梁平

【摘? 要】? 三角函數(shù)是研究循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，本文在三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上以課堂實錄的方式呈現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的研究過程，提供研究函數(shù)圖象的基本步驟和具體實例，通過學(xué)生自主探究與合作探究，增強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【關(guān)鍵字】? 正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；核心素養(yǎng)

深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的核心價值，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程——這是筆者教學(xué)設(shè)計的根本宗旨.本節(jié)課教學(xué)的重點是正弦函數(shù)圖象的繪制，設(shè)計的一大亮點就是由研究函數(shù)的一般過程入手，引導(dǎo)學(xué)生自主繪制正弦函數(shù)圖象，難點放在三角函數(shù)橫縱坐標(biāo)為無理數(shù)的解決上，利用三角函數(shù)定義、數(shù)形結(jié)合的思想，突破難點，在過程中體會三角函數(shù)的本質(zhì)，點的選取與繪制成為理解定義應(yīng)用定義的重要載體.以圖象繪制為依據(jù)，體會函數(shù)圖象的描點、平移，簡化作圖等綜合處理過程，以數(shù)學(xué)思想方法為依托，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本單元正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)在本章的位置如圖1所示.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識，對于它們的研究基本遵從函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路，可以類比、對比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等展開研究：定義—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用.

在弧度制下，任意角的集合和實數(shù)集建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，為三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義為圖象的繪制提供了條件，圖象又對后期研究函數(shù)的性質(zhì)提供的方法和依據(jù).

理解角度作為自變量與實數(shù)是一一對應(yīng)的，以本節(jié)數(shù)學(xué)知識作為載體，為滲透類比的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想，還有提高數(shù)學(xué)推理論證能力、幾何直觀能力、代數(shù)運算都提供了很好的契機(jī).

探究點的確定與選取過程中，樹立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神；系統(tǒng)地思考如何將定義在單位圓中三角函數(shù)的定義利用幾何直觀與代數(shù)運算繪制到平面直角坐標(biāo)系下，體會幾何圖形在精確處理無理數(shù)的應(yīng)用，問題處理的必要性、合理性、優(yōu)越性；同時，利用五點作圖培養(yǎng)學(xué)生簡化數(shù)學(xué)問題，以及在五點作圖中體會點的對應(yīng)在函數(shù)以及函數(shù)圖象上的重要地位，通過正余弦函數(shù)的沒再聯(lián)系繪制余弦函數(shù)圖象體現(xiàn)了劃歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生間相互交流，取長補(bǔ)短，形成良好課堂學(xué)習(xí)氛圍，達(dá)到學(xué)生主動、全面、健康發(fā)展.

引發(fā)學(xué)生在問題的發(fā)現(xiàn)與解決中進(jìn)行思維活動，使學(xué)生在思考、討論、交流中經(jīng)歷每個問題的產(chǎn)生和解決過程.

分為以下四個教學(xué)環(huán)節(jié)：

1? 情境引入

1.1? 觀察現(xiàn)實世界中的周而復(fù)始現(xiàn)象

現(xiàn)實世界中普遍存在周而復(fù)始的現(xiàn)象，比如沙漏在重力的作用下在鉛錘面內(nèi)做周期擺動，此時如果勻速地拉動紙板，紙板上就會留下一條連續(xù)光滑的曲線，這條曲線也從一個側(cè)面反映了沙漏的擺動特征.我們知道三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的一類特殊的函數(shù)模型，那么它與這條連續(xù)光滑的曲線是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢？帶著這個問題，我們開始繼續(xù)研究三角函數(shù).

設(shè)計意圖? 讓學(xué)生體會三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的實例特征，初步感知圖象變化，自然引出函數(shù)圖象的研究.

1.2? 類比指對冪函數(shù)的研究經(jīng)驗

我們在定義給出之后，可以畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象特征，獲得函數(shù)性質(zhì)的一些結(jié)論.在三角函數(shù)中，我們發(fā)現(xiàn)單位圓上任意一點旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一現(xiàn)象也可以用公式（一）來表示，這說明自變量每增加或減少個單位三角函數(shù)的函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，利用這一特征就可以簡化三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過程.

1.3? 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象

利用類比函數(shù)的研究思路，自然引出這節(jié)課的重點內(nèi)容，熟悉函數(shù)研究的一般路徑.在研究之初就強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)周而復(fù)始的特征，為所有三角函數(shù)的研究提供簡化的依據(jù).

2? 問題導(dǎo)入

問題1

師? 首先來看正弦函數(shù)，用角的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)來定義正弦函數(shù)，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)單位圓上任意一點旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一現(xiàn)象也可以用公式一來表示，這說明自變量每增加或減少個單位三角函數(shù)的函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，利用這一特征，在繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的圖象有什么幫助呢？

生? 不必畫出整個定義域上的圖象，只需要畫出的圖象即可.

問題2

師? 那請同學(xué)們試著畫出，的圖象，體會它與以往函數(shù)的繪制有何不同？

生? 選取特殊點，但是繪制的時候會出現(xiàn)無理數(shù)，不容易繪制準(zhǔn)確位置.

設(shè)計意圖? 引起研究沖突，由于正弦函數(shù)的點基本都是無理數(shù)，在繪制過程中會當(dāng)取值時，的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難精確做出圖象，認(rèn)識新函數(shù)的圖象的真實面貌，代數(shù)無法解決準(zhǔn)確繪制的問題，只能從幾何入手.

問題3

師? 如何在直角坐標(biāo)系內(nèi)，精確畫出正弦函數(shù)上任意一點？先從一個具體點開始研究.以點為例，對于橫坐標(biāo)，代數(shù)無法解決，將會從哪個方向入手解決？

生? 利用幾何回歸定義，利用單位圓解決.

設(shè)計意圖? 培養(yǎng)學(xué)生遇到問題首先回歸定義尋找突破的意識，然后觀察自變量及將函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數(shù)上任意一點的幾何轉(zhuǎn)化.

問題4

師? 在單位圓中是一個角度，在坐標(biāo)系下是一個長度，如何將角度轉(zhuǎn)化為長度？

生? 利用弧度制進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

問題5

師? 有了具體一點的繪制，如何繪制任意一點，我們在軸上任取一點，如何找到它的縱坐標(biāo)的準(zhǔn)確位置？

生? 實際動手操作.

設(shè)計意圖? 觀察自變量及函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數(shù)上任意一點，學(xué)生的難點在于在直角坐標(biāo)系下，是一個點的橫坐標(biāo)，但在單位圓中的它是一個弧度制的角，無法建立聯(lián)系，可以從各自的幾何意義入手尋找解決途徑.給一些工具，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的主動性，體會單位圓中正弦函數(shù)的定義，體會正弦函數(shù)上任一點的繪制方法和數(shù)形結(jié)合的重要應(yīng)用，更加深入的理解點與三角函數(shù)的定義的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.

問題6

師? 我們已經(jīng)學(xué)會了繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個點，你能制定一個方案，畫出在上的圖象嗎？

生? （1）找一些特殊點，然后利用上面找點的方法逐一描點，然后連線；

（2）把單位元進(jìn)行等分，將坐標(biāo)軸上線段進(jìn)行對應(yīng)等分，再平移縱坐標(biāo)描點；

（3）找上的一些特殊點，利用單位圓的對稱性得到各個區(qū)間上的圖象.

設(shè)計意圖? 充分體驗取點作圖過程，從中感受正弦函數(shù)在單位圓中的對稱性，簡化作圖過程.

師? 可以用信息技術(shù)，在取足夠多的點，并將這些點用光滑的曲線連接起來，得到比較精確的函數(shù)在上的圖象.

設(shè)計意圖? 信息技術(shù)可以達(dá)到動點成線的直觀效果，使學(xué)生進(jìn)一步理解任意一點與整體圖形之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理.

問題7

師? 根據(jù)正弦函數(shù)在的圖象，你能得到正弦函數(shù)在整個定義域上的圖象嗎？你的依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖? 從到實數(shù)集的延伸，是從有限到無限的推廣過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理與直觀想象.

師? 圖象完全一致，所以我們就可以不斷將函數(shù)圖象向左向右，無限延伸.

這就是正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條波浪起伏的連續(xù)光滑曲線.

問題8

師? 對于函數(shù)的研究能夠快速又準(zhǔn)確地做出其簡圖，往往起到重要的作用，你能抓住那些關(guān)鍵點確定正弦函數(shù)在上的簡圖嗎？

設(shè)計意圖? 在精度要求不高的前提下，五點法作圖起到關(guān)鍵作用關(guān)鍵點的選取和對應(yīng)是這個問題的關(guān)鍵，而點的對應(yīng)關(guān)系是解決整個問題的重要節(jié)點.最大值點最小值點與軸的交點，有了這些點就可得到圖象的大致形狀了.

問題9

師? 有正弦函數(shù)的圖象，你能得到余弦函數(shù)圖象嗎？

設(shè)計意圖? 縱坐標(biāo)變成橫坐標(biāo)畫圖的時候就不那么容易實現(xiàn)了，引導(dǎo)學(xué)生通過正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化.

師? 當(dāng)然有些同學(xué)想到再用定義去繪制余弦函數(shù)圖象非常好，但是繪制的難度會增大，所以在解決一個新的問題的時候我們不僅需要回歸定義，更要利用已有的知識解決新的問題，這種化歸的思想在數(shù)學(xué)問題的解決中起到了非常重要的作用.

問題10

師? 你能用點的坐標(biāo)，解釋這種平移變換嗎？

設(shè)計意圖? 從代數(shù)形式上點的坐標(biāo)解釋圖象變換，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移的本質(zhì)點在，點就在.

問題11

師? 類似于五點法作正弦函數(shù)圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡圖，選取哪個區(qū)間比較合理，取哪些關(guān)鍵點呢？

設(shè)計意圖? 通過類比讓學(xué)生掌握余弦函數(shù)圖象特征，并再次體會五點法作圖.

3? 概念的鞏固應(yīng)用

例1? 畫出下列函數(shù)的簡圖.

（1）；

（2）.

設(shè)計意圖? 利用已有知識研究新函數(shù)的繪制，可以鞏固五點作圖，圖象變換.

4? 回顧小結(jié)鞏固延伸

通過函數(shù)的一般研究過程，引出了正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖像繪制的需求，我們利用定義突破了正弦函數(shù)任意一點的繪制的難點，體會了回歸定義的必要性，通過選取具體的足夠量的點得到了正弦函數(shù)在上的圖象，又利用正弦函數(shù)周而復(fù)始的特性得到了整個定義域上的圖象，隨后通過選取關(guān)鍵點學(xué)會用五點作圖法得到正弦函數(shù)的簡圖，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，利用已有知識解決了未知問題，實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化.最終繪制了正余弦函數(shù)的圖象，為今后研究性質(zhì)做好鋪墊.

5? 結(jié)語

正余弦函數(shù)圖象的繪制在研究三角函數(shù)的過程中起到非常重要的作用，根據(jù)函數(shù)研究的一般路徑，有了函數(shù)定義之后必定要繪制函數(shù)圖象，這是函數(shù)研究的必經(jīng)之路，為性質(zhì)的研究提供依據(jù)，但正余弦函數(shù)圖象的繪制，與之前函數(shù)圖象的繪制最大的不同是無法沿用之前的描點法，而需要利用幾何描點法來解決無法準(zhǔn)確確定繪制無理數(shù)的問題，本節(jié)課利用三角函數(shù)在單位圓中的定義，借助弧度制引導(dǎo)學(xué)生尋找角度與線段長度之間的關(guān)系，利用幾何描點法實現(xiàn)突破.在解決了任意一點的準(zhǔn)確繪制問題，下一個難點就是利用等分的方法繪制足夠多的點.因為本班學(xué)生發(fā)散思維比較好，在繪制的過程中有些同學(xué)想到了用三角函數(shù)的對稱性大大簡化繪制過程.利用正余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系得到余弦函數(shù)圖象，體現(xiàn)了知識之間的相互聯(lián)系.這種方法也為之后繪制復(fù)雜的三角函數(shù)提供了思路.表面上本節(jié)課是在繪制函數(shù)圖象，但中間蘊(yùn)含了豐富的思想方法，包含了邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，直觀想象等多個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對學(xué)生提升解決數(shù)學(xué)問題的能力起到非常重要的作用.

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