到學(xué)生認(rèn)知的因素，對(duì)那些內(nèi)涵無(wú)法揭示、學(xué)生難以理解的概念，在數(shù)學(xué)教育界，允許降低嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性，使用否定語(yǔ)來(lái)定義概念。例如：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù)。（4） 定義應(yīng)當(dāng)是確定的、簡(jiǎn)明的：定義應(yīng)該明確且簡(jiǎn)潔，避免使用含混不清或復(fù)雜的表述。上述分析已經(jīng)表明：“可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)”這一定義不符合此條原則。

根據(jù)以上原則，這里進(jìn)一步分析人教A版高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義：一般地，設(shè)A、B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A。

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域（range）。

首先，“設(shè)A、B是非空的實(shí)數(shù)集”有兩個(gè)缺陷：（1） 學(xué)生很容易認(rèn)為A、B都是實(shí)數(shù)集R。（2） 在數(shù)學(xué)上，函數(shù)分為實(shí)變函數(shù)（以實(shí)數(shù)為自變量）和復(fù)變函數(shù)（以復(fù)數(shù)為自變量），因此，之前很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)使用的高中數(shù)學(xué)教材說(shuō)的都是“A、B是非空的數(shù)集”；這里把“非空的數(shù)集”修改為“非空的實(shí)數(shù)集”，就犯了定義過(guò)窄的錯(cuò)誤；從聯(lián)系、統(tǒng)一的角度看，到了高中，還把函數(shù)分成當(dāng)下（高中）的和未來(lái)（大學(xué)）的，不利于引領(lǐng)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不利于拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

其次，把“對(duì)應(yīng)法則f”修改為“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”更是很不恰當(dāng)?shù)模汉瘮?shù)就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，怎么能用“對(duì)應(yīng)關(guān)系”來(lái)定義“對(duì)應(yīng)關(guān)系”？這不是循環(huán)定義嗎？學(xué)過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的人都知道，關(guān)系的定義是：設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，R是笛卡兒積A×B的一個(gè)子集，則稱R為集合A到集合B的關(guān)系。而函數(shù)則是集合A到集合B的一個(gè)關(guān)系F，它是序?qū)Φ募希?其中不含有第一元相同而第二元不同的序?qū)Α?sup>［4］

再次，“稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)”更是讓人云里霧里：憑空而降的“f：A→B”是什么東西？它是函數(shù)的種概念嗎？它只是一串符號(hào)??！

相比之下，北師大版高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義就更恰當(dāng)一些：

給定實(shí)數(shù)集R中的兩個(gè)非空數(shù)集A和B，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的每一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f稱為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A。其中集合A稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，與x值對(duì)應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，集合{f（x）|x∈A}稱為函數(shù)的值域。

實(shí)際上，理解函數(shù)概念應(yīng)該抓住以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：（1） 函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系——在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù)，總可以在另一個(gè)集合中找到唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)；（2） 函數(shù)概念中兩個(gè)變量的符號(hào)不是固定不變的；（3） 函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)系統(tǒng)（一臺(tái)機(jī)器），它由五個(gè)要素構(gòu)成：兩個(gè)變量、兩個(gè)非空數(shù)集、對(duì)應(yīng)法則f；（4） 不能把函數(shù)值f（x）當(dāng)成函數(shù)，也不能把對(duì)應(yīng)法則f當(dāng)成函數(shù)；（5） 可以說(shuō)一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)，但是不能把變量x、y當(dāng)成函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)不是變量，而是一個(gè)系統(tǒng)。^［5］

四、 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的科學(xué)定義

在抽象代數(shù)中，有理數(shù)域Q=aba、b∈Z，b≠0，它是由所有整數(shù)的商（除數(shù)不為0）構(gòu)成的集合。這里的商指的是一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)非零整數(shù)所得的數(shù)。因此，在數(shù)學(xué)上，一般把能表示為整數(shù)比的數(shù)叫作有理數(shù)，不能表示為整數(shù)比的數(shù)叫作無(wú)理數(shù)。為了避免否定語(yǔ)“不能表示”，也為了避免數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)后帶來(lái)的不嚴(yán)謹(jǐn)，在高等數(shù)學(xué)中，一般用有理數(shù)列來(lái)逼近無(wú)理數(shù)：某個(gè)滿足柯西收斂條件的有理數(shù)列的極限。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)是幫助學(xué)生構(gòu)建起良好的概念圖式。良好的數(shù)學(xué)概念圖式的標(biāo)準(zhǔn)是：看法多樣、準(zhǔn)確、深刻。^［6］在基礎(chǔ)教育階段，無(wú)理數(shù)是一個(gè)講不清楚，只能“混而不錯(cuò)”（蘇步青語(yǔ)）的概念。為了形成良好的無(wú)理數(shù)概念圖式，筆者要求數(shù)學(xué)師范生具備如下看法：（1） 開(kāi)不盡的數(shù)，如2、23、35等；（2） 負(fù)無(wú)理數(shù)，如-33、－37、－322等；（3） 超越數(shù)，如π、e、lg 2等；（4） 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如4.12112111211112…等；

（5） 無(wú)限的連分?jǐn)?shù)；（6） 絕大多數(shù)三角函數(shù)值；（7） 非有理數(shù)之實(shí)數(shù)；（8） 不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比；（9） 某個(gè)滿足柯西收斂條件的有理數(shù)列的極限；（10） 比有理數(shù)多得多。^［7］

五、 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科有別于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的特點(diǎn)是精確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔、概括、聯(lián)系、統(tǒng)一。^［8］人教版初中數(shù)學(xué)新教材修改了有理數(shù)的定義，其初衷是好的：想體現(xiàn)數(shù)學(xué)精確、嚴(yán)謹(jǐn)，尤其是聯(lián)系、統(tǒng)一的特點(diǎn)。遺憾的是，沒(méi)有修改好，出現(xiàn)了新問(wèn)題。

值得一提的是，國(guó)內(nèi)，把有理數(shù)定義為分?jǐn)?shù)形式，人教版新教材不是第一家，蘇科版舊教材曾經(jīng)做過(guò)嘗試：“我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式mn（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫作有理數(shù)?！边@一表述比人教版新教材的表述更為嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確。但是，在一線教師的實(shí)際教學(xué)中，出現(xiàn)了前文所述的理解問(wèn)題。因此，蘇科版新教材把有理數(shù)的定義重新改回傳統(tǒng)的外延定義：“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)?！?/p>

最后，建議教材下次修編時(shí)把有理數(shù)的定義改為：兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)叫作有理數(shù)。并說(shuō)明：按照約簡(jiǎn)后分母是否為1的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)被分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 佚名.數(shù)學(xué)教材“有理數(shù)定義”更改，老師和家長(zhǎng)都懵了：是預(yù)防自學(xué)嗎？［EB/OL］.（2024-09-09）［2024-09-17］.https：//www.163.com/dy/article/JBM9B83E0536SQ16.html.

［2］ 何小亞，李湖南，羅靜.學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難與課程及教學(xué)對(duì)策［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（4）：25-30.

［3］［7］ 何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)（第二版）［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2016：175，178.

［4］ 何小亞.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想下的函數(shù)概念［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1990（8）：1-2.

［5］ 彭曉燕，何小亞.立足教材"凸顯本質(zhì)——《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》的教學(xué)新設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（23）：3-6.

［6］ 何小亞，姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（第三版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2020：47.

［8］ 何小亞.數(shù)學(xué)是什么？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（23）：1.