張 云,辛 巧,2

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

由KELLER和SEGEL[1]于1970年提出的Keller-Segel模型(簡(jiǎn)稱經(jīng)典的K-S模型)是經(jīng)典的生物趨化性模型之一,經(jīng)典的K-S模型描述了細(xì)菌團(tuán)在趨化吸引下的聚合行為.目前,經(jīng)典的K-S模型已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,關(guān)于解的存在性、有界性、爆破行為、漸近行為以及弱解已取得了一系列研究成果[2-8].在此基礎(chǔ)上,由于許多趨化模型的化學(xué)信號(hào)不能直接由細(xì)胞自身直接產(chǎn)生,因此對(duì)于經(jīng)典的K-S模型,具有間接信號(hào)以及Logistic源的研究是有意義的,如STROHM等[9]提出了一個(gè)北美物種山地松甲蟲(chóng)通過(guò)啃食樹(shù)體的方式破壞生態(tài)平衡,山地松甲蟲(chóng)會(huì)在樹(shù)上筑巢產(chǎn)卵分泌信息素以吸引飛行的山地松甲蟲(chóng),但飛行中的山地松甲蟲(chóng)不會(huì)直接釋放信息素,從而許多數(shù)學(xué)工作者考慮如下具有間接信號(hào)生成且?guī)в蠰ogistic源的趨化模型:

(1)

假設(shè)D(u)=(u+1)-α,S(u)=u(u+1)β-1,且f(u)=μu-μu2,其中α,β∈.對(duì)于f(u)=μu-μu2的情況,當(dāng)N=3,D(u)=1,S(u)=u時(shí), HU和TAO[10]證明了模型(1)的唯一經(jīng)典解是一致有界的.同時(shí),若則當(dāng)t→∞時(shí)該模型的解在L∞(Ω)的范數(shù)下收斂于平衡點(diǎn)

受以上研究結(jié)果的啟發(fā),本文討論具有間接信號(hào)生成以及Logistic源的生物趨化模型:

(2)

(3)

本文的主要結(jié)果如下:

定理1當(dāng)N=4,δ>τ時(shí),且模型(2)的初值(u0,v0,w0)滿足(3)式,且非負(fù)函數(shù)u,v和w在Ω×(0,∞)上有界,則對(duì)任意的t>0,存在常數(shù)C>0,使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)≤C,

(4)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 假設(shè)非負(fù)函數(shù)u0,v0和w0滿足式(3),則存在Tmax∈(0,∞]和非負(fù)函數(shù)(u,v,w)滿足:

(5)

進(jìn)一步地,若Tmax<+∞,則當(dāng)t→Tmax時(shí),有

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)→+∞.

(6)

根據(jù)以上存在性理論,對(duì)任意的s∈(0,Tmax),有

(7)

因此,不失一般性,假設(shè)存在C>0,使得

(8)

引理2 存在正常數(shù)C1>0,滿足式(2)和式(3),使得對(duì)任意的t∈(0,Tmax),有

(9)

引理3 假設(shè)

(10)

2 趨化模型解的有界性估計(jì)

(11)

(12)

其中,ε是充分小的正數(shù).

證明 設(shè)

根據(jù)文獻(xiàn)[14],可以得到

(13)

為了估計(jì)式(13)右邊第一項(xiàng),借助Young不等式,對(duì)于任意的t∈(0,Tmax),有

設(shè)

(14)

其中,ρ0的定義見(jiàn)(9)式.

由式(14),結(jié)合Young不等式,對(duì)于任意的t∈(0,Tmax),有

(15)

將(15)代入式(13),對(duì)于任意的t∈(0,Tmax),可得

(16)

對(duì)于任意的t∈(0,Tmax),且對(duì)(16)結(jié)合常數(shù)變易法,有

(17)

其中,

除此之外,對(duì)于任意的t∈(0,Tmax),有

(18)

接下來(lái),在模型(2)的第三個(gè)方程的兩邊同乘wp,并在Ω上積分,對(duì)于任意的s∈(0,Tmax),δ,τ>0,存在正數(shù)C5>0,使得

則

(19)

對(duì)于任意的s∈(0,Tmax),對(duì)式(19)運(yùn)用常數(shù)變易法,有

為了方便計(jì)算,設(shè)

根據(jù)Fubini定理,可得

當(dāng)C7<0,有

(20)

將式(20)代入式(18),有

(21)

接下來(lái),將式(21)代入式(17),結(jié)合引理3,可得

其中,

因此引理4得證.

基于之前的估計(jì),對(duì)于任意的l>N,可以得到‖u(·,t)‖Ll(Ω)的有界性.

引理5的證明過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14].

定理1的證明結(jié)合以上引理4和引理5,首先根據(jù)‖u‖Lp(Ω)先驗(yàn)估計(jì),與‖w‖Lp+1(Ω)估計(jì)進(jìn)行耦合,結(jié)合常數(shù)變易法以及拋物正則性理論,得到了在適當(dāng)參數(shù)的范圍內(nèi),‖u‖Lp(Ω)和‖w‖Lp+1(Ω)是有界的,再結(jié)合引理1,可得模型(2)的全局經(jīng)典解是有界的,從而完成了定理1的證明.

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了具有間接信號(hào)生成且?guī)в蠰ogistic源的生物趨化模型的解的全局有界性,通過(guò)進(jìn)行適當(dāng)?shù)南闰?yàn)估計(jì),并利用常數(shù)變易法證明了該模型經(jīng)典解在適當(dāng)參數(shù)范圍內(nèi)是全局存在且唯一的,得到了高維情形下該模型的全局經(jīng)典解是有界的．