游昌祿, 舒乾宇

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

對(duì)于半環(huán)上半模的研究已經(jīng)有很長的歷史.1966年,Yusuf[1]介紹了半環(huán)上逆半模的概念和一些與模理論相對(duì)應(yīng)的定理.1999年,Golan[2]系統(tǒng)介紹了半環(huán)結(jié)構(gòu)及其一些應(yīng)用;之后十余年,半環(huán)的研究被廣泛地應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論和密碼學(xué)[3-6],研究者們也開始系統(tǒng)地研究半環(huán)上的線性代數(shù)理論.2014年,Tan[7]和Shu等[8]在有限生成半模上給出了每組基有相同基數(shù)的充要條件;同年,Tan[9]研究了半模上的內(nèi)積,在半域上研究了標(biāo)準(zhǔn)正交集的擴(kuò)張問題,并提出一個(gè)開問題:每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的交換半環(huán)是什么半環(huán)?2016年,Shitov[10]對(duì)半模上標(biāo)準(zhǔn)正交集的SOSE性質(zhì)(即半模上每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基)進(jìn)行了研究,得出整的zerosumfree半環(huán)滿足SOSE性質(zhì)的一些刻畫,但是這些刻畫在一般的半環(huán)上不成立.2022年,Shu等[11]研究了子半模上正交集的性質(zhì)并證明了子半模的正交補(bǔ)的正交補(bǔ)等于它本身的充要條件,隨后給出了半模上的標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件并用正交元和正交基來等價(jià)刻畫正合半環(huán),同時(shí)也提出在u-內(nèi)積的定義下是否有類似的結(jié)論.本文將就這個(gè)問題給出答案.論文的主要工作如下:第一部分將給出交換半環(huán)上半模的一些基本定義和相關(guān)引理;第二部分研究帶有u-內(nèi)積的半模的正交集的性質(zhì);第三部分討論帶有u-內(nèi)積的半模的正交子半模的性質(zhì);最后研究了帶有u-內(nèi)積的半模上的標(biāo)準(zhǔn)正交集的擴(kuò)張問題.

1 預(yù)備知識(shí)

為了下面討論方便,本節(jié)先給出一些基本定義和相關(guān)引理.

定義 1.1[2]半環(huán)L=(L,+,·,0,1)是滿足下述性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構(gòu):

1) (L,+,0)是交換幺半群;

2) (L,·,1)是幺半群;

3) 對(duì)任意的r,s,t∈L,滿足r·(s+t)=r·s+r·t和(s+t)·r=s·r+t·r;

4) 對(duì)任意的r∈L,有0·r=r·0=0成立;

5) 0≠1.

若對(duì)任意的r,r′∈L,滿足r·r′=r′·r,則稱L是交換半環(huán).對(duì)任意的a,b∈L,若由a+b=0知a=b=0,則稱L是zerosumfree半環(huán).

定義 1.2[2]設(shè)L=(L,+,·,0,1)是半環(huán),M=(M,+,0)為一個(gè)加法交換幺半群.若外積*:L×M→M滿足對(duì)任意的r,t∈L和α,β∈M都有:

1) (r·t)*α=r*(t*α);

2)r*(α+β)=r*α+r*β;

3) (r+t)*α=r*α+r*β;

4) 1*α=α;

5) 0*α=r*0=0;

則稱(L,+,*,0,1)為左L-半模.

例 1.1[2]設(shè)L是半環(huán),對(duì)每一個(gè)n≥1,令

其中x=(x1,x2,…,xn)表示x=(x1,x2,…,xn)的轉(zhuǎn)置.對(duì)任意的x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Vn(L)和r∈L,定義運(yùn)算如下:

x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn),

r*x=(r*x1,r*x2,…,r*xn),

則Vn(L)是左L-半模.

設(shè)A為L-半模M的非空集合,M中所有包含A的子半模的交集也是M的子半模,稱為由A生成的子半模,記為Span(A).易證

Span(A)=

如果Span(A)=M,稱A為M的生成集.稱存在有限生成集的半模為有限生成半模,否則,稱為無限生成半模.稱M的生成集中的最小基數(shù)n為M的秩,記為r(M)=n.事實(shí)上,任意有限生成半模的秩都存在.

定義 1.3[12]設(shè)A為L-半模M的一個(gè)非空集合.若對(duì)任意的α∈A,有α?Span(Aα),則稱A是線性無關(guān)的;否則,稱A是線性相關(guān)的.若M中任意元素最多用一種方法由A中元素線性表出,則稱A是自由的.

定義 1.4設(shè)M為L-半模,稱M中線性無關(guān)的生成集為M的基.稱M中自由的生成集為M的自由基.

例 1.2設(shè)Vn(L)是例1.1中定義的有限生成的自由的L-半模,則ε={1,2,…,n}是Vn(L)的一組自由基,其中1=(1,0,…,0),2=(0,1,…,0),…,n=(0,0,…,1).

Tan[9]給出了交換半環(huán)上半模的內(nèi)積的概念和一些與內(nèi)積相關(guān)的性質(zhì),接下來將給出u-內(nèi)積的定義.令U(L)={a∈L:存在b∈L使得ab=ba=1}.

1) 〈α,β〉u=〈β,α〉u;

2) 〈λα+μβ,γ〉u=λ〈α,γ〉u+μ〈β,γ〉u,其中α,β,γ∈M,λ,μ∈L.

例 1.3在L-半模Vn(L)中,對(duì)任意的向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)∈Vn(L),定義α和β的二元運(yùn)算如下:

〈α,β〉u=u1a1b1+u2a2b2+…+unanbn,

由定義1.5知,此二元運(yùn)算為Vn(L)上的一個(gè)u-內(nèi)積.特別地,若u=(1,1,…,1),則稱該內(nèi)積是標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積.

定義 1.6[9]設(shè)M為L-半模,α,β∈M,若〈α,β〉u=0,則稱α,β是正交的,記作α⊥β.設(shè)N是M的子集,若對(duì)任意的α,β∈N,α≠β,α⊥β,則稱N是正交的.若N是正交的且對(duì)任意的α∈N,有〈α,α〉u∈U(L),則稱N是標(biāo)準(zhǔn)正交的.特別地,若N是M的一組基且N是標(biāo)準(zhǔn)正交的,則稱N是M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

例 1.4設(shè)Vn(L)是例1.1中定義的有限生成的L-半模,則例1.2中定義的ε也是Vn(L)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

設(shè)M為L-半模,N是M的子集,記N⊥={b∈M:任意的a∈N都有a⊥b}.

下面將用Mm×n(L)來表示半環(huán)L上所有的m×n階矩陣構(gòu)成的集合,當(dāng)m=n時(shí),記Mn(L)=Mn×n(L).對(duì)任意的A=(aij)m×n,B=(bij)m×n∈Mm×n(L),C=(cij)n×l∈Mn×l(L)定義運(yùn)算如下:

A+B=(aij+bij)

λA=(λaij)m×n,λ∈L.

2 正交集的性質(zhì)

文獻(xiàn)[9]刻畫了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積下正交集的一些性質(zhì),文獻(xiàn)[10]提到了u-內(nèi)積,由定義1.5和例1.3不難看出,標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積實(shí)際上是一種特殊的u-內(nèi)積.自然而然地要問,標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的性質(zhì)在一般內(nèi)積下是否仍然成立,本節(jié)將在下面的討論中給出答案.為討論方便,以下假設(shè)M總是帶有u-內(nèi)積的L-半模.

由定義1.5易知下面的結(jié)論成立.

定理 2.1若A是M上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集且B是A的非空子集,則B也是標(biāo)準(zhǔn)正交集.

2) 〈α,0〉u=〈0,α〉u=0.

設(shè)A={α1,α2,…,αs}?M,定義A的Gram矩陣[9]為:

顯然,G(A)是對(duì)稱矩陣.

定理 2.3設(shè)A={α1,α2,…,αm},B={β1,β2,…,βn}是M上2個(gè)子集.若

(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βn)A,

其中A∈Mn×m(L),則G(A)=AG(B)A.

〈αi,αj〉

由文獻(xiàn)[12]可知若A={α1,α2,…,αn}是自由的,則矩陣A=(α1,α2,…,αn)是可逆的,自然地想到,若A是標(biāo)準(zhǔn)正交的,則矩陣A有什么性質(zhì)?

記

diag(a1,a2,…,a

定義 2.1[13]設(shè)A=(aij)∈Mn(L),若AA=diag則稱A為廣義正交矩陣.

引理 2.1[13]設(shè)A∈Mn(L)為廣義正交矩陣,則A是可逆矩陣.

定理 2.4設(shè)α1,α2,…,αn∈Vn(L),若α1,α2,…,αn是Vn(L)一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,則矩陣A=(α1,α2,…,αn)是廣義正交矩陣并且是可逆矩陣.

AA=

即AA=diag則A是廣義正交矩陣.由引理2.1可知,A是可逆矩陣.

定理 2.5設(shè)A={α1,α2,…,αm}是M上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,則

1)A是自由的;

2)G(A)是對(duì)角矩陣并且是可逆矩陣;

3) 若B=(β1,β2,…,βm)?M滿足(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βm)A,A∈Mm(L),則G(B)和A是可逆的.

證明1) 任意的α∈M,存在λj,μj∈L,使得

〈α

因?yàn)閧α1,α2,…,αm}是M上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,所以

λi〈αi,αi〉u=μi〈αi,αi〉u,

G(A)=

3) 由定理2.3可知,G(A)=AG(B)A,又因?yàn)镚(A)是可逆的對(duì)角矩陣,所以AG(B)A也是可逆的對(duì)角矩陣,即G(B)和A是可逆的.

從定理2.5知道,M上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集一定是自由的,又因?yàn)樽杂杉欢ㄊ蔷€性無關(guān)的,那么下面的推論成立.

推論 2.1標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組是線性無關(guān)的.記

V(L)={a∈L:存在b∈L使得a+b=0}.

定理 2.6設(shè)A={α1,α2,…,αm}是M上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,若A={α1,α2,…,αm,β}是線性相關(guān)的,則β可由A中向量唯一地線性表出.

α

有

〈αi,αi〉u=k〈αi,β〉u∈U(L),

則k∈U(L).在A中找一個(gè)αt,t≠i,有

0=〈αi,αt〉u=

k〈β,αt〉u+kt〈αt,αt〉u,

因?yàn)椤处羣,αt〉u∈U(L),所以

k〈β,αt〉u〈αt,αt〉u-1+kt=0,

β=k-1α

又因?yàn)棣?,α2,…,αm是自由的,所以β可由A中元素唯一地線性表出.

下面將舉例說明定理2.6中的標(biāo)準(zhǔn)正交這個(gè)條件不能去掉.

例 2.1取

顯然,{α1,α2,α3,α4}不是一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,取β=(1,1,1,1)T,則{α1,α2,α3,α4,β}是線性相關(guān)的,但β由{α1,α2,α3,α4}線性表出的方式不唯一.

引理 2.2[9]設(shè)A和B是半模M上兩組有限集且A等價(jià)于B,則

1) 若B是自由的,則|A|≥|B|;

2) 若A和B是自由的,則|A|=|B|.

由定理2.5和引理2.2可以得到下面的推論.

推論 2.2[9]設(shè)A={α1,α2,…,αm},B={β1,β2,…,βn}是M上的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交集,若A等價(jià)于B,則m=n.

注 2.1本節(jié)的定理2.2對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]中的定理3.1,定理2.3對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]中的定理3.2,定理2.5對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]中的定理3.3,定理2.6對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]中的定理3.4.

3 子半模的性質(zhì)

文獻(xiàn)[9]舉例說明了在帶有標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的半模M上,N是M的子半模,有M⊥≠{0}和N∩N⊥≠{0}成立,接著證明了N∩N⊥={0}成立的充要條件,但是沒有討論這些結(jié)論在帶有u-內(nèi)積的半模上是否成立,接下來本節(jié)將對(duì)此進(jìn)行研究.

則M是Z12-半模,對(duì)于任意的α=(a1,b1),β=(a2,b2)∈M,定義

〈α,β〉u=u1a1a2+u2b1b2,u1,u2∈U(L),

由正交補(bǔ)的定義易知{0}⊥=M,但是從例3.1可知,在一般情況下M⊥≠{0},接下來將討論在什么條件下M⊥={0}.

定理 3.1設(shè)M是有標(biāo)準(zhǔn)正交基的半模,則M⊥={0}.

0=〈α,αj〉

kj〈αj,αj〉u,

由〈αj,αj〉u∈U(L),所以kj=0,即α=0.

定理 3.2設(shè)N是M的子半模,則N⊥也是M的子半模.

證明因?yàn)?∈N⊥,所以N⊥是非空的.取任意的α,β∈N⊥,γ∈N,λ∈L使得〈α,γ〉u=0,〈β,γ〉u=0,則

〈α+β,γ〉u=〈α,γ〉u+〈β,γ〉u=0,

〈λα,γ〉u=λ〈α,γ〉u=0,

所以α+β,λα∈N⊥,即N⊥也是M的子半模.

定理 3.3設(shè)N、N1、N2是M的子半模,則:

1)N?N⊥⊥;

證明1) 對(duì)任意的α∈N,β∈N⊥,有〈α,β〉u=0,所以α∈N⊥⊥,即N?N⊥⊥.

〈x,y〉u=〈x,y1+y2〉u=

〈x,y1〉u+〈x,y2〉u=0,

定理 3.4設(shè)M是任意的半模,N、N1、N2是M上的任意子半模.

2)N∩N⊥={0}當(dāng)且僅當(dāng)α是M上任意非零元素且〈α,α〉u≠0.

證明1) 由定理3.3的3)可知

2) 先證充分性,假設(shè)0≠α∈M且〈α,α〉u≠0,取任意的α∈N∩N⊥,即α∈N且α∈N⊥,所以〈α,α〉u=0,矛盾,即N∩N⊥={0}.再證必要性,假設(shè)存在0≠α0∈M使得〈α0,α0〉u=0,令N=Span{λα0|λ∈L},顯然N是M的子半模且α0∈N.因?yàn)?/p>

〈α0,λα0〉u=λ〈α0,α0〉u=0,

所以α0∈N⊥,與N∩N⊥={0}矛盾.所以M上任意非零元素滿足〈α,α〉u≠0.

由文獻(xiàn)[9]中的例4.2易知,N=N⊥⊥在一般情況下是不成立的,接下來將給出它成立的充要條件.

定理 3.5設(shè)M是L-半模,α是M上任意非零元素且〈α,α〉u≠0,N是M上任意子半模,則N=N⊥⊥當(dāng)且僅當(dāng)N+N⊥=M.

證明先證必要性,由定理3.4可知N∩N⊥={0},則N+N⊥=N⊥⊥+N⊥=(N⊥∩N)⊥={0}⊥=M.再證充分性,只需證N⊥⊥?N,對(duì)于任意的x∈N⊥⊥?M,取y∈N⊥,有〈x,y〉u=0.因?yàn)镹+N⊥=M,所以存在x1∈N,x2∈N⊥使得x1+x2=x.因此

0=〈x,y〉u=〈x1+x2,y〉u=

〈x1,y〉u+〈x2,y〉u=〈x2,y〉u,

又因?yàn)閤2+y∈N⊥,所以

〈x,x2+y〉u=〈x1+x2,x2+y〉u=

〈x1,x2〉u+〈x1,y〉u+

〈x2,x2〉u+〈x2,y〉u=〈x2,x2〉u=0,

即x2=0,所以x=x1∈N,即N⊥⊥?N.

由zerosumfree半環(huán)的定義,可以得到下面的推論.

推論 3.1設(shè)M是有標(biāo)準(zhǔn)正交基的L-半模,若L是zerosumfree半環(huán)且任意的0≠x∈L,x2≠0,則對(duì)于M的每一個(gè)子半模N,N=N⊥⊥當(dāng)且僅當(dāng)N+N⊥=M.

引理 3.1[12]對(duì)于任意的交換半環(huán)L,下列條件等價(jià):

1) 任意有限生成的自由L-半模的所有非零子半模是自由的;

2)L-半模V3(L)的所有非零子半模是自由的;

3)L是主理想整環(huán).

由引理3.1和定理2.5的1)易知下面的推論成立.

推論 3.2設(shè)L是任意的交換半環(huán),如果任意的有限生成的L-半模的所有非零子半模是標(biāo)準(zhǔn)正交的,則L是主理想整環(huán).

注 3.1本節(jié)的定理3.1對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]的命題3.1,定理3.2對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]的定理4.4,定理3.3對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]的定理4.5,定理3.4對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[9]的定理4.6,定理3.5對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]的定理3.1.

4 標(biāo)準(zhǔn)正交集的擴(kuò)張

文獻(xiàn)[11]給出了帶有標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的半模上的標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件,并提出一個(gè)開問題:文獻(xiàn)[11]中的定理4.3～4.7在u-內(nèi)積的定義下是否依然成立?本文將對(duì)這個(gè)開問題展開研究.假設(shè)u≠(1,1,…,1).

先給出半模M上每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一些條件.

定理 4.1設(shè)M是L-半模,則M上每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是對(duì)于M上任意子半模N滿足下列條件:

1)N+N⊥=M且N有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;

2)N⊥是M的子半模且N⊥有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

證明先證必要性,設(shè){α1,α2,…,αm}和{α1,α2,…,αm,αm+1,…,αn}分別是N和M的標(biāo)準(zhǔn)正交基,令N1=Span(αm+1,…,αn),則N+N1=M.下證N⊥=N1,先證N1?N⊥,對(duì)任意的

有

〈x,y〉

所以x∈N⊥,即N1?N⊥;再證N⊥?N1,取任意的

則

0=〈z,αj〉u=pj〈αj,αj〉

所以N⊥?N1,綜上可得N⊥=N1,N+N⊥=M且N和N⊥都有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

再證充分性,設(shè){α1,α2,…,αm}和{bm+1,…,bt}分別是N和N⊥的標(biāo)準(zhǔn)正交基,因?yàn)镹+N⊥=M,取r∈M,存在

使得

所以{α1,α2,…,αm,bm+1,…,bt}是M上一組生成集,又因?yàn)?/p>

〈αi,bj〉

所以{α1,α2,…,αm,bm+1,…,bt}是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,即{α1,α2,…,αm}可擴(kuò)張成M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

注 4.1本節(jié)定理4.1對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]中的定理4.1.

從定理4.1的證明易知下面的推論成立.

推論 4.1設(shè)M是L-半模,N是M上任意子半模,若M上每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則

1)N⊥⊥=N;

2)N+N⊥=M.

0=〈x,αj〉

kj〈αj,αj〉u,j=m+1,…,n.

2) 由定理4.1的證明可以得到.

引理 4.1[14]dim(V1(L))=1當(dāng)且僅當(dāng)由a+b=1,a,b∈L可知a∈U(L)或者b∈U(L).

注 4.2由上面的引理易知:dim(V1(L))=1當(dāng)且僅當(dāng)由a+b∈U(L),a,b∈L可知a∈U(L)或者b∈U(L).

設(shè)矩陣A∈Mn(L),令P表示集合1,2,…,n上的所有置換.定義矩陣A的行列式,記作

det

det

其中1≤s1〈s2〈…〈st≤n.

引理 4.3[16]設(shè)A∈Mn(L),則A是可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的列向量集是Vn(L)的一組基.

引理 4.4[15]設(shè)L是環(huán),A∈Mn(L),則A是可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)det(A)∈U(L).

由文獻(xiàn)[11]的Remark 4.2可知,若L是環(huán),Vn(L)上的每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基是不成立的,然而,有下面的結(jié)論成立.

定理 4.2設(shè)L是帶有u-內(nèi)積的環(huán)且dim(V1(L))=1,若L上的元素滿足:由a∈U(L)或者b∈U(L)可推出a+b∈U(L),則每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成Vn(L)上的一組自由基.

證明設(shè)α1=(a11,a21,…,an1),α2=(a12,a22,…,an2),…,αm=(a1m,a2m,…,anm)是Vn(L)上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,令A(yù)=(α1,α2,…,αm)∈Mn×m(L),

其中t因?yàn)?/p>

〈αi,αi〉

det(B1)=det(A1)det(En-m)∈U(L),

所以B1是可逆的,即B是可逆的,則B的列向量是Vn(L)上的一組自由基.

注 4.3本節(jié)定理4.2對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]的定理4.3.

引理 4.6[9]設(shè)L是半域且1+1≠0,M是有基數(shù)大于1的有限標(biāo)準(zhǔn)正交基的L-半模,則下列條件等價(jià):

1)M上每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;

2)L是域.

定理 4.3設(shè)L是帶有非標(biāo)準(zhǔn)u-內(nèi)積的域,u=(u1,u2,…,un),ui∈U(L)且ui是乘法冪等的,則對(duì)于任意的n>1,每一組標(biāo)準(zhǔn)正交集可擴(kuò)張成Vn(L)上的標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是L的特征不是2.

證明由引理4.6可知充分性成立.下證必要性,假設(shè)L的特征是2.設(shè)

α1=(1,1,…,1,0),
α2=(0,0,…,0,1)

是一組標(biāo)準(zhǔn)正交集,則存在b=(x1,x2,…,xn)使得〈α1,b〉u=0,〈α2,b〉u=0,即

〈α1,b〉u=u1x1+u2x2+…+un-1xn-1=0,

〈α2,b〉u=unxn=0.

由ui是乘法冪等的,

和題設(shè)條件矛盾,即L的特征不是2.

注 4.4本節(jié)定理4.3對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]的定理4.4.

定義 4.1如果交換環(huán)R只有唯一的一個(gè)極大理想,則稱R為局部環(huán).

事實(shí)上,由文獻(xiàn)[7]可知:R是局部環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)dim(V1(L))=1.

證明設(shè)

α1=(a11,a21,…,an1),
α2=(a12,a22,…,an2),…,
αm=(a1m,a2m,…,anm)

〈αi,αj〉

當(dāng)i=j時(shí),有

〈αi,αi〉

那么有

從強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)正交集的定義可以得到下面的結(jié)論.

證明由定理4.4和強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義可知定理4.5成立.

注 4.5本節(jié)定理4.4對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]中的定理4.5,定理4.5對(duì)應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[11]的定理4.6.

文獻(xiàn)[11]中定理4.7在非標(biāo)準(zhǔn)u-內(nèi)積情況下是成立的.那么本節(jié)就回答了文獻(xiàn)[11]提出的注4.4.

5 結(jié)論

本文研究了交換半環(huán)上帶有u-內(nèi)積的半模,給出了正交集和正交子半模在u-內(nèi)積定義下的性質(zhì),給出了半模上標(biāo)準(zhǔn)正交集在u-內(nèi)積情況下可擴(kuò)張成標(biāo)準(zhǔn)正交基的一些結(jié)論,回答了文獻(xiàn)[11]中的注4.4.