王瀟雪, 張賢勇*

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學(xué) Laurent數(shù)學(xué)中心, 四川 成都 610066;3. 四川師范大學(xué) 智能信息與量子信息研究所, 四川 成都 610066)

“區(qū)間值直覺模糊集”于1989年提出[1],主要用區(qū)間值代替隸屬度單值,從而更客觀描述不確定信息,具有關(guān)于指數(shù)熵[2]與決策系統(tǒng)[3]等的研究.區(qū)間值直覺模糊集值得融入其他不確定性方法進(jìn)行深入研究,其已經(jīng)引入到vague集與粗糙集.vague集[4]考慮同時(shí)表達(dá)隸屬度和非隸屬度,其形式有利于不確定性信息表達(dá)的完整性,可應(yīng)用于心電圖[5]、智能系統(tǒng)[6]、決策系統(tǒng)[7]等.依托vague集的區(qū)間值來表示隸屬與非隸屬特征,文獻(xiàn)[8]提出“區(qū)間值直覺模糊vague集”及相關(guān)語言變量,增強(qiáng)了對(duì)不確定性信息和波動(dòng)數(shù)據(jù)的刻畫能力.另外,粗糙集可以系統(tǒng)處理不完備數(shù)據(jù)與不精確信息,其與vague集與模糊集都有相關(guān)融合成果[9-12].特別地,文獻(xiàn)[13]致力于區(qū)間值直覺模糊集與粗糙集的融合,提出區(qū)間值直覺模糊相容類,構(gòu)建“雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集”模型,并研究相關(guān)的近似算子性質(zhì)和醫(yī)療應(yīng)用實(shí)例.

模糊集、vague集、粗糙集的信息融合具有研究價(jià)值與應(yīng)用意義[14-15].這里聚焦與發(fā)展“雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集”[13],引入vague集進(jìn)行融合擴(kuò)張,提出“雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”并進(jìn)行相關(guān)研究及應(yīng)用.主要引入vague集實(shí)施延展,定義區(qū)間值直覺模糊vague相容類,從而構(gòu)建“雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”模型(涉及雙逼近近似、三支決策區(qū)域),開發(fā)模型系統(tǒng)算法,確定模型不確定性度量(包括精確度、粗糙度、依賴度).進(jìn)而,研究模型性質(zhì),包括近似算子與度量函數(shù)的并、交和補(bǔ)運(yùn)算規(guī)律等.最后采用醫(yī)療實(shí)例進(jìn)行計(jì)算與驗(yàn)證,得到新模型關(guān)于臨床診斷系統(tǒng)分析的治療決策方法.

1 雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集

本節(jié)回顧“雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集”[13],并涉及區(qū)間值直覺模糊集[1]、區(qū)間值直覺模糊vague集[8]相關(guān)概念.下面設(shè)U、V為非空有限雙論域.

定義 1[1]U上的一個(gè)區(qū)間值直覺模糊集為:

A={

[νLA(x),νUA(x)]|x∈U},

(1)

0≤μUA+νUA≤1,μLA(x)≥0,

νLA(x)≥0.

定義 2[8]U上用隸屬函數(shù)μ(x)和非隸屬函數(shù)ν(x)表征的區(qū)間值直覺模糊vague集為:

A={x,[μLA(x),μUA(x)],

[νLA(x),νUA(x)]},

(2)

其中

μLA(x)=[μL-A,μL+A],μUA(x)=[μU-A,μU+A],

νLA(x)=[νL-A,νL+A],νUA(x)=[νU-A,νU+A].

這里U、L表示區(qū)間的上、下界,滿足

μL-A+νL+A≤1,μU-A+νU+A≤1,

μL+A+νL-A≤1,μU+A+νU-A≤1.

定義 3[13]由U到V的區(qū)間值直覺模糊相容類為

R(α,β,s,t)(x)=

{v∈V|infμR(x,y)≥α,supμR(x,y)≥β,

infνR(x,y)≤s,supνR(x,y)≤t},

(3)

這里α,β,s,t∈(0,1]分別為隸屬度下、上水平的最小閾值,以及非隸屬度下、上水平的最大閾值.

定義 4[13]子集A?V關(guān)于R(α,β,s,t)的下、上近似為:

{x∈U|R(α,β,s,t)(x)?A},

(4)

進(jìn)而,對(duì)應(yīng)的三支區(qū)域(即正域、負(fù)域、邊界域)為

POS

NEG

BNDR(α,β,s,t)(A)=

(5)

定義3基于定義1提出區(qū)間值直覺模糊相容類.進(jìn)而,定義4給出了“雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集”[13],其主要由雙近似所確定,其中三支區(qū)域形成論域U的劃分,對(duì)應(yīng)實(shí)施接收、拒絕與延遲決策.

2 雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集

這里,主要擴(kuò)張上述“雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集”[13].為此,基于定義2的區(qū)間值直覺模糊vague集,可將區(qū)間值直覺模糊相容類進(jìn)行vague擴(kuò)張,定義區(qū)間值直覺模糊vague相容類,進(jìn)而自然確定雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集.下面采用建模、性質(zhì)和實(shí)例3個(gè)小節(jié)進(jìn)行相關(guān)研究.

2.1 不確定性建模

定義 5從U到V的雙論域區(qū)間值直覺模糊vague集R記作

R={(x,y),[μL-R(x,y),μL+R(x,y)],

[μU-R(x,y),μU+R(x,y)],[νL-R(x,y),νL+R(x,y)],

[νU-R(x,y),νU+R(x,y)]}.

(6)

定義 6從U到V的區(qū)間值直覺模糊vague相容類為

RV(x)={y∈V|

(7)

這里,α,β,α1,β1,s,t,s1,t1∈(0,1]分別為區(qū)間隸屬度下、上水平的最小閾值和區(qū)間非隸屬度下、上水平的最大閾值.

區(qū)間值直覺模糊vague相容類RV(x)((7)式)是區(qū)間值直覺模糊相容類((3)式)[13]在vague背景下的推廣,主要將區(qū)間值直覺模糊vague集進(jìn)行參數(shù)截取,而參數(shù)通常由專家或決策者根據(jù)實(shí)際情況或具體問題而設(shè)定.基于RV(x),下面模擬文獻(xiàn)[13]自然構(gòu)建“雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”.

定義 7子集A?V關(guān)于區(qū)間值直覺模糊vague相容類RV(x)的下、上近似為

(8)

進(jìn)而,對(duì)應(yīng)的三支區(qū)域(即正域、負(fù)域、邊界域)為

POS

NEG

BND

(9)

定義7確立了“雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”.雙近似是其中的核心概念,三支區(qū)域依然形成論域的剖分從而對(duì)應(yīng)關(guān)于接受、拒絕與延遲的三支決策.

注 1若在區(qū)間值直覺模糊相容類下,且α=β,α1=β1,s=t,s1=t1,則定義7的“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”退化為文獻(xiàn)[13]的區(qū)間值直覺模糊粗糙集(定義4);若在直覺模糊關(guān)系下,且α=β=α1=β1,s=t=s1=t1,則定義7退化為文獻(xiàn)[15]中的直覺模糊粗糙集;若RV(x)為關(guān)聯(lián)于論域U上的模糊等價(jià)關(guān)系,則退化為經(jīng)典粗糙集.可見,新建的“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”確實(shí)具有較好的擴(kuò)張性與包容性,特別是通過引入vague集方法來推進(jìn)與深化了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果.

下面,設(shè)計(jì)計(jì)算“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”的算法1,先后得到雙近似與三支區(qū)域.

定義 8子集A?V關(guān)于區(qū)間值直覺模糊vague相容類RV(x)的精確度、粗糙度和依賴度分別定義為:

α

ρ

γ

由于不確定性度量是不確定性模型的重要概念,定義8補(bǔ)充了“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”的3種度量.它們來源于雙近似基數(shù)的信息集成,能夠表征概念的不精確性特征.

Algorithm 1 計(jì)算“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”.

輸入 區(qū)間值直覺模糊vague集,截取閾值α,β,α1,β1,s,t,s1,t1,子集A?V.

輸出 “區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”的上下近似和三支區(qū)域.

2 for每個(gè)元素x∈Udo

3 for每個(gè)元素y∈Vdo

4 if

then

5RV(x)←RV(x)∪{y}.

6 end if

7 end for

8 ifRV(x)?Athen

10 end if

11 ifRV(x)∩A≠? then

13 end if

14 end for

15 通過(9)式,得到

POSRV(A)、BNDRV(A)、ENGRV(A)

和POSRV(A)、BNDRV(A)、ENGRV(A).

2.2 模型數(shù)學(xué)性質(zhì)接下來,對(duì)“雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”模型的算子性質(zhì)進(jìn)行研究,得出相關(guān)結(jié)論.

性質(zhì) 1對(duì)任意子集A,B∈V,關(guān)于上下近似集,有:

x或x

進(jìn)而至少有

RV(xi)?A或RV(xi)?B?R(xi)?A∪B.

若?yk1,yk2∈RV(xi),假設(shè):

yk1∈A但yk1?B,

yk2?A但yk2∈B,

則

RV(xi)A且RV(xi)B,

?x且x

?x

所以

性質(zhì)1的其余證明可結(jié)合定義7,與(3)式證明相似.

R={(x1,y1),[0.23,0.44],[0.25,0.48],

[0.34,0.51],[0.38,0.55],

[0.37,0.51],[0.40,0.55],

[0.12,0.55],[0.23,0.60],

[0.18,0.22],[0.34,0.51]},

接下來,對(duì)區(qū)間值直覺模糊vague集、三支域、不確定性度量分別探究并、交、包含等性質(zhì).

性質(zhì) 2設(shè)R和R′是從U到V的2個(gè)不同區(qū)間值直覺模糊vague集,截取閾值相同,根據(jù)區(qū)間值直覺模糊vague集的運(yùn)算性質(zhì)[8],對(duì)任意x∈U和V的子集A有:

性質(zhì) 3對(duì)任意V的子集A、B,其三支區(qū)域有:

1) POSRV(A)∪NEGRV(A)∪BNDRV(A)=U;

2) POSRV(A)∩NEGRV(A)=?,POSRV(A)∩BNDRV(A)=?,NEGRV(A)∩BNDRV(A)=?;

3) POSRV(A∩B)=POSRV(A)∩POSRV(B),NEGRV(A∪B)?NEGRV(A)∪NEGRV(B);

4) POSRV(A∪B)?POSRV(A)∪POSRV(B),

NEGRV(A∩B)?NEGRV(A)∩NEGRV(B);

5) 若A?B,則POSRV(A)?POSRV(B)且NEGRV(A)?NEGRV(B).

性質(zhì) 4對(duì)任意A,B∈V的精確度、粗糙度和依賴度有如下性質(zhì):

1) 0≤αRV(A)≤1,0≤ρRV(A)≤1,0≤γRV(A)≤1;

3) 如果A?B,則γRV(A)≤γRV(B);

4)γRV(A∩B)≤∧{γRV(A),γRV(B)},γRV(A∪B)≥∨{γRV(A),γRV(B)}.

結(jié)合定義6～8,性質(zhì)2～4的證明比較顯然,也可以參考文獻(xiàn)[13]中定理的證明過程.

2.3 醫(yī)療應(yīng)用實(shí)例文獻(xiàn)[13]給出了雙論域區(qū)間值直覺模糊粗糙集在臨床診斷系統(tǒng)中的應(yīng)用.但是,臨床醫(yī)療數(shù)據(jù)一般情況會(huì)存在最大、最小波動(dòng)區(qū)間,此時(shí),本文中的雙論域區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集模型更適用于決策制定.

設(shè)U、V分別表示患者和癥狀的集合.對(duì)?x∈U,y∈V,若x和y之間存在區(qū)間值直覺模糊vague相容類RV(x),則表明患者x具有癥狀y的波動(dòng)最小和最大區(qū)間的下水平分別不低于α、β,上水平分別不低于α1、β1,不具有癥狀y的波動(dòng)最小和最大區(qū)間的下水平分別不超過s、t,上水平分別不超過s1、t1.若A表示具有某些癥狀{y}的疾病,患者x∈POSRV(A)且RV(x)≠?,則一定感染了疾病A,需要馬上治療;若患者x∈BNDRV(A),則不確定是否感染了疾病A,需要進(jìn)一步檢查;若患者x∈NEGRV(A),則一定沒有感染疾病A,無需治療.接下來用一個(gè)醫(yī)療實(shí)例進(jìn)行模型的概念演算、性質(zhì)的數(shù)值驗(yàn)證、診斷的決策分析.

例 1設(shè)U={x1,x2,x3,x4}是患者的集合,V={y1,y2,y3,y4}是癥狀的集合.若每個(gè)患者xi關(guān)于癥狀yi的隸屬度和非隸屬度(即區(qū)間值直覺模糊vague集)R、R′如表1所示.

表 1 R和R′中元素的區(qū)間值直覺模糊vague值

這里取α=0.21,β=0.51,α1=0.34,β1=0.64,s=0.38,t=0.46,s1=0.47,t1=0.68,A={y1,y4},B={y2,y4},根據(jù)算法1可得:

RV(x1)={y1},RV(x2)={y1,y4},

RV(x3)={y2,y3},RV(x4)={y1,y2,y4}.

由定義8可計(jì)算出A的精確度、粗糙度和依賴度:

α

表 2 A、B關(guān)于的雙近似和三支域計(jì)算結(jié)果

進(jìn)一步,由于患者x1,x2∈POSRV(A),且RV(x1)≠?,RV(x2)≠?,所以患者x1、x2一定感染了疾病A,需要立即治療.患者x3∈BNDRV(A),所以不確定是否感染了疾病A,需要進(jìn)一步檢查.患者x4∈NEGRV(A),一定沒有感染疾病A,無需再進(jìn)行檢查和治療.此外,還可根據(jù)需要改變閾值進(jìn)行診斷,所以該模型具有可調(diào)節(jié)性,可以幫助決策者精確與科學(xué)地做出判斷.

若改變?chǔ)?、β的值使α?0,1]、β∈(α,1)分別以步長0.01變動(dòng),余下閾值分別為α1=0.20,β1=0.42,s=0.44,t=0.92,s1=0.55,t1=0.30,且子集A={x1,x3,x4},用插值法分別對(duì)不確定性度量αRV(A)、ρRV(A)、γRV(A)與變量α、β之間的關(guān)系進(jìn)行擬合得到3個(gè)三維圖,如圖1所示.

圖 1 不確定性度量與α、β之間的插值擬合

3 結(jié)束語

根據(jù)區(qū)間值直覺模糊相容類[13]與區(qū)間值直覺模糊vague集[8],提出了區(qū)間值直覺模糊vague相容類,進(jìn)而確立“區(qū)間值直覺模糊vague粗糙集”模型,其擴(kuò)張了文獻(xiàn)[13]的“區(qū)間值直覺模糊粗糙集”.進(jìn)而,得到新模型關(guān)于雙近似集和三支區(qū)域的系統(tǒng)算法(即算法1)與算子性質(zhì)等,并應(yīng)用于醫(yī)療實(shí)例(即例1)的相關(guān)診斷與決策.其中,新模型包含了3種不確定性度量(即精確度、粗糙度、依賴度),同時(shí)它們也獲取了數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)與參數(shù)變化分析(如插值擬合圖1),相關(guān)的不確定性處理及醫(yī)療數(shù)據(jù)分析還值得深入研究.