卓世晨

【摘? 要】? 函數(shù)零點問題歷來是高考的重點、難點，函數(shù)的零點個數(shù)、有解無解、恒成立等問題更是讓學(xué)生感到困惑，這類問題的嚴(yán)謹(jǐn)推理過程往往變量較多、運(yùn)算量較大、推理較復(fù)雜，但如果運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法來進(jìn)行探究，思路往往比用代數(shù)計算簡單得多.本文以兩道例題對數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行一些思考.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；函數(shù)的零點；數(shù)形結(jié)合

1 基于高考試題的多角度解題策略分析

例1? （2017全國3卷11）已知函數(shù)有唯一零點，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D）1.

1.1? 函數(shù)與方程

解法1? 對求導(dǎo)，

，，

，

當(dāng)時，恒成立.

所以單調(diào)遞增，

又因為，

所以在上，，在上，.

所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.

，

所以.

解法1是通過對原函數(shù)的求導(dǎo)探究原函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)來解決給定零點個數(shù)的問題.這種解法思路上較為直接，但是求導(dǎo)過程的難易因題目所給函數(shù)的不同會產(chǎn)生較大的差異性.我們不妨開拓思路，嘗試從圖象的角度出發(fā)探索更為簡單直接的解題方法.

1.2? 函數(shù)的性質(zhì)

解法2? 觀察，

發(fā)現(xiàn)，

即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，

又因為有唯一零點，

所以其對稱軸處即為零點，

即，.

解法2相較解法一在計算量上有了很大程度的減少，其關(guān)鍵點在于引導(dǎo)學(xué)生在面對一個復(fù)雜函數(shù)的時候，不急于求導(dǎo)，而是要能夠通過觀察解析式得到函數(shù)的性質(zhì)，再通過函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)零點問題進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

1.3? 數(shù)形結(jié)合

解法3? 依題意得函數(shù)有唯一零點，

即方程有唯一解有唯一解.

令，

，

即與有一個交點，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，.

②當(dāng)時，，，兩個函數(shù)沒有交點，

②當(dāng)時，當(dāng)前僅當(dāng)時，與有一個交點，此時.

解法3是將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)問題再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題.由于轉(zhuǎn)化出的兩個函數(shù)均是學(xué)生非常熟悉的初等函數(shù)，學(xué)生能夠很好地把握住函數(shù)圖象的特點，也就能大大地減少運(yùn)算量，提升解題的速度.

2? 零點問題教學(xué)中對培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的思考

例2? （2019新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊156頁，第13題改編）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

解題思路? 引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)解析式，從中分離出常見函數(shù)，利用函數(shù)圖象的變化規(guī)律解決問題.

（1）識別函數(shù)：當(dāng)時，為一次函數(shù)；當(dāng)時，為二次函數(shù).

（2）識別函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)時，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在零點；

（3）當(dāng)時，二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置均含參數(shù)，無法確定.

思考解題策略? （1）直接從二次函數(shù)的角度來解答，則需要討論的有二次函數(shù)的開口方向；對稱軸的位置；零點的類型.由此引發(fā)的討論情況較多，且容易由于討論不完全而導(dǎo)致遺漏可能結(jié)果的情況.（2）將函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即在內(nèi)有一個實數(shù)解.再進(jìn)一步將其分離為兩個初等函數(shù) ，即，，繪制出兩個函數(shù)圖象，使其在存在一個交點，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

解題策略的選擇? 將在內(nèi)恰有一個零點的問題，轉(zhuǎn)化為兩個初等函數(shù)的在內(nèi)有一個交點，避開了復(fù)雜的分類討論，利用初等函數(shù)的圖象，更加直觀地解決了問題.

3? 結(jié)語

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)有兩大模塊，即數(shù)與形，眾所周知，“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.所以在教學(xué)過程中我們要培養(yǎng)學(xué)生“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”的能力，體會數(shù)形相生，相輔相成.而要能夠熟練地將數(shù)與形結(jié)合在一起，就必須培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)，能夠應(yīng)用幾何直觀和空間的想象來感受物體的變化，根據(jù)圖形的變化分析數(shù)學(xué)問題，以此促使學(xué)生建立數(shù)和形的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)思維能力.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]羅新兵.數(shù)形結(jié)合的解題研究：表征的視角[D].上海：華東師范大學(xué)，2005.

[3]陳益周.數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐研究[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報，2015，31（04）：165-166.