李文奇 向 忠 李浩然,2) 任忠凱 王嘉棟

* (浙江理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,杭州 310018)

? (太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,太原 030024)

引言

隨著科技進(jìn)步以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,人們對(duì)機(jī)械裝備的安全性、耐久性和經(jīng)濟(jì)性提出了更高的要求.疲勞裂紋廣泛存在于各類工程材料及結(jié)構(gòu)中,對(duì)安全性和耐久性產(chǎn)生了嚴(yán)重影響[1].由疲勞破壞導(dǎo)致的金屬構(gòu)件失效約占現(xiàn)代構(gòu)件失效的50%～90%[2],是工程失效的最主要的原因之一[3],危及機(jī)械構(gòu)件的安全運(yùn)行.低周疲勞破壞,廣泛存在于石油、化工、航天等重要的工程領(lǐng)域[4-5].在這些領(lǐng)域,關(guān)鍵構(gòu)件一旦發(fā)生疲勞失效,后果不堪設(shè)想.事實(shí)上,構(gòu)件低周疲勞破壞與其承載歷史密切相關(guān)[6],如變幅載荷、多軸非比例載荷以及疊加平均應(yīng)變載荷等.所謂變幅載荷,指的是構(gòu)件所受載荷譜的特征參數(shù)(如應(yīng)變比、應(yīng)變幅和平均應(yīng)變等)處于變化之中.對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)件而言,常面臨多種服役工況,變幅載荷是其受載的典型特征.基于此,開展變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)理論研究,吻合構(gòu)件受載特征,具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值.

變幅低周疲勞載荷,一般由多段不同幅值載荷構(gòu)成.諸多實(shí)驗(yàn)研究表明,不同幅值載荷路徑之間的交互作用,使得變幅低周疲勞破壞呈現(xiàn)載荷順序效應(yīng)[7],對(duì)構(gòu)件的疲勞壽命產(chǎn)生影響.變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)理論,核心問題在于構(gòu)建描述載荷順序效應(yīng)的損傷累積模型.自從19 世紀(jì)中葉,德國(guó)科學(xué)家Wohler闡明了疲勞壽命與交變載荷之間的關(guān)系后,人們深入理解了載荷順序效應(yīng)對(duì)低周疲勞壽命的顯著影響,并相應(yīng)地提出了多種變幅低周疲勞損傷累積模型.從宏觀角度看,這些損傷累積模型主要可分為兩大類: 線性損傷累積模型和非線性損傷累積模型.線性累積損傷模型基于材料損傷與循環(huán)比例的正比關(guān)系,通過線性疊加各段損傷,并規(guī)定當(dāng)累積循環(huán)比達(dá)到1 時(shí),材料便宣告失效,例如Palmgren-Miner 準(zhǔn)則[8]和Shamsaei 準(zhǔn)則[9].后來,Jiang 等[10]、Wang 等[11]以及Li 等[12]認(rèn)為線性累積循環(huán)比無法刻畫變幅加載的順序效應(yīng),提出了損傷與循環(huán)比非線性關(guān)系模型.以上研究成果,為變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)研究奠定了重要基礎(chǔ),但一直不存在一個(gè)廣泛接受的損傷累積模型.

損傷力學(xué)法是一個(gè)新興的研究方法,近年來得到了快速的發(fā)展和廣泛的認(rèn)同,被認(rèn)為具有巨大的發(fā)展前景.這種方法結(jié)合了唯象學(xué)和不可逆熱力學(xué)理論,推導(dǎo)出損傷演化方程,為構(gòu)建疲勞壽命預(yù)測(cè)模型提供了重要的理論支持.從不可逆熱力學(xué)而言,損傷可視為一不可逆熱力學(xué)過程,伴隨能量耗散,且這一能量耗散不全是材料循環(huán)穩(wěn)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變遲滯洄線包圍面積[13].損傷力學(xué),基于不可逆熱力學(xué),并結(jié)合內(nèi)變量理論,給出了與損傷構(gòu)成一一映射的本征損傷耗散描述,為揭示疲勞破壞的熱力學(xué)本質(zhì)提供了理論基礎(chǔ).近年來,Ferreira 等[14]、Nie 等[15]和Song 等[16]基于Lemaitre 損傷演化方程,建立了變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型,預(yù)測(cè)結(jié)果較好.但從本質(zhì)上來說,他們建立的模型大多數(shù)以損傷內(nèi)變量定義壽命耗竭條件,無法刻畫低周疲勞破壞的熱力學(xué)本質(zhì),制約了預(yù)測(cè)穩(wěn)定性.

考慮到本征損傷耗散與疲勞損傷構(gòu)成一一映射,且刻畫低周疲勞破壞的熱力學(xué)本質(zhì),因此,以等同本征損傷耗散作為損傷轉(zhuǎn)換條件,構(gòu)建變幅低周疲勞損傷累積模型,具有明確的物理和力學(xué)意義.為此,本文基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)和不可逆熱力學(xué)理論,推導(dǎo)了本征損傷耗散功演化模型D型描述,并以等同本征損傷耗散作為損傷轉(zhuǎn)換條件,構(gòu)建了一種考慮載荷順序效應(yīng)的變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型并與Manson 模型[17]、Kwofie 模型[18]和Peng 模型[19]進(jìn)行了對(duì)比,為變幅低周疲勞壽命精確預(yù)測(cè)提供了一種方法.

1 本征損傷耗散低周疲勞損傷累積模型

1.1 本征損傷耗散的金屬學(xué)意義

眾所周知,所有材料均由原子組成,原子有序的排布離不開原子鍵的維持.材料受載荷作用后,原子鍵會(huì)產(chǎn)生位移,進(jìn)而產(chǎn)生位錯(cuò)移動(dòng).這種原子鍵?位錯(cuò)滑移機(jī)制是造成塑性應(yīng)變行為的細(xì)觀原因,但該過程中原子鍵并不一定會(huì)分離.然而,當(dāng)材料存在微缺陷時(shí),如夾雜,原子鍵位移將被暫停,進(jìn)而產(chǎn)生脫鍵[20]行為,導(dǎo)致疲勞損傷累積.考慮到材料中微缺陷的存在,脫鍵行為無法避免,使得材料在循環(huán)載荷下的疲勞損傷演化不可避免.

彈性模量是材料的宏觀力學(xué)性能,與原子鍵能緊密相關(guān).多位學(xué)者[21-23]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)脫鍵行為將導(dǎo)致彈性模量隨疲勞損傷演化而退化.由此可知,宏觀尺度上的彈性模量的降低是由微觀尺度上的脫鍵行為導(dǎo)致.同時(shí),脫鍵行為作為一不可逆過程,必然伴有能量耗散,該能量耗散在損傷力學(xué)理論框架下被定義為本征損傷耗散[24].綜合所述,本征損傷耗散與疲勞損傷演化一一映射,揭示了疲勞損傷演化的熱力學(xué)本質(zhì).采用本征損傷耗散開展低周疲勞壽命預(yù)測(cè),具備提升預(yù)測(cè)效果的基礎(chǔ)條件.

1.2 本征損傷耗散表征模型

疲勞損傷是一個(gè)不可逆的熱力學(xué)過程,伴隨著塑性流動(dòng)和損傷演化,關(guān)聯(lián)著熱量產(chǎn)生與流動(dòng).對(duì)于該過程,根據(jù)不可逆熱力學(xué)理論,受損微元體需滿足熱力學(xué)自洽性,一般包括熱力學(xué)第一定律和第二定律.熱力學(xué)第一定律,即能量守恒定律,表述如下[25]

式中,σij是應(yīng)力張量,是彈性應(yīng)變張量,是彈性應(yīng)變率張量,是塑性應(yīng)變率張量,ρ 是材料密度,是熱通量對(duì)i(i=x,y,z) 取偏導(dǎo)數(shù),是溫度變化率,D是損傷內(nèi)變量,是損傷內(nèi)變量變化率,g是Helmholtz 自由能,通常認(rèn)為自由能與無關(guān).張行等[26]視材料損傷演化為一等溫過程,受損材料Helmholtz 自由能表述如下

式中,Sijkl是柔度張量,h是裂紋閉合因子,一般取0.2[20].σ1和 σ3分別是第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力.損傷力學(xué)中,定義損傷驅(qū)動(dòng)力Y為單位時(shí)間所釋放的彈性應(yīng)變能,不考慮材料各向異性,由彈性力學(xué)可知損傷驅(qū)動(dòng)力Y為

式中,T,j是溫度梯度,是熱通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),表示塑性耗散率,Y表示本征損傷耗散率.根據(jù)本征損傷耗散率表述形式,本征損傷耗散的增量形式為

式中,dD為損傷內(nèi)變量的增量,可結(jié)合Lemaitre 損傷耗散函數(shù)[27]和廣義損傷流動(dòng)法則給出

式中,f? 為L(zhǎng)emaitre 損傷耗散函數(shù),p是等效塑性應(yīng)變,S0,S1為材料常數(shù).針對(duì)受單軸低周疲勞載荷,循環(huán)本構(gòu)關(guān)系可由Ramberg-Osgood 公式給出,式(6)需改寫為

式中,K是循環(huán)強(qiáng)度系數(shù),n′是循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù),εp是單軸疲勞載荷下塑性應(yīng)變.值得注意的是,考慮到在壓縮應(yīng)力作用下的損傷驅(qū)動(dòng)力遠(yuǎn)低于拉應(yīng)力作用下的,因此在推導(dǎo)式(6)和式(7)的過程中,并沒有考慮壓縮應(yīng)力作用下的損傷累積.此外,考慮低周疲勞中彈性應(yīng)變幅微小,用塑性應(yīng)變幅近似代替總應(yīng)變幅,并結(jié)合式(6)和式(7),推導(dǎo)對(duì)稱拉壓應(yīng)變疲勞載荷下的損傷演化模型N型表述為

式中,DN表示材料循環(huán)N次對(duì)應(yīng)的損傷累積,Nf表示恒對(duì)稱拉壓塑性應(yīng)變幅下材料疲勞壽命.

損傷演化模型,描述了損傷內(nèi)變量隨循環(huán)周次演化歷程.在此歷程,伴隨本征損傷耗散累積.本征損傷耗散表征可聯(lián)合式(5)和式(6)及單軸低周疲勞載荷下循環(huán)本構(gòu)關(guān)系Ramberg-Osgood 公式推得

她是悄悄離開的，行李不多，就帶走了這幾年收藏的幾十雙鞋。她搬了新的出租房，做著邵南的女友之一，很乖，很聽話。

式中,B是縮并材料參數(shù),[2n′(S1+1)+1]?1.由微分理論可知,聯(lián)合式(8) 和式(10)可將本征損傷耗散演化方程的N型表述改寫成D型表述

由式(11)可導(dǎo)出材料循環(huán)N次對(duì)應(yīng)的累積本征損傷耗散為

式(12)描述了累積本征損傷耗散與損傷內(nèi)變量之間的作用規(guī)律,此規(guī)律亦可通過式(9)并結(jié)合一階近似給出累積本征損傷耗散與循環(huán)周次間的近似關(guān)系

1.3 變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型

載荷順序效應(yīng)對(duì)疲勞壽命影響已在多數(shù)學(xué)者研究中得以體現(xiàn)[28-29].載荷順序效應(yīng)通過改變損傷累積速率對(duì)疲勞壽命施加影響.以兩級(jí)應(yīng)變疲勞損傷為例(如圖1 所示): 由式(9)可知,對(duì)于對(duì)稱常幅應(yīng)變疲勞而言,損傷與循環(huán)壽命比N/Nf關(guān)系唯一,與應(yīng)變幅值無關(guān),損傷?循環(huán)壽命比曲線唯一(如圖1紅線所示).而當(dāng)高?低應(yīng)變幅兩級(jí)加載時(shí)(如圖1(b)紅線所示),較等同常幅應(yīng)變疲勞損傷增大了第二段損傷累積速率,疲勞壽命降低;反之低?高應(yīng)變幅兩級(jí)加載時(shí)(如圖1(a)紅線所示),較等同常幅應(yīng)變疲勞損傷減小了第2 段損傷累積速率,疲勞壽命提高.變幅疲勞壽命預(yù)測(cè)常根據(jù)某一等效準(zhǔn)則,如等損傷準(zhǔn)則,將前級(jí)循環(huán)周次當(dāng)量折算到后級(jí)載荷工況下,以此類推,實(shí)現(xiàn)多級(jí)變幅疲勞壽命預(yù)測(cè)向常幅疲勞壽命預(yù)測(cè)的轉(zhuǎn)變.

圖1 兩級(jí)應(yīng)變載荷下?lián)p傷累積示意圖Fig.1 Schematic of damage accumulation under two levels of strain loading

考慮到本征損傷耗散靶向材料疲勞損傷演化,且其臨界值界定了材料失效判據(jù),關(guān)聯(lián)原子屬性和結(jié)構(gòu),與載荷順序無關(guān).基于此,可將前級(jí)循環(huán)載荷作用下的本征損傷耗散等量換算到后級(jí)循環(huán)載荷下,推導(dǎo)前后級(jí)當(dāng)量循環(huán)周次,以期實(shí)現(xiàn)多級(jí)向常幅疲勞壽命預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)變.對(duì)于兩級(jí)應(yīng)變疲勞加載,根據(jù)式(13),將第1 級(jí)載荷循環(huán)N1次所累積的本征損傷耗散等量換算到第2 級(jí)載荷工況下,有

式中,Neq,2為一級(jí)載荷循環(huán)周次當(dāng)量折算到二級(jí)載荷下,Nf2為二級(jí)載荷作用下的常幅疲勞壽命,Nf1為一級(jí)載荷作用下的常幅疲勞壽命,N1為一級(jí)載荷下的循環(huán)周次,分別為一級(jí)和二級(jí)對(duì)稱應(yīng)變載荷.由式(14)可將兩級(jí)變幅疲勞壽命預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)換為第2 級(jí)載荷作用下的常幅疲勞壽命預(yù)測(cè),而在第2 級(jí)載荷作用下材料常幅疲勞壽命必然滿足

將式(14)代入式(15)導(dǎo)出兩級(jí)應(yīng)變疲勞損傷累積模型為

從式(16)可知,Palmgreen-Miner 損傷累積準(zhǔn)則認(rèn)為兩級(jí)載荷作用下循環(huán)壽命比之和達(dá)至1,宣告材料壽命耗竭.而根據(jù)多數(shù)學(xué)者實(shí)驗(yàn)研究表明,載荷順序?qū)杉?jí)載荷作用下循環(huán)壽命比之和施加影響.以300 CVN 合金鋼[30]和纖維材料CFR PEEK[31]為例(如圖2 所示),Palmgreen-Miner 損傷累積直線恰將兩級(jí)變幅疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分為了兩類(高低加載和低高加載).當(dāng)高低加載時(shí),Palmgreen-Miner 損傷累積量即循環(huán)壽命比之和大于1,而當(dāng)?shù)透呒虞d時(shí),循環(huán)壽命比之和又小于1,Palmgreen-Miner 損傷累積量與載荷順序密切相關(guān).新建損傷累積模型,描述載荷順序效應(yīng),可由式(16)給出Palmgreen-Miner 損傷累積量的兩種載荷情形

圖2 兩級(jí)載荷作用下循環(huán)壽命比之和與載荷順序關(guān)聯(lián)Fig.2 Sum of cycle life ratios under two levels of loading as a function of loading sequence

由式(18)可知,新建損傷累積模型描述載荷順序效應(yīng),吻合現(xiàn)有考慮載荷順序效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律.實(shí)際上,在預(yù)測(cè)兩級(jí)變幅疲勞壽命的過程中,主要依賴于損傷累積模型來估算第2 級(jí)載荷作用下的剩余壽命.然后,將這個(gè)剩余壽命與第1 級(jí)載荷作用下已消耗的壽命相加,以此獲得完整的預(yù)測(cè)壽命.基于該預(yù)測(cè)思路,并結(jié)合式(16),給出兩級(jí)應(yīng)變疲勞載荷作用下材料預(yù)測(cè)全壽命為

預(yù)測(cè)模型計(jì)算流程如圖3 所示.

圖3 變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型計(jì)算流程圖Fig.3 Calculation flowchart of variable amplitude low circumference fatigue life prediction model

2 模型驗(yàn)證

為進(jìn)一步對(duì)比驗(yàn)證新建變幅應(yīng)變疲勞壽命預(yù)測(cè)模型先進(jìn)性,本文收集兩種金屬材料P355NL1 結(jié)構(gòu)鋼[32]和Ti-6Al-4V 鈦合金[33-34]在兩級(jí)變幅對(duì)稱應(yīng)變疲勞載荷下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)開展了對(duì)比驗(yàn)證,其中對(duì)比預(yù)測(cè)模型包括考慮載荷順序效應(yīng)的Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型.兩種實(shí)驗(yàn)材料疲勞性能屬性及實(shí)驗(yàn)應(yīng)變載荷下常幅中值疲勞壽命分別如表1 和表2 所示.P355NL1 鋼和Ti-6Al-4V 鈦合金低周疲勞實(shí)驗(yàn)均通過制備光滑試樣在應(yīng)變載荷控制模式下進(jìn)行,具體載荷工況如表3 所示.

表1 兩種材料的疲勞性能參數(shù)Table 1 Fatigue performance parameters of the two materials

表2 兩種材料在應(yīng)變載荷下常幅疲勞壽命Table 2 Experimental strain loaded normal amplitude fatigue life for both materials

表3 兩種材料的具體實(shí)驗(yàn)載荷工況Table 3 Specific experimental loading conditions for both materials

新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型對(duì)兩種材料的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4 和圖5 所示,圖中兩條藍(lán)色實(shí)線組成1.5 倍公差帶.從圖中可以觀察到,本研究構(gòu)建的疲勞壽命預(yù)測(cè)模型對(duì)于兩種金屬材料在單軸兩級(jí)變幅載荷下的疲勞壽命預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性,所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在1.5 倍誤差范圍內(nèi).相比之下,Manson 模型、Kwofie模型和Peng 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果都存在部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)超出了1.5 倍的誤差帶.預(yù)測(cè)結(jié)果表明,對(duì)于單軸兩級(jí)變幅載荷下疲勞壽命的預(yù)測(cè),新建模型預(yù)測(cè)效果最優(yōu).此外,新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型對(duì)P355NL1 結(jié)構(gòu)鋼預(yù)測(cè)結(jié)果數(shù)據(jù)點(diǎn)分別有5/8,6/8,5/8 和4/8 落入虛線右側(cè),對(duì)Ti-6Al-4V鈦合金預(yù)測(cè)結(jié)果數(shù)據(jù)點(diǎn)分別有3/5,5/5,4/5 和4/5 落入虛線右側(cè).預(yù)測(cè)結(jié)果數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)虛線位置表明,新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果均偏保守估計(jì).

圖4 P355NL1 結(jié)構(gòu)鋼預(yù)測(cè)結(jié)果誤差分散圖Fig.4 Dispersion graph of prediction errors for P355NL1 structural steel

圖5 Ti-6-Al-4V 鈦合金模型預(yù)測(cè)誤差分散圖Fig.5 Dispersion of model prediction errors for Ti-6-Al-4V titanium alloy

3 結(jié)論

(1) 基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)及其不可逆熱力學(xué)框架,以本征損傷耗散功法開展變幅載荷下的低周疲勞壽命預(yù)測(cè),具有明確的物理和力學(xué)意義.

(2) 通過對(duì)P355NL1 結(jié)構(gòu)鋼和Ti-6Al-4V 鈦合金的兩級(jí)變幅低周疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果表明,新模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較為吻合,且優(yōu)于Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型.

(3) 由于本文所建的變幅壽命預(yù)測(cè)模型針對(duì)的載荷工況為對(duì)稱應(yīng)變循環(huán)載荷,對(duì)于其他載荷工況,需要利用相應(yīng)的應(yīng)變等效準(zhǔn)則實(shí)施壽命評(píng)估,但其評(píng)估效果需要進(jìn)一步研究.

(4) 本文模型依據(jù)等效損傷的思想,借助本征耗散模型將兩級(jí)變幅應(yīng)變載荷中第1 級(jí)載荷損傷等效到第2 級(jí)載荷損傷,從而建立疲勞壽命預(yù)測(cè)模型.使用該方法可以將兩級(jí)變幅應(yīng)變疲勞推廣到多級(jí)變幅應(yīng)變疲勞,以建立多級(jí)變幅應(yīng)變疲勞下疲勞壽命預(yù)測(cè)模型,但此項(xiàng)內(nèi)容尚需進(jìn)一步探究與論證.

(5) 由于材料在應(yīng)力控制和應(yīng)變控制下低周疲勞失效的主要原因不同,本文所提出的預(yù)測(cè)模型是基于應(yīng)變控制下低周疲勞失效,該模型在應(yīng)力控制下低周疲勞壽命預(yù)測(cè)是否準(zhǔn)確,其評(píng)估效果待進(jìn)一步研究.