孟代江 張淑榮

同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院 上海 201804

1 研究背景

隨著風(fēng)能和太陽(yáng)能等清潔能源在電力系統(tǒng)中發(fā)電占比快速增長(zhǎng),影響電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的不確定性大大增加,電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行面臨著更大的挑戰(zhàn)。隨機(jī)潮流計(jì)算能夠在系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)功率注入,系統(tǒng)參數(shù)具有不確定性條件下,獲得電壓和相角等系統(tǒng)狀態(tài)量信息的概率分布,是解決電力系統(tǒng)不確定性這一難題的有效方法。隨機(jī)潮流計(jì)算方法的研究近年來(lái)受到廣泛關(guān)注。

目前,隨機(jī)潮流的計(jì)算方法主要有模擬法、解析法、代理模型類方法。

模擬法[1-4]只要保證足夠的采樣次數(shù),即可達(dá)到很高的精度,通常作為其它方法的基準(zhǔn)方法,但收斂速度較慢。

解析法包括半不變量法[5-6]、點(diǎn)估計(jì)法[7-8]等,不需要抽樣,通過(guò)對(duì)原函數(shù)的局部線性化或利用某些特征量的性質(zhì),直接求取輸出變量的期望和方差,雖然計(jì)算效率高,但是精度較低,適用范圍有限。

隨機(jī)潮流問(wèn)題的原函數(shù)通常是隱含在復(fù)雜非線性潮流方程中的隱函數(shù),求解速度相對(duì)較慢。對(duì)此,代理模型類方法用某種特定結(jié)構(gòu)的正交多項(xiàng)式逼近函數(shù),構(gòu)造隨機(jī)潮流模型的代理模型,進(jìn)而基于逼近函數(shù)進(jìn)行大量抽樣計(jì)算,輸出變量的概率特征,也可以通過(guò)基函數(shù)系數(shù)直接計(jì)算輸出變量的期望、方差等概率特征值。代理模型類方法又可以分為隨機(jī)伽遼金方法和隨機(jī)配置點(diǎn)法。

隨機(jī)伽遼金方法用逼近函數(shù)代替各輸出變量,代入潮流方程,通過(guò)正交多項(xiàng)式性質(zhì)求解方程,獲得各基函數(shù)系數(shù)。這種方法通過(guò)選擇合理的基函數(shù)及展開階次,可以獲得很高的精度,但是基函數(shù)項(xiàng)由于隨機(jī)輸入維數(shù)的增加而迅速增加,方程也更加復(fù)雜,不適用高維系統(tǒng)的求解[9-10]。

隨機(jī)配置點(diǎn)法可以分為偽譜類方法和插值類方法。偽譜類方法基于數(shù)值積分及二次方逼近理論,能夠精確計(jì)算任意項(xiàng)基函數(shù)系數(shù),但是由于基函數(shù)項(xiàng)數(shù)隨維度指數(shù)的上升而會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難。文獻(xiàn)[11-12]提出自適應(yīng)稀疏偽譜法,在基函數(shù)項(xiàng)擴(kuò)展時(shí),優(yōu)先擴(kuò)展對(duì)于提高精度作用大的基函數(shù)項(xiàng),大幅減少基函數(shù)項(xiàng)的數(shù)量。文獻(xiàn)[13]提出更精確的逼近誤差估計(jì),提高計(jì)算精度,并提出多輸出同時(shí)擴(kuò)展計(jì)算的策略。以上文獻(xiàn)雖然在一定程度上改善了維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題,但是并未根本解決,在高維場(chǎng)景中仍無(wú)法高效率應(yīng)用。

文獻(xiàn)[14-16]提出一種插值型方法——低階多項(xiàng)式逼近法,通過(guò)構(gòu)造由若干階次的低次多維正交多項(xiàng)式基函數(shù)的線性組合來(lái)逼近原函數(shù),通過(guò)交替最小二乘法逐維求解基函數(shù)系數(shù)。這一方法的基函數(shù)項(xiàng)數(shù)與隨機(jī)輸入變量維數(shù)呈現(xiàn)線性關(guān)系,即所需抽樣點(diǎn)與輸入維數(shù)呈線性增長(zhǎng)關(guān)系,避免維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題,但在低維時(shí)的計(jì)算精度與自適應(yīng)稀疏偽譜法相差甚遠(yuǎn)。

筆者針對(duì)代理模型類方法展開研究,分析自適應(yīng)稀疏偽譜法和低階多項(xiàng)式逼近法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度,基于兩種方法的優(yōu)勢(shì)提出一種基于綜合算法的隨機(jī)潮流計(jì)算方法。這一方法在低、中、高維度場(chǎng)景中都有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率,通過(guò)算例驗(yàn)證了這一方法的有效性和可行性。

2 隨機(jī)潮流數(shù)學(xué)模型

隨機(jī)潮流模型可以簡(jiǎn)寫為:

U=f(W)

(1)

U=(U1,U2,…,UD)

W=(W1,W2,…,Wd)

式中:U為節(jié)點(diǎn)電壓、相角等系統(tǒng)狀態(tài)隨機(jī)變量;D為輸出隨機(jī)變量數(shù)量;W為風(fēng)光電場(chǎng)出力及負(fù)荷等輸入隨機(jī)變量;d為輸入隨機(jī)變量數(shù)量;f表示潮流方程隱含的關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)與節(jié)點(diǎn)注入功率的隱函數(shù)關(guān)系。

考慮風(fēng)光出力的不確定性通常直接由風(fēng)速、光照強(qiáng)度等因素決定,隨機(jī)潮流模型又可以寫為:

U=f(v,r,PL)

(2)

式中:v為各風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速向量,一般認(rèn)為服從韋布爾分布;r為各光伏場(chǎng)的光照強(qiáng)度向量,一般認(rèn)為服從貝塔分布;PL為各節(jié)點(diǎn)負(fù)載有功功率,一般認(rèn)為服從正態(tài)分布。

3 自適應(yīng)稀疏偽譜法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度

對(duì)于隨機(jī)潮流模型,自適應(yīng)稀疏偽譜法構(gòu)造的單輸出多項(xiàng)式逼近函數(shù)為:

(3)

(4)

式中:Qk(〈φn,f〉)為待計(jì)算的高斯積分;φn為正交基函數(shù);ck為網(wǎng)格系數(shù)。

自適應(yīng)稀疏偽譜法的計(jì)算時(shí)間主要花費(fèi)在對(duì)原函數(shù)的抽樣上,對(duì)自適應(yīng)稀疏偽譜法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析,主要取決于自適應(yīng)稀疏偽譜法積分點(diǎn)數(shù)量的分析。

K={k:d≤k1+k2+...+kd≤l+d}

(5)

這一形式的指標(biāo)集包含了所有總階次不超過(guò)l的正交基函數(shù)。文獻(xiàn)[17]簡(jiǎn)單推導(dǎo)了當(dāng)階次l為0～7時(shí)指標(biāo)集所需總積分點(diǎn)數(shù)n與輸入隨機(jī)變量維數(shù)d的函數(shù)關(guān)系,見表1。

表1 總積分點(diǎn)數(shù)與輸入維數(shù)關(guān)系

根據(jù)文獻(xiàn)[18],對(duì)于隨機(jī)潮流問(wèn)題,當(dāng)階次l為3時(shí),使用經(jīng)典Smolyak指標(biāo)集的稀疏偽譜法即達(dá)到最高逼近精度。繼續(xù)增大l,稀疏偽譜法的逼近精度幾乎不變。

由此,可以估算基于自適應(yīng)稀疏偽譜法的隨機(jī)潮流計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(Dd3),輸出隨機(jī)變量數(shù)量一般是輸入隨機(jī)變量數(shù)量的一到兩倍,即D為cd,c為1～2。綜合以上分析,自適應(yīng)稀疏偽譜法的隨機(jī)潮流計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(cd4)。

另外,對(duì)于隨機(jī)潮流問(wèn)題,通常認(rèn)為10 000點(diǎn)拉丁超立方法可以獲得隨機(jī)潮流輸出變量各階矩的精確值。根據(jù)自適應(yīng)稀疏偽譜法所需采樣點(diǎn)數(shù)量與基函數(shù)階次、輸入維度的關(guān)系,以及基準(zhǔn)拉丁超立方法所需采樣點(diǎn)數(shù),采取如下策略獲得高維問(wèn)題和低維問(wèn)題的分界值。由于自適應(yīng)稀疏偽譜法的指標(biāo)集形式靈活,指標(biāo)集可以位于階次為2和階次為3的經(jīng)典指標(biāo)集之間?？紤]到反映潮流方程的非線性特性,基函數(shù)總次數(shù)一般需大于2。由此,根據(jù)表1,并令自適應(yīng)稀疏偽譜法的積分點(diǎn)數(shù)下限2d2+2d+1的值為10 000,可求得輸入維數(shù)為70.2。據(jù)此,可認(rèn)為輸入維數(shù)不小于70時(shí)屬于高維輸入情況,此時(shí)自適應(yīng)稀疏偽譜法計(jì)算效率低于拉丁超立方法,應(yīng)采用無(wú)維數(shù)災(zāi)難的求解方法求解隨機(jī)潮流。反之,輸入維數(shù)小于70時(shí)屬于低維輸入情況,此時(shí)自適應(yīng)稀疏偽譜法的計(jì)算效率可能更高,且由于自適應(yīng)稀疏偽譜法計(jì)算精度上限較低階多項(xiàng)式逼近法更高,可嘗試先使用自適應(yīng)稀疏偽譜法進(jìn)行隨機(jī)潮流求解,若計(jì)算精度不滿足要求,則再轉(zhuǎn)向低階多項(xiàng)式逼近法或拉丁超立方法進(jìn)行求解。

4 低階多項(xiàng)式逼近法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度

低階多項(xiàng)式逼近法構(gòu)建的單輸出逼近函數(shù)表達(dá)式為:

(6)

低階多項(xiàng)式逼近法的計(jì)算分為兩部分,一部分是對(duì)原函數(shù)的抽樣,另一部分是采用交替最小二乘算法求解基函數(shù)系數(shù)。假設(shè)抽樣一次的時(shí)間為teval,則抽樣時(shí)間tsample為Nteval,N為抽樣次數(shù)。低階多項(xiàng)式逼近法采用交替最小二乘方法求解基函數(shù)系數(shù)的過(guò)程還可以細(xì)分為三部分。

(1) 計(jì)算凍結(jié)系數(shù),這部分的總計(jì)算時(shí)間tci為:

tci=DrmaxdN(d-1)(pmax+1)tbasis

(7)

(2) 計(jì)算最小二乘,這部分的總計(jì)算時(shí)間t1s為:

t1s=Drmaxdtsolve

(8)

(3) 計(jì)算收斂判據(jù),這部分的總計(jì)算時(shí)間tErr為:

tErr=DrmaxNd(pmax+1)tbasis

(9)

式中:tbasis為計(jì)算一個(gè)單維正交基函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處的值所需要的計(jì)算時(shí)間;tsolve為求解一次最小二乘問(wèn)題所需要的時(shí)間。

主要計(jì)算時(shí)間還是在最小二乘計(jì)算上,rmax一般取3～10,輸出隨機(jī)變量數(shù)量一般是輸入隨機(jī)變量數(shù)量的一到兩倍,因此低階多項(xiàng)式逼近法的隨機(jī)潮流計(jì)算復(fù)雜度約為O(d2)。

5 基于綜合算法的隨機(jī)潮流計(jì)算過(guò)程

基于綜合算法的隨機(jī)潮流計(jì)算步驟如下。

(1) 給定隨機(jī)潮流系統(tǒng)函數(shù)X=f(W),若d<70,進(jìn)行步驟(2);反之,進(jìn)行步驟(4)。

(2) 設(shè)定最大抽樣次數(shù)Nmax,誤差收斂閾值為TOL。

(3) 采用自適應(yīng)稀疏偽譜法求解隨機(jī)潮流。若全局誤差η滿足小于TOL,且抽樣次數(shù)N滿足小于Nmax,則進(jìn)行步驟(8);反之,進(jìn)行步驟(4)。

(4) 比較低階多項(xiàng)式逼近法估計(jì)計(jì)算時(shí)間t1和t2,若t1≤t2,則進(jìn)行步驟(5);反之,進(jìn)行步驟(7)。t1、t2分別為:

+Nsteval

(10)

t2=Nmaxteval

(11)

D0、rmax,0、d0、Ns,0、d0-1、pmax,0是基準(zhǔn)問(wèn)題參數(shù),tci,0為對(duì)應(yīng)組參數(shù)的tci,這些參數(shù)由已知系統(tǒng)先行計(jì)算得出,以便在計(jì)算t1、t2時(shí)更加快捷。

(5) 設(shè)定抽樣次數(shù)Ns為drmax(pmax+1)2,使用低階多項(xiàng)式逼近法求解隨機(jī)潮流,計(jì)算低階多項(xiàng)式逼近法逼近誤差ε。

(6) 若ε小于3TOL,則進(jìn)行步驟(8);反之,進(jìn)行步驟(7)。

(7) 使用Nmax點(diǎn)拉丁超立方法求解隨機(jī)潮流。

(8) 輸出電壓幅值、相角的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

基于綜合算法的隨機(jī)潮流計(jì)算流程如圖1所示。

6 算例

通過(guò)調(diào)整設(shè)置不同規(guī)模大小的系統(tǒng)和隨機(jī)輸入變量數(shù)量,檢驗(yàn)綜合算法的逼近精度和計(jì)算時(shí)間,以及驗(yàn)證方法的有效性和優(yōu)越性。所采用系統(tǒng)參數(shù)全部來(lái)自Matpower 6.0。

6.1 算例1 IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

在IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)基礎(chǔ)上,添加五個(gè)服從韋布爾分布的風(fēng)電功率注入和四個(gè)服從貝塔分布的光伏注入。其中,五個(gè)風(fēng)電場(chǎng)分別配置在1、5、6、9、10節(jié)點(diǎn)處,參數(shù)λ為8,k為3,切入風(fēng)速為2 m/s,額定風(fēng)速為12 m/s,切出風(fēng)速為25 m/s,功率因數(shù)為0.2,額定功率為100 MW。四個(gè)光伏電場(chǎng)分別配置在12、13、14、15節(jié)點(diǎn)處,參數(shù)α、β為2.222 2,光照強(qiáng)度峰值為1 000 W/m2,光伏電場(chǎng)輻射點(diǎn)輻射為150 W/m2,標(biāo)準(zhǔn)太陽(yáng)輻射為1 000 W/m2,額定功率為50 MW。自適應(yīng)稀疏偽譜法設(shè)置最大抽樣次數(shù)為10 000次,誤差收斂閾值為0.005。以10 000點(diǎn)拉丁超立方法計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)。

這一隨機(jī)潮流問(wèn)題的輸入隨機(jī)變量維數(shù)為9,可以認(rèn)為是低維問(wèn)題。采用基于綜合算法求解這一問(wèn)題時(shí),使用了自適應(yīng)稀疏偽譜法。其中,總積分點(diǎn)數(shù)為229,計(jì)算時(shí)間為0.175 s,總指標(biāo)數(shù)為60,誤差估計(jì)為0.004 189。由于誤差估計(jì)小于給定誤差收斂閾值0.05,因此采用自適應(yīng)稀疏偽譜法的計(jì)算結(jié)果作為最終輸出結(jié)果。計(jì)算結(jié)果輸出期望對(duì)比如圖2所示,輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比如圖3所示?；鶞?zhǔn)拉丁超立方法計(jì)算時(shí)間為3.596 s。

圖2 算例1輸出期望對(duì)比

圖3 算例1輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比

由圖2和圖3可以看出,自適應(yīng)稀疏偽譜法對(duì)系統(tǒng)各輸出變量的計(jì)算結(jié)果幾乎與拉丁超立方法計(jì)算結(jié)果重合,說(shuō)明自適應(yīng)稀疏偽譜法對(duì)于低維場(chǎng)景具有很高的精度。

由于低階多項(xiàng)式逼近法和拉丁超立方法的采樣點(diǎn)數(shù)量與自適應(yīng)稀疏偽譜法每次計(jì)算時(shí)按需所得不同,而是先驗(yàn)給定的,因此為了體現(xiàn)筆者所提方法在求解問(wèn)題時(shí)的有效性,做出采樣次數(shù)為200、230、260時(shí)的低階多項(xiàng)式逼近法和拉丁超立方法實(shí)際逼近誤差曲線,實(shí)際逼近誤差用各輸出變量的標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于拉丁超立方法計(jì)算出的基準(zhǔn)值的平均相對(duì)誤差來(lái)衡量,比較結(jié)果如圖4。

圖4 算例1采樣次數(shù)對(duì)比

拉丁超立方法的運(yùn)行時(shí)間分別為0.121 s、0.133 s、0.135 s,低階多項(xiàng)式逼近法的運(yùn)行時(shí)間分別為0.319 s、0.322 s、0.354 s。無(wú)論是低階多項(xiàng)式逼近法、自適應(yīng)稀疏偽譜法,還是拉丁超立方法,計(jì)算時(shí)間都極短,采用計(jì)算精度最高的方法對(duì)隨機(jī)潮流進(jìn)行求解,無(wú)疑是最優(yōu)的選擇,因此從算例1可以看出,綜合算法充分利用了自適應(yīng)稀疏偽譜法在低維時(shí)的高計(jì)算精度,展現(xiàn)了方法的有效性。

6.2 算例2 IEEE-85節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

在IEEE-85節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,添加三個(gè)服從韋布爾分布的風(fēng)電注入、八個(gè)服從貝塔分布的光伏注入、59個(gè)服從高斯分布的負(fù)荷噪聲,風(fēng)電場(chǎng)位于1、2、3節(jié)點(diǎn)處,光伏電場(chǎng)位于4、5、6、7、10、11、14、15節(jié)點(diǎn)處。有84個(gè)負(fù)荷噪聲在其它節(jié)點(diǎn)處,均值為原負(fù)荷量,標(biāo)準(zhǔn)差為5%均值。風(fēng)光電場(chǎng)參數(shù)及自適應(yīng)稀疏偽譜法參數(shù)同算例1。

此時(shí),輸入維度為70,屬于中高維問(wèn)題。綜合算法在求解這一問(wèn)題時(shí),先采用自適應(yīng)稀疏偽譜法進(jìn)行求解,然后采用10 000點(diǎn)拉丁超立方法進(jìn)行求解。自適應(yīng)稀疏偽譜法的求解結(jié)果為采樣次數(shù)10 025、指標(biāo)數(shù)1 906、全局誤差指示器0.125 01,計(jì)算時(shí)間19.675 s。拉丁超立方法與自適應(yīng)稀疏偽譜法計(jì)算結(jié)果輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比如圖5所示。采用拉丁超立方法進(jìn)行這一系統(tǒng)隨機(jī)潮流的求解,精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于自適應(yīng)稀疏偽譜法。因此,筆者所提方法可以在很大程度上保證對(duì)各種規(guī)模系統(tǒng)隨機(jī)潮流求解的精度和計(jì)算時(shí)間。

圖5 算例2拉丁超立方法與自適應(yīng)稀疏偽譜法輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比

綜合算法在求解這一問(wèn)題時(shí),首先采用自適應(yīng)稀疏偽譜法進(jìn)行求解,在求解精度不能滿足要求時(shí),進(jìn)而判斷低階多項(xiàng)式逼近法與拉丁超立方法的計(jì)算時(shí)間,選擇時(shí)間較短的進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)自適應(yīng)稀疏偽譜法的抽樣時(shí)間和抽樣點(diǎn)數(shù),可以計(jì)算出單次采樣時(shí)間為1.097 9×10-3s。再根據(jù)已知系統(tǒng)計(jì)算tbasis為4.916 5×10-8s。設(shè)置低階多項(xiàng)式逼近法采樣點(diǎn)數(shù)為1 000。計(jì)算出低階多項(xiàng)式逼近法預(yù)計(jì)所需時(shí)間為75 s,而拉丁超立方法預(yù)計(jì)所需時(shí)間為10.9 s。可見,綜合算法最終采用拉丁超立方法進(jìn)行計(jì)算。

綜合算法與低階多項(xiàng)式逼近法計(jì)算結(jié)果輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比如圖6所示,可以看出此時(shí)低階多項(xiàng)式逼近法與綜合算法精度近似,采取綜合算法計(jì)算時(shí)間更短,充分體現(xiàn)綜合算法的合理性和有效性。

圖6 算例2綜合算法與低階多項(xiàng)式逼近法輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比

7 結(jié)束語(yǔ)

基于綜合算法的隨機(jī)潮流計(jì)算方法在隨機(jī)潮流問(wèn)題求解的過(guò)程中,充分結(jié)合了三種各具優(yōu)勢(shì)的隨機(jī)潮流計(jì)算方法,并且通過(guò)計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間等條件,將三種方法銜接,發(fā)揮三種方法的長(zhǎng)處,極大避免自適應(yīng)稀疏偽譜法在高維計(jì)算量時(shí)的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。通過(guò)算例,驗(yàn)證了所提方法的有效性。