姜一帆,陸媛媛

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

近年來,老年人口規(guī)模龐大,根據(jù)我國人口最新數(shù)據(jù)調(diào)查顯示,2021年全國總?cè)丝诩s為14.12億人,其中60歲以上老齡人口約為2.64億,占全國人口的18.7%,相較2010年上升幅度提高了5.44個(gè)百分點(diǎn),65歲以上人口約為1.91億,占全國人口的13.5%.中國發(fā)展基金會(huì)在低預(yù)測(cè)情形下,預(yù)計(jì)我國2032年左右進(jìn)入占比超20%的“超級(jí)老齡化社會(huì)”.隨著空巢家庭逐漸增多,家庭養(yǎng)老功能顯著弱化,逐年增大的老年人群體特別關(guān)注養(yǎng)老問題,對(duì)養(yǎng)老服務(wù)、社會(huì)福利、醫(yī)療保健等方面的需求越來越大,提升對(duì)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的重視程度是解決養(yǎng)老問題的努力方向.截止到2021年末,全國各類養(yǎng)老機(jī)構(gòu)數(shù)量達(dá)4.2萬,床位數(shù)達(dá)501.6萬.為更好拓寬養(yǎng)老服務(wù)市場(chǎng),保證公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)共存,政府給予民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)許多優(yōu)惠政策和補(bǔ)貼激勵(lì),在機(jī)構(gòu)達(dá)到老年人基本養(yǎng)老要求的同時(shí),政府不斷完善多種補(bǔ)貼機(jī)制.

隨著我國老齡化趨勢(shì)愈來愈嚴(yán)峻,養(yǎng)老服務(wù)需求急速上漲,政府、公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)都希望老人享受更好的服務(wù).但如今,類比公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)收費(fèi)價(jià)格偏高等因素導(dǎo)致民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)存在入住率低、維持困難等問題,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)自身很難解決這些問題,此時(shí)就需要依靠政府給予適當(dāng)?shù)难a(bǔ)貼以保證公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)協(xié)調(diào)共存.為了激勵(lì)老年人選擇民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),政府對(duì)入住民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人發(fā)放優(yōu)越的基準(zhǔn)補(bǔ)貼,從而提高入住量,因此研究政府補(bǔ)貼下公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)服務(wù)水平是十分必要的.

人口老齡化是全球面臨的共同課題.許多國家很早就已經(jīng)步入人口老齡化行列,為健全養(yǎng)老社會(huì)體系,激發(fā)養(yǎng)老市場(chǎng)的潛力,各國紛紛建立有效的養(yǎng)老機(jī)構(gòu)扶持補(bǔ)貼機(jī)制.養(yǎng)老機(jī)構(gòu)獲得補(bǔ)貼受哪些條件的影響,補(bǔ)貼方制定怎樣的補(bǔ)貼政策以及補(bǔ)貼政策帶來的最終成果是重要的研究方向.目前,利用博弈方法探究政府補(bǔ)貼[1]的文獻(xiàn)有很多,其中針對(duì)養(yǎng)老問題,舒斯亮等[2]針對(duì)公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)先后決策和同時(shí)決策兩種情形,構(gòu)建兩種博弈模型,通過模型仿真對(duì)比研究了養(yǎng)老機(jī)構(gòu)最終定價(jià)問題,減少兩機(jī)構(gòu)的投入邊際成本差距,延長(zhǎng)老年人入住公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的等待時(shí)長(zhǎng),能夠?qū)崿F(xiàn)養(yǎng)老市場(chǎng)的穩(wěn)定發(fā)展.高曉波等[3]在政府多種補(bǔ)貼機(jī)制和服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)的前提下,研究政府與養(yǎng)老機(jī)構(gòu)在合作與非合作條件下兩博弈方的最優(yōu)決策問題,討論了重要參數(shù)補(bǔ)貼因子對(duì)決策變量和利潤的影響.郭倩等[4]引進(jìn)了替代因子,建立公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的古諾寡頭競(jìng)爭(zhēng)模型,研究了政府補(bǔ)貼機(jī)制對(duì)養(yǎng)老市場(chǎng)的影響,當(dāng)政府補(bǔ)貼民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)時(shí)可以提高養(yǎng)老行業(yè)的穩(wěn)定性,同時(shí)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)更希望獲得建設(shè)補(bǔ)貼.裴詩宇等[5]探究了政府在按照“需方”補(bǔ)貼政策下與養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的博弈行為.周成等[6]建立了政府和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)兩者之間的演化博弈模型,以雙方利益最大化為目的,考慮雙方的差異性,政府和養(yǎng)老機(jī)構(gòu)均需采取相應(yīng)措施來應(yīng)對(duì)養(yǎng)老市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)發(fā)展,體現(xiàn)養(yǎng)老公共價(jià)值提升的必要性.FENG等[7]調(diào)查了養(yǎng)老機(jī)構(gòu)在運(yùn)營中需要的資金來源,發(fā)現(xiàn)有二分之一到三分之二的機(jī)構(gòu)設(shè)施是由非政府部門投資建設(shè)的,而約85 %的私營養(yǎng)老機(jī)構(gòu)享受著政府的每床補(bǔ)貼政策,減少了機(jī)構(gòu)的營業(yè)支出壓力.POTTER等[8]采用雙重差分的方法,衡量了醫(yī)療補(bǔ)助政策的長(zhǎng)期實(shí)施對(duì)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)服務(wù)質(zhì)量的影響,引入了敏感性分析,包括三重差分模型(按醫(yī)療補(bǔ)助支付組合分層),并為進(jìn)一步完善補(bǔ)貼制度提出了建議.陳炳羽[9]著眼于養(yǎng)老機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼政策的優(yōu)化與完善,運(yùn)用多種理論基礎(chǔ)建立補(bǔ)貼機(jī)制優(yōu)化模型,提出優(yōu)化補(bǔ)貼政策的基本方法和基本準(zhǔn)則,為確保支付能力較弱的老年群體能夠享受較好的養(yǎng)老服務(wù),政府補(bǔ)貼政策有效且合理實(shí)施至關(guān)重要.上述國內(nèi)外學(xué)者普遍研究的是養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的經(jīng)營與管理現(xiàn)狀、國家及地方政府財(cái)政補(bǔ)貼機(jī)構(gòu)的政策、優(yōu)化養(yǎng)老機(jī)構(gòu)服務(wù)質(zhì)量的措施等內(nèi)容,且有關(guān)公辦和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的研究成果中,大部分只針對(duì)其他補(bǔ)貼機(jī)制或不考慮任何補(bǔ)貼建立的模型,幾乎沒有涉及政府對(duì)入住民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人給予補(bǔ)貼的前提下公辦及民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)最佳策略的研究,特別是對(duì)于養(yǎng)老機(jī)構(gòu)最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)服務(wù)水平的問題.

本文著眼于政府補(bǔ)貼民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人的機(jī)制,從實(shí)際情況出發(fā),為保證公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)運(yùn)營,在補(bǔ)貼模型中引入入住等候時(shí)長(zhǎng),對(duì)固有博弈模型進(jìn)行了改進(jìn)和創(chuàng)新.針對(duì)兩種養(yǎng)老機(jī)構(gòu),以各自自身利潤最大化為目標(biāo),建立公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的Stackelberg主從博弈模型與Nash博弈模型,并對(duì)政府基準(zhǔn)補(bǔ)貼金額進(jìn)行討論.利用博弈論和數(shù)學(xué)規(guī)劃有關(guān)知識(shí),將理論基礎(chǔ)與數(shù)理分析聯(lián)系起來,為公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)共存提供參考.

1 問題描述與符號(hào)假設(shè)

本文研究的補(bǔ)貼是指政府對(duì)入住民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人的補(bǔ)貼,而對(duì)入住公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人,政府不給予補(bǔ)貼;假設(shè)老人入住民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)無須等候,入住公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)需等候,其中老年人入住公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)需等候的時(shí)長(zhǎng)為t,默認(rèn)民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)需等候時(shí)長(zhǎng)為0,t服從[0,T]上的均勻分布,T為最長(zhǎng)入住等候時(shí)長(zhǎng),T越大表示入住公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的難度越大.本文以公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)兩方作為博弈主體,分別進(jìn)行Stackelberg主從博弈和Nash博弈,各變量符號(hào)如表1所示.

表1 符號(hào)說明

根據(jù)研究的問題,給出如下假設(shè):

(iii)假設(shè)市場(chǎng)容量等于1,則公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)需求函數(shù)D1j與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)需求函數(shù)D2j分別為:

2 模型的建立與求解

根據(jù)上述假設(shè)和符號(hào)說明,可以得到如下函數(shù).

公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤函數(shù):

(1)

民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤函數(shù):

(2)

2.1 養(yǎng)老機(jī)構(gòu)Stackelberg主從博弈模型

首先,公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)進(jìn)行決策,公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)以自身利潤最大化為目標(biāo),求解公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)服務(wù)水平;其次,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)進(jìn)行決策,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)以自身利潤最大化為目標(biāo),求解民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)服務(wù)水平.

證明 當(dāng)兩博弈方采取Stackelberg博弈時(shí),可得到民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤函數(shù):

將π21分別對(duì)p21和x21求偏導(dǎo):

π21(p21,x21)的Hessian矩陣為:

由性質(zhì)1可知,如果市場(chǎng)中公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)定價(jià)上漲,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)定價(jià)也會(huì)有所上漲,主要在于選擇民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人獲得的政府補(bǔ)貼金,可以有效地緩解由于民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)高價(jià)格而帶來的不利影響,并不會(huì)減少老人的入住積極性;同時(shí)為了增加收益,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)會(huì)提高其服務(wù)水平使愈來愈多的老人入住;當(dāng)公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)服務(wù)水平較高時(shí),為了避免老人選擇公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)會(huì)通過降價(jià)來提高老人的選擇意識(shí),同時(shí)為了維持自身最大效益,其服務(wù)水平也會(huì)適當(dāng)降低.

證明 將定理1中求出的最優(yōu)定價(jià)p21和最優(yōu)服務(wù)水平x21代入(1)式中,再將π11分別對(duì)p11和x11求偏導(dǎo):

其中,A=2k1k2Tη-k1,B=k2(Tη-c2-c1+t0)-1.

π11(p11,x11)的Hessian矩陣為:

即Hessian矩陣負(fù)定,π11(p11,x11)是關(guān)于p11和x11的凹函數(shù),公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)定價(jià)及服務(wù)水平在駐點(diǎn)處取極大值,則定理2得證.

由性質(zhì)2可知,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人獲得補(bǔ)貼,由于補(bǔ)貼機(jī)制致使許多老人選擇民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)即使增加定價(jià)也不會(huì)降低入住率,為了激勵(lì)更多的老人入住,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)也會(huì)適當(dāng)升級(jí)養(yǎng)老服務(wù);當(dāng)政府給予的基準(zhǔn)補(bǔ)貼金額較高時(shí),民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)具有價(jià)格優(yōu)勢(shì),此時(shí)公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)只有提高服務(wù)水平才會(huì)引起老人的關(guān)注,同時(shí)為了維持自身最大效益,其收費(fèi)價(jià)格也會(huì)小幅度提高.

2.2 養(yǎng)老機(jī)構(gòu)Nash博弈模型

公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)同時(shí)做出決策,兩種養(yǎng)老機(jī)構(gòu)以各自獲得利潤最大化為目標(biāo),根據(jù)Nash博弈模型的求解原理,最終確定兩種養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)服務(wù)水平.

證明 當(dāng)兩博弈方采取Nash博弈時(shí),公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤函數(shù)π12和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤函數(shù)π22如下:

將π12分別對(duì)p12和x12求偏導(dǎo),π22分別對(duì)p22和x22求偏導(dǎo):

π12(p12,x12)的Hessian矩陣為:

π22(p22,x22)的Hessian矩陣為:

由性質(zhì)3可知,基于民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人獲得補(bǔ)貼,公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)同時(shí)做出決策.若提高基準(zhǔn)補(bǔ)貼金額,對(duì)于公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),由于政府不給予公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人補(bǔ)貼,則該機(jī)構(gòu)通過降低收費(fèi)價(jià)格來提升入住率,同時(shí)公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)考慮利益最大,服務(wù)水平也會(huì)下降;對(duì)于民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu),由于政府補(bǔ)貼激勵(lì),導(dǎo)致民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)即使增加收費(fèi)價(jià)格也不會(huì)降低入住率,為了讓盡可能多的老人入住,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的服務(wù)會(huì)適當(dāng)升級(jí).

3 算例分析

目前,以提高養(yǎng)老機(jī)構(gòu)服務(wù)供給為目的,政府就民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼開展了一系列實(shí)踐.以北京市大興區(qū)福壽園養(yǎng)老院為例,按照相關(guān)補(bǔ)貼政策及自身?xiàng)l件的補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn),對(duì)每位入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人按年進(jìn)行補(bǔ)貼.假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)滿足:t0=30(百元),c1=10(百元),c2=30(百元),T=2(天),η=10,k1=0.4,k2=0.6,計(jì)算結(jié)果見表2.通過Matlab軟件仿真t0對(duì)其他因素影響的分析,其他參數(shù)不變,得到圖1、圖2、圖3.

表2 最優(yōu)算例結(jié)果

圖1 t0對(duì)pij的影響

圖2 t0對(duì)xij的影響

圖3 t0對(duì)πij的影響

通過對(duì)不同博弈方式下公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)最優(yōu)收費(fèi)價(jià)格和服務(wù)水平的分析,在政府單位基準(zhǔn)補(bǔ)貼民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人的條件下,根據(jù)圖1、圖2、圖3,得出如下結(jié)論:第一,無論哪種養(yǎng)老機(jī)構(gòu),對(duì)于最優(yōu)收費(fèi)價(jià)格和最優(yōu)服務(wù)水平,Stackelberg博弈模型均高于Nash博弈模型;第二,無論哪種博弈模型,對(duì)于最優(yōu)收費(fèi)價(jià)格,民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)大于公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu);第三,無論哪種博弈模型,對(duì)公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)來說,隨著政府單位基準(zhǔn)補(bǔ)貼金額提高,養(yǎng)老機(jī)構(gòu)利潤均下降,而對(duì)民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)來說,隨著政府單位基準(zhǔn)補(bǔ)貼金額的提高,養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的利潤均增加;第四,無論哪種養(yǎng)老機(jī)構(gòu),從博弈方式出發(fā),與Nash博弈同時(shí)決策相比,兩方先后決策的Stackelberg博弈會(huì)相對(duì)更好一些.

4 結(jié)語

本文基于政府補(bǔ)貼民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人的機(jī)制,求解了公辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)和民辦養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的Stackelberg主從博弈模型和Nash博弈模型,對(duì)兩種博弈模型進(jìn)行對(duì)比分析,以各自機(jī)構(gòu)利潤最大化為目標(biāo)求出了最優(yōu)解.為了提升老年人的生活幸福感,增強(qiáng)老年人對(duì)養(yǎng)老服務(wù)需求的滿足感,兩方養(yǎng)老機(jī)構(gòu)進(jìn)行Stackelberg博弈將更有利于機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)發(fā)展,政府也可根據(jù)財(cái)政狀況,適當(dāng)提高老人獲得的基準(zhǔn)福利,加快養(yǎng)老服務(wù)行業(yè)的完善與發(fā)展.