賀林翰，高晗威，程鵬飛，孫銘陽，郭 永

（1.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710129；2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西西安 710065；3.航天科工智能運(yùn)籌與信息安全研究院（武漢）有限公司，湖北武漢 432200）

0 引言

近年來，無人系統(tǒng)的自主能力和智能化水平不斷發(fā)展和提高，已經(jīng)能夠取代人類執(zhí)行某些特定任務(wù)。無人機(jī)不僅廣泛應(yīng)用于任務(wù)偵察、目標(biāo)打擊等軍事領(lǐng)域，還廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)植保、遙感測繪、森林消防、影視航拍等民用領(lǐng)域[1-3]。隨著無人機(jī)的應(yīng)用越來越廣泛，無人機(jī)所執(zhí)行的任務(wù)也越來越復(fù)雜，任務(wù)難度也逐漸增加。單個無人機(jī)存在續(xù)航時間短、承載能力弱的缺點(diǎn)，這極大地限制了它的性能發(fā)揮，無法完成龐大的任務(wù)。在此背景下，多無人機(jī)協(xié)同控制與編隊(duì)成為新的研究熱點(diǎn)[4]。與單個無人機(jī)系統(tǒng)相比，無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)具有很多優(yōu)點(diǎn)。例如，當(dāng)無人機(jī)編隊(duì)執(zhí)行任務(wù)時，盡管編隊(duì)中可能有一些無人機(jī)失敗，但其他無人機(jī)可以繼續(xù)執(zhí)行任務(wù)，如此可以提高無人機(jī)完成任務(wù)的可靠性和效率。在無人機(jī)的編隊(duì)控制中，需要使用一些編隊(duì)控制方法，來完成多個無人機(jī)的協(xié)調(diào)控制，無人機(jī)的編隊(duì)方法主要包括：領(lǐng)航-跟隨方法[5-6]、虛擬結(jié)構(gòu)法[7-8]、基于行為的方法[9]等。

無人機(jī)編隊(duì)是1 個典型的多變量、強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，而且在編隊(duì)飛行過程中易受陣風(fēng)等不確定外部擾動的影響。因此，提高無人機(jī)編隊(duì)控制系統(tǒng)的魯棒性和快速性至關(guān)重要。在各種干擾下提供準(zhǔn)確穩(wěn)定的編隊(duì)控制是1 項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。到目前為止，大多數(shù)控制方法只能保證漸近或有限時間收斂，在這些方法中，收斂時間與初始狀態(tài)有關(guān)。而在某些初始條件下，系統(tǒng)的收斂時間可能過長，這在工程實(shí)踐中是不可接受的。文獻(xiàn)[10]在研究雙極限加權(quán)齊次系統(tǒng)穩(wěn)定性的過程中發(fā)現(xiàn)了固定時間收斂特性。文獻(xiàn)[11]對此進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)，提出了固定時間收斂的概念。固定時間收斂理論預(yù)先定義了1 個條件，即收斂時間與初始狀態(tài)無關(guān)。這有效地解決了系統(tǒng)初值未知所帶來的控制問題?，F(xiàn)有的固定時間收斂研究主要集中在控制器設(shè)計(jì)和干擾觀測器設(shè)計(jì)方面[12-14]。

基于固定時間收斂理論可使用各種控制設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)控制器，以實(shí)現(xiàn)使系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定的目的。反步控制是1 種有效的非線性控制設(shè)計(jì)方案，它將原高階非線性系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階數(shù)的誤差子系統(tǒng)，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論計(jì)算控制律。文獻(xiàn)[15]首先提出了求解非線性編隊(duì)模型的反演控制方法，其基本思想是設(shè)計(jì)1個虛擬子系統(tǒng)的輸入信號，并將其反饋給控制器，從而得到真實(shí)子系統(tǒng)的控制輸入。該方法常用于無人機(jī)編隊(duì)控制器的設(shè)計(jì)，并通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來驗(yàn)證其有效性。文獻(xiàn)[16-17]將“l(fā)eader-follower”方法應(yīng)用于無人機(jī)的群體控制，將任意無人機(jī)作為“l(fā)eader”，其他無人機(jī)作為“follower”；所考慮的問題可以簡化為多無人機(jī)編隊(duì)控制問題。然而，這種方法有一定局限性。文獻(xiàn)[17-18]提出了虛擬領(lǐng)航者方法。他們將無人機(jī)視為剛體，每個無人機(jī)只能跟蹤固定點(diǎn)并保持理想的隊(duì)形。同時，文獻(xiàn)[19]提出了基于行為控制方法的編隊(duì)幾何中心概念。此外，文獻(xiàn)[20-22]采用基于“l(fā)eader”的有向圖協(xié)議共識方法，研究了多無人機(jī)的隊(duì)形保持問題。

在控制器設(shè)計(jì)的過程中，為增強(qiáng)控制器的魯棒性，基于擾動觀測器的控制方法被提出，如模糊觀測器[23-24]、非線性擾動觀測器[25]、超螺旋觀測器[26]、擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器[27]等。超螺旋方法首先由Levant 提出，用于魯棒精確微分[28]。超螺旋方法作為1種特殊的二階滑模，具有不需要滑模變量導(dǎo)數(shù)信息的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[29-30]將超螺旋方法與其他智能控制算法相結(jié)合，進(jìn)一步證明了其實(shí)用性。傳統(tǒng)的超螺旋方法包括2個可調(diào)諧的固定增益，根據(jù)干擾的界來設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[31]提出了1種多變量超螺旋滑模方法，但只實(shí)現(xiàn)了有限時間收斂。文獻(xiàn)[32]通過對其進(jìn)行修正，提出了1 種新的多變量固定時間的可重復(fù)使用運(yùn)載火箭再入姿態(tài)控制方法。目前，國內(nèi)對無人機(jī)編隊(duì)的基于超螺旋觀測器的固定時間控制研究較少。

綜上分析，本文提出了1 種基于超螺旋算法的擾動觀測器（super- twisting disturbance observer，STDOB）和固定時間反步控制（fixed-time backstepping control，F(xiàn)BC）的多無人機(jī)編隊(duì)控制策略，并通過MATLAB 仿真軟件對基于虛擬領(lǐng)航者的多無人機(jī)編隊(duì)控制策略進(jìn)行驗(yàn)證。相對于文獻(xiàn)[31-32]，總結(jié)出本文的關(guān)鍵創(chuàng)新點(diǎn)如下：

1）設(shè)計(jì)了1種基于超螺旋算法的擾動觀測器，該觀測器能夠在固定時間內(nèi)觀測系統(tǒng)的外部時變擾動；

2）使用反步法解決無人機(jī)編隊(duì)的固定時間控制問題，所設(shè)計(jì)的控制器實(shí)現(xiàn)了與無人機(jī)編隊(duì)初始狀態(tài)無關(guān)的固定時間收斂；

3）通過對擾動的精確觀測，該控制器避免了傳統(tǒng)自適應(yīng)中對控制增益的過度估計(jì)，從而顯著降低了抖振效應(yīng)。

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 無人機(jī)單機(jī)及編隊(duì)控制系統(tǒng)模型

考慮1 類含有外部擾動的無人機(jī)單機(jī)模型，第i架無人機(jī)的非線性運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)模型如下：

式（7）中：

為了構(gòu)造編隊(duì)誤差模型，考慮1個由N架跟隨者無人機(jī)與1 個虛擬領(lǐng)航者構(gòu)成的多無人機(jī)系統(tǒng)，控制目標(biāo)為：

定義編隊(duì)中第i架無人機(jī)的聯(lián)合位置誤差：

由上式可以看出，當(dāng)聯(lián)合位置誤差ei收斂到0時，各無人機(jī)將按照預(yù)設(shè)的隊(duì)形收斂到各自的期望位置，并形成期望隊(duì)形。

定義編隊(duì)聯(lián)合位置誤差與相對距離矩陣為：

則整個編隊(duì)聯(lián)合位置誤差為：

定義：

則式（16）可以表示為：

對式（20）求導(dǎo)可得：

對式（21）求導(dǎo)并結(jié)合編隊(duì)運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)模型，式（7）可得編隊(duì)聯(lián)合誤差模型為：

式（22）中，d=。

令e?=ev，ev為編隊(duì)聯(lián)合速度誤差，則式（22）編隊(duì)聯(lián)合誤差模型可整理為：

本文的控制目標(biāo)：針對一類含有外部時變擾動的無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)1 種超螺旋干擾觀測器觀測系統(tǒng)的擾動；進(jìn)而利用擾動信息設(shè)計(jì)反步控制器，使無人機(jī)編隊(duì)能在指定時間跟蹤上期望指令。

1.2 圖論

1.3 預(yù)備知識

引理1[33]若有一連續(xù)徑向有界函數(shù)為V:Rn→R+∪{0}符合以下條件：

1）V(x)=0 ?x=0；

則原系統(tǒng)能夠在固定的時間內(nèi)收斂到0，且對收斂時間T有：

注1 由式（24）可知系統(tǒng)的收斂時間僅由?1、?2、α、β決定，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。

引理2[33]若有一連續(xù)徑向有界函數(shù)為V:?n→?+∪{0}符合以下條件：

1）V(x)=0 ?x=0；

2） 任 意x(t) 都 符 合 不 等 式V?(x)≤-?1Vα(x)-?2Vβ(x)+?，式中，?1、?2、α、β、?都是正常數(shù)，并且0＜α ＜1、β ＞1。

則原系統(tǒng)能夠在固定的時間內(nèi)穩(wěn)定，且對收斂時間T有：

式（25）中，?是滿足0＜? ＜1的正常數(shù)。

引理3[34]若ε1,ε2,…,εM≥0，則有：

引理4（Yong’s Inequality）[35]對于?(a,b)∈?2，下列不等式成立：

式（27）中：ζ ＞0，Ψ ＞1，Φ ＞1，(Ψ-1)(Φ-1)=1。引理5[35]對于任意ι ＞0,x∈?，存在不等式：

式（28）中，κ滿足κ=，e 為自然常數(shù)，例如κ=0.278 5。

2 基于超螺旋算法的擾動觀測器設(shè)計(jì)

針對無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于超螺旋算法的具有定時收斂特性的擾動觀測器（STDOB），可以補(bǔ)償?shù)刃_動。此外，還分析了擾動觀測誤差的收斂時間。無論初始狀態(tài)如何，該擾動觀測器都能在有限時間內(nèi)將估計(jì)誤差收斂到原點(diǎn)的小鄰域內(nèi)。觀測器的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如下：

定理1 構(gòu)造的擾動觀測器（29）可以在固定時間內(nèi)對外界擾動d精確估計(jì)，且觀測誤差σ為0。

證明對σ求導(dǎo)，可以得到：

接著計(jì)算σ2的導(dǎo)數(shù)，可得：

由式（32）（33）可得誤差如下：

基于文獻(xiàn)[36]的結(jié)論，如果觀測器的增益滿足條件（30），則σ?和σ?2可以在固定時間t0內(nèi)收斂到原點(diǎn)，且有：

則可得，當(dāng)t≥t0時，σ=0，σ2=0?；仡櫴剑?1）可得σ?=d-d?=0，即d?=d。因此，t≥t0之后，觀測器可以精確地估計(jì)等效擾動，即可以實(shí)現(xiàn)固定時間擾動觀測，證畢。

3 固定時間反步控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)前文中建立的無人機(jī)編隊(duì)模型以及所設(shè)計(jì)的固定時間擾動觀測器，設(shè)計(jì)虛擬控制量evd和固定時間反步控制器F為：

定理2 考慮模型為式（23）的基于聯(lián)合誤差的無人機(jī)編隊(duì)誤差模型，設(shè)計(jì)基于擾動觀測器（29）的固定時間反步控制器（37），可實(shí)現(xiàn)無人機(jī)編隊(duì)控制，且閉環(huán)系統(tǒng)中所有的信號都是固定時間穩(wěn)定的，編隊(duì)聯(lián)合位置誤差e和編隊(duì)聯(lián)合速度誤差ev在固定時間tm內(nèi)收斂到0，且tm滿足tm≤t+t0，t將在后文給出。

證明定義：

設(shè)速度誤差與虛擬控制量的誤差為：

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

對式（40）求導(dǎo)得：

將式（37）代入式（41）得：

由Young’s不等式（引理4）可知：

代入式（42）得：

對向量z1中的元素z1i(i=1,2,…,N)的值分情況討論。若z1i ＞1，

若z1i ＜1，

由引理5整理得到：

4 仿真分析

4.1 仿真條件

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)控制方案的有效性，在本文提出的控制器下對無人機(jī)編隊(duì)飛行任務(wù)進(jìn)行了數(shù)字仿真。仿真中的無人機(jī)編隊(duì)包含3架實(shí)際編隊(duì)飛行的無人機(jī)和1架虛擬領(lǐng)航無人機(jī)，所有無人機(jī)的初始信息如表1所示。無人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形為以虛擬領(lǐng)航無人機(jī)（編號0）為中心，3架無人機(jī)（分別編號1、2、3）為3個頂點(diǎn)的等邊三角形。在編隊(duì)中，設(shè)計(jì)的隊(duì)形中其他無人機(jī)與虛擬領(lǐng)航無人機(jī)的期望相對距離如表1 所示；編隊(duì)中各個成員的初始參數(shù)如表2所示。

表1 無人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形Tab.1 UAV formation

表2 無人機(jī)編隊(duì)初始參數(shù)Tab.2 Initial parameters of UAV formation

表3 控制參數(shù)Tab.3 Control parameters

4.2 仿真結(jié)果

圖1為編隊(duì)中3架無人機(jī)基于編隊(duì)模型建立的編隊(duì)聯(lián)合位置誤差。在設(shè)計(jì)的基于固定時間超螺旋干擾觀測器的多無人機(jī)反步控制器的作用下，聯(lián)合位置誤差的跟蹤曲線光滑且無超調(diào)，并且無人機(jī)#1的穩(wěn)態(tài)誤差在0.1 m 以內(nèi)，其余2 架無人機(jī)的穩(wěn)態(tài)誤差在0.01 m 以內(nèi)。

圖1 無人機(jī)聯(lián)合位置誤差Fig.1 Joint position error of UAVs

圖2 為3 架無人機(jī)的聯(lián)合速度誤差?？梢钥闯?，聯(lián)合速度誤差以較快的速度收斂，且無人機(jī)#1的穩(wěn)態(tài)誤差保持在0.15 m/s 內(nèi)，其余2 架無人機(jī)的穩(wěn)態(tài)誤差在0.05 m/s以內(nèi)。

圖2 無人機(jī)聯(lián)合速度誤差Fig.2 Joint speed error of UAVs

圖3為3架無人機(jī)的實(shí)際上與自身在編隊(duì)中的理想位置的絕對位置誤差?？梢钥闯?，其收斂的時間與聯(lián)合位置誤差是一致的，且收斂過程無超調(diào)，穩(wěn)定誤差在0.1 m以內(nèi)。

圖3 無人機(jī)絕對位置誤差Fig.3 Absolute position error of UAVs

圖4為3架無人機(jī)的3個方向的控制力變化情況，控制力的輸入有最大限制。系統(tǒng)在3個方向上存在正弦波形式的擾動，因此控制力也呈現(xiàn)一定的波動來抵消擾動，且控制力在波動的過程中保持在輸入限制以內(nèi)。

圖4 無人機(jī)控制力Fig.4 Control force of UAVs

綜上所述，基于本文所提出的超螺旋干擾觀測器，可對系統(tǒng)中存在的外部擾動進(jìn)行固定時間內(nèi)的快速準(zhǔn)確的估計(jì)?；诠潭〞r間超螺旋干擾觀測器的多無人機(jī)反步控制系統(tǒng)，可使無人機(jī)編隊(duì)在固定時間內(nèi)組成期望隊(duì)形，并跟蹤上虛擬領(lǐng)航無人機(jī)的軌跡。

5 結(jié)論

本文提出了1種基于固定時間超螺旋干擾觀測器的多無人機(jī)反步控制系統(tǒng)。針對含有外部擾動的多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)，基于超螺旋干擾觀測器和反步法理論設(shè)計(jì)了固定時間控制器，使得系統(tǒng)的多架無人機(jī)能在指定時間內(nèi)跟蹤上期望的指令信號。最后，數(shù)值仿真結(jié)果證明了本文所提出的控制方法的可行性與先進(jìn)性。