李健雄

(莆田哲理中學(xué),福建 莆田 351100)

把數(shù)學(xué)變得更容易學(xué)習(xí),是張景中院士從20世紀(jì)70年代就開始思考并著手實(shí)踐的事情,這也是“教育數(shù)學(xué)”的來由.隨著教育信息化和數(shù)學(xué)學(xué)科信息技術(shù)的發(fā)展,為促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教與學(xué)的創(chuàng)新融合帶來了契機(jī).網(wǎng)絡(luò)畫板(前身是超級畫板)是最近幾年發(fā)展起來的數(shù)學(xué)學(xué)科專用的優(yōu)秀的信息技術(shù)平臺,是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開發(fā)共享的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室.筆者利用網(wǎng)絡(luò)畫板對2018年貴陽市中考的一道與點(diǎn)運(yùn)動路徑有關(guān)的試題進(jìn)行探究,采用“模型提取——解題關(guān)鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓(xùn)練”的形式,讓讀者知一型,悟一法.

1 試題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)m=3時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)DE=____,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍;

(3)連接BD,過點(diǎn)A作BD的平行線,與(2)中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F,當(dāng)m為何值時(shí),以A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形[1]?

圖1 中考題圖

2 模型提取

已知A,B,D三點(diǎn)確定(含m的式子),在拋物線上求一點(diǎn)F,當(dāng)m為何值時(shí),以A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

3 探究實(shí)驗(yàn)

第(2)問:如圖2所示,拖動變量尺m,觀察點(diǎn)D運(yùn)動的路徑,猜測這是什么函數(shù)的圖象.

第(3)問:如圖3所示,拖動變量尺m,觀察點(diǎn)F1,F2,F3(點(diǎn)F1,F2,F3是過△ABD的頂點(diǎn)分別作對邊平行線的交點(diǎn)),有幾次機(jī)會落在點(diǎn)D的路徑上.

圖2 m=4時(shí)

圖3 m=2.84

4 解題關(guān)鍵

(1)將m=3代入反比例函數(shù)解析式即可求出.

(2)本題用幾何方法從圖形上確定點(diǎn)D的運(yùn)動路徑很難,但點(diǎn)D的運(yùn)動是由字母m的變化引起的, 點(diǎn)D的坐標(biāo)和m之間就有著某種關(guān)聯(lián),可通過幾何關(guān)系建立二者的內(nèi)在聯(lián)系,可得到D的坐標(biāo)x和y關(guān)于m的關(guān)系式,消掉參數(shù)m即得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)雖然A,B,D三點(diǎn)隨m的變化而變化,但都可以用m的式子表示,把它看作定點(diǎn), 問題轉(zhuǎn)化成已知三定點(diǎn),求一點(diǎn)使這四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的問題.因?yàn)锽D∥AF,因此BD和AF是平行四邊形的對邊,即只有AD和AB是對角線兩種情況,可以通過構(gòu)造全等三角形,或平移前后對應(yīng)點(diǎn)在水平和堅(jiān)直方向上平移的距離相等,或平行四邊形兩組相對頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等,縱坐標(biāo)之和也相等解決.

5 完整解答

(2)如圖4所示,延長EA交y軸于點(diǎn)N.

圖4 第(2)問示意圖

∵DE∥y軸,

∴∠NCA=∠EDA,∠CNA=∠DEA=90°,∵AD=AC,∴△NCA?△EDA,

∴DE=CN.∵點(diǎn)A(m,m2-m),B(0,-m),

∴BN=m2-m-(-m)=m2,AN=m.在Rt△CAB中,AN⊥y軸,

∴△ANC～△BNA,∴AN2=CN·BN,

∴m2=CN·m2,∴CN=1,

∴DE=1,∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(2m,m2-m), 點(diǎn)D坐標(biāo)為(2m,m2-m-1).

(3)解法1 ∵x>2,

圖5 解法1示意圖

當(dāng)四邊形ABDF是平行四邊形時(shí),AF=DB.

∵FQ∥y軸,∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD,

∴∠HMF=∠HBD,∴∠AFQ=∠DBH,

∴△FQA?△BHD,∴AQ=DH=2m,FQ=BH,

∵D(2m,m2-m-1),B(0,-m),

∴BH=m2-m-1-(-m)=m2-1,

∴當(dāng)m=2時(shí),以A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

解法2 如圖6所示,分別過△ABD的頂點(diǎn)A,B,D作對邊的平行線交于點(diǎn)F1,F2,過點(diǎn)A作GH∥x軸,過點(diǎn)B作BI∥x軸,作F2H∥y軸,F1G∥y軸,交點(diǎn)分別為G,H,I.

∵四邊形ABDF1和四邊形AF2BD是平行四邊形,易證△AGF1?△AHF2?△BID,

∴F1G=HF2=DI,AG=HA=BI.

∵x>2,A(m,m2-m),B(0,-m),D(2m,m2-m-1),設(shè)F1(xF1,yF1),F2(xF2,yF2),

圖6 解法2示意圖

①當(dāng)四邊形ABDF1是平行四邊形時(shí),有

即F1(3m,2m2-m-1).

解得m=2或m=0(舍去).

②當(dāng)四邊形AF2BD是平行四邊形時(shí),有

即F2(-m,1-m).∵m>1,∴-m<-1.

綜上所述, 當(dāng)m=2時(shí), 以A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

6 解后反思

本題為代數(shù)幾何綜合題,考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形判定及用字母表示坐標(biāo),熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)知識、利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．

當(dāng)用幾何方法難以確定動點(diǎn)運(yùn)動路徑時(shí),一般用相似(全等)或線段間的數(shù)量關(guān)系得出動點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間滿足的關(guān)系,即把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后從函數(shù)的關(guān)系入手.

在日常教學(xué)或者解題教學(xué)中,遇到動點(diǎn)的路徑問題,教師應(yīng)該借助網(wǎng)絡(luò)畫板、超級畫板、幾何畫板或者GGB等軟件,做動畫給學(xué)生展示動點(diǎn)的運(yùn)動過程,讓“靜”的幾何元素“動”起來,不僅形象生動,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力,提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

7 鞏固訓(xùn)練

(2021年銅仁市中考題)如圖7,E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的動點(diǎn),滿足AE=BF,連接CE,DF,相交于點(diǎn)G,連接AG,若正方形的邊長為2,則線段AG的最小值為____.

圖7 鞏固訓(xùn)練題圖