文｜康長(zhǎng)華

數(shù)學(xué)是一門(mén)既抽象又具體的學(xué)科，引入數(shù)形結(jié)合思想，能將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的圖形相結(jié)合，通過(guò)直觀的圖形幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響。

一、以形助思，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)概念是課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”課程教學(xué)中，對(duì)于“分?jǐn)?shù)”概念的講解，教師可以利用圓形或正方形的模型，將分?jǐn)?shù)概念具化為實(shí)際的物體，幫助學(xué)生形成分?jǐn)?shù)的視覺(jué)化認(rèn)知。

第一步，引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)過(guò)的整數(shù)知識(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧整數(shù)的基數(shù)、大小比較等知識(shí)點(diǎn)，為認(rèn)識(shí)、理解分?jǐn)?shù)做好基礎(chǔ)知識(shí)鋪墊，將整數(shù)知識(shí)和分?jǐn)?shù)知識(shí)聯(lián)系，建立更完整的知識(shí)體系。

第二步，引入分?jǐn)?shù)概念引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)的基數(shù)概念，讓學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的基數(shù)可以看作是整體的“部分”數(shù)量，使學(xué)生比較容易理解分?jǐn)?shù)的概念和意義，促進(jìn)對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

第三步，將模型分發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生用標(biāo)記筆將其平均分成4 份，其中的一份就表示，學(xué)生觀察模型布局，教師拿出其中個(gè)圓形模型并順勢(shì)引入分?jǐn)?shù)的概念，寫(xiě)出，并解釋它的含義。第四步，展示不同形狀的，如圓形、正方形、長(zhǎng)方形等，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的普遍性，在學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)有了初步認(rèn)識(shí)后，教師可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，幫助學(xué)生更深入地理解分?jǐn)?shù)的概念，明白分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用。

教師可以利用圖形比較概念。對(duì)于一些相似的數(shù)學(xué)概念，教師可以利用圖形進(jìn)行比較，幫助學(xué)生區(qū)分它們的異同點(diǎn)。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形的運(yùn)動(dòng)”課程中容易對(duì)“軸對(duì)稱”和“中心對(duì)稱”兩個(gè)概念混淆，教師可以利用一個(gè)軸對(duì)稱圖形和一個(gè)中心對(duì)稱圖形進(jìn)行比較，讓學(xué)生更清晰地理解它們的區(qū)別。

第一步，準(zhǔn)備一些軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的折紙進(jìn)行示例，教師展示一個(gè)正方形（軸對(duì)稱），一個(gè)圓形（中心對(duì)稱），將正方形沿著一條對(duì)角線對(duì)折，讓學(xué)生觀察折紙后的圖形，并讓學(xué)生思考這個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊后直線兩旁的部分是否重合。

第二步，把一個(gè)圓形沿著一條直徑對(duì)折，讓學(xué)生觀察折紙后的圖形，并讓學(xué)生思考這個(gè)圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，前后圖形是否重合。

第三步，在展示和折紙實(shí)驗(yàn)之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個(gè)圖形的異同點(diǎn)，軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊后兩側(cè)圖形能夠完全重合，而中心對(duì)稱圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，前后圖形能夠完全重合。借助具體的圖形展示助推學(xué)生對(duì)知識(shí)、概念的理解，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化的意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生可以更清晰地區(qū)分“軸對(duì)稱”和“中心對(duì)稱”的概念，并通過(guò)圖形比較進(jìn)一步加深對(duì)它們異同點(diǎn)的理解，也能提高學(xué)生的辨別能力和獨(dú)立思考能力。

通過(guò)圖形可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，以形助思的方式，將數(shù)學(xué)問(wèn)題中的文字描述、數(shù)量關(guān)系靈活地轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、直觀化的圖形，幫助學(xué)生更好地理解題意，從而更快地找到解題思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)散思維能力和解決問(wèn)題的能力，有效地提高教學(xué)質(zhì)量和數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效果。

二、以形推數(shù)，提高學(xué)生的解題能力

圖形具有直觀性，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問(wèn)題，使學(xué)生更容易理解題目中的信息和問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖等方式可以幫助學(xué)生更好地理解題意，找到問(wèn)題的突破口。通過(guò)將圖形與數(shù)學(xué)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，可以幫助學(xué)生更好地掌握解題方法，提高解題能力。教師可以讓學(xué)生用圖形化工具（如數(shù)位圖、方格圖等）來(lái)驗(yàn)證自己的答案，從而提高解題的準(zhǔn)確性。

例如，在“圖形的運(yùn)動(dòng)（二）”教學(xué)中，為了讓學(xué)生了解平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形的基本運(yùn)動(dòng)方式，教師可以讓學(xué)生觀察和操作圖形，預(yù)測(cè)和描述它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中的變化，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的觀察、推理和解決問(wèn)題的能力。教師在課前需要準(zhǔn)備教學(xué)工具：（1）多個(gè)圖形模型，如正方形、矩形、圓形等。（2）準(zhǔn)備平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形運(yùn)動(dòng)的練習(xí)題和相關(guān)教具，如透明紙、圖形卡片等。實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中，教師可以展示一個(gè)圖形，并問(wèn)學(xué)生這個(gè)圖形有什么特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生討論圖形的運(yùn)動(dòng)方式。再出示一個(gè)正方形模型，讓學(xué)生通過(guò)手動(dòng)操作將其平移，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并描述圖形在平移過(guò)程中位置的變化。接著，出示其他不同形狀的圖形模型，如矩形、圓形等，讓學(xué)生進(jìn)行平移操作，并觀察、描述圖形的位置變化。學(xué)生對(duì)“平移”有了基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)后，教師可以讓學(xué)生動(dòng)手操作正方形模型，將其旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察并描述圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變化。教師分發(fā)其他不同形狀的圖形模型，讓學(xué)生進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，并觀察、描述圖形的變化特點(diǎn)。

在此基礎(chǔ)上，教師給出練習(xí)題“將圖形A 按照規(guī)定的運(yùn)動(dòng)方式移動(dòng)到圖形B 的位置”，提供一些實(shí)際生活中的情境問(wèn)題，如“小明把一個(gè)長(zhǎng)方形蛋糕切成正方形塊，請(qǐng)你觀察這些塊在移動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生什么變化”，根據(jù)所學(xué)的平移、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)規(guī)則，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖形的形狀和位置變化，運(yùn)用推理來(lái)回答問(wèn)題。學(xué)生可以通過(guò)實(shí)際操作和觀察圖形的變化，深入理解圖形的運(yùn)動(dòng)方式，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形變化的直觀感知能力，提高學(xué)生解決與圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)問(wèn)題的能力。

三、數(shù)形相融，強(qiáng)化學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識(shí)

小學(xué)生處于形象思維為主的階段，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和算法的理解存在一定的困難，并且自主學(xué)習(xí)能力較弱，缺乏獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力。教師將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象生動(dòng)的圖形和動(dòng)畫(huà)，符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

“雞兔同籠”是典型的數(shù)學(xué)題目，在《孫子算經(jīng)》里，雞兔同籠問(wèn)題被叫作雉兔同籠問(wèn)題，原文為：今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)：雉、兔各幾何？雞兔同籠的解決方法非常多，這一課程的學(xué)習(xí)需要通過(guò)假設(shè)、利用想象來(lái)求解，能更好地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力與自主探索能力。在引導(dǎo)學(xué)生解決一些涉及數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師可以借助直觀圖形，幫助學(xué)生理解題意。將問(wèn)題中的文字轉(zhuǎn)化為圖形，以便更好地理解題意，如解決關(guān)于相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題等應(yīng)用題時(shí)，教師可以讓學(xué)生用線段圖來(lái)顯示題目中的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生清晰地理解問(wèn)題。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，學(xué)生可以從圖形的轉(zhuǎn)換中發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律，拓展不同的解題思路。在教學(xué)中采用線段圖的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，教師先用線段表示雞和兔，空白的線段代表雞的只數(shù)，陰影線段代表兔的只數(shù)。

圖1

已知，一只雞2 只腳，一只兔子4 只腳，在上圖的基礎(chǔ)上，向外拓展一下，形成下面的圖形：

圖2

可見(jiàn)，空白區(qū)域的面積等于雞×2，即雞的腳數(shù)，陰影區(qū)域的面積等于兔×4，即兔子的腳數(shù)。這里有一個(gè)條件：雞和兔子的數(shù)量一共是35 只，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建出下面的圖形：

圖3

從上圖可以計(jì)算出35×4=140，是整個(gè)圖形的面積，從上面的分析中可以知道，多出來(lái)的陰影部分面積等于140-94=46，而這個(gè)長(zhǎng)方形的寬=4-2=2，那么長(zhǎng)就應(yīng)該等于46÷2=23，也就是雞的數(shù)量，進(jìn)而得出兔子的數(shù)量是35-23=12 只。

這種方法不僅計(jì)算快，還為學(xué)生拓寬了求解雞兔同籠問(wèn)題的視野，從呆板單一的數(shù)字運(yùn)算中，輕松地過(guò)渡到圖形的世界之中，對(duì)于啟發(fā)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力非常有幫助。這一課程對(duì)三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果按照課本的知識(shí)點(diǎn)來(lái)講解，部分學(xué)生能夠聽(tīng)懂，但是用面積的方法來(lái)講，更容易看懂，這種方法利用了數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)質(zhì)是面積概念中的“積”的應(yīng)用，所謂的積就是兩個(gè)數(shù)相乘，從算式來(lái)看，就是35×4，從圖形來(lái)看，就是長(zhǎng)35，寬4 的一個(gè)長(zhǎng)方形的圖形面積，學(xué)生可以用圖形的面積來(lái)代表兩個(gè)數(shù)的乘積，讓學(xué)生親身體驗(yàn)雞兔同籠問(wèn)題的解法，解決問(wèn)題的同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究積極性，使學(xué)生能夠自主地進(jìn)行反思，拓展更多的解題思路和方法，從而讓學(xué)生養(yǎng)成自主探究、主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

四、以圖為引，鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力

教師可以將數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式應(yīng)用于課堂作業(yè)設(shè)計(jì)，借助圖形元素，學(xué)生可以更快地找到解題思路，提高解題速度和效率，并且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。通過(guò)觀察和分析學(xué)生的解題過(guò)程，教師可以更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和問(wèn)題，并及時(shí)進(jìn)行反饋與調(diào)整。以“圖形的運(yùn)動(dòng)（二）”為例，引導(dǎo)學(xué)生感知平移，在觀察圖形、具體操作圖形的過(guò)程中，理解平移的特點(diǎn)，發(fā)展空間觀念，具體設(shè)計(jì)如下。

（一）畫(huà)一畫(huà)

1.畫(huà)出左圖的另一半，使其成為軸對(duì)稱圖形。

圖4

2.先畫(huà)出小樹(shù)向上平移6 格后的圖形。再畫(huà)出繼續(xù)向右平移12 格后的圖形。

圖5

本部分是預(yù)習(xí)作業(yè)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為新課學(xué)習(xí)鋪路搭橋，通過(guò)課前作業(yè)的反饋，教師能分析、了解學(xué)生的學(xué)情，找準(zhǔn)學(xué)生的新知生長(zhǎng)點(diǎn)。

（二）拼一拼，算一算

假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)為4 cm，寬為3 cm 的長(zhǎng)方形木板，如下圖所示，現(xiàn)在我們需要將其分割成若干個(gè)1 cm×1 cm 的小正方形。

?問(wèn)題：（1）這個(gè)長(zhǎng)方形木板可以分割成多少個(gè)小正方形？（2）如果我們將其中的一部分小正方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，新長(zhǎng)方形的面積是多少？

圖6

?解題分析：根據(jù)長(zhǎng)方形木板的尺寸，可以計(jì)算出其面積是4×3=12 cm2。由于每個(gè)小正方形的面積為1 cm2，因此這個(gè)長(zhǎng)方形木板可以分割成12 個(gè)小正方形。如果將其中一部分小正方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，那么這個(gè)新長(zhǎng)方形的面積一定是12 的因數(shù)。

本題方法多樣，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，給予學(xué)生開(kāi)拓創(chuàng)新的空間。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合，以圖形形式展示數(shù)學(xué)問(wèn)題，以增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。教師在應(yīng)用過(guò)程中，需要充分發(fā)揮引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作用，營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)氛圍，組織學(xué)生進(jìn)行解決問(wèn)題、發(fā)散思維等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造力，以提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率。