于海燕,鄭神州

(1. 內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043;2. 北京交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 100044)

表1 可積函數(shù)f(x)與其傅里葉變換之間的關(guān)系

量子力學(xué)與經(jīng)典物理學(xué)的不同之處在于:物體同時(shí)具有粒子和波的雙重特性(波粒二象性),作為描述量子態(tài)規(guī)律的薛定諤方程的解是用復(fù)變函數(shù)形式表示,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看, 量子場解的模平方表示量子運(yùn)動(dòng)的概率密度函數(shù). 系統(tǒng)的能量、動(dòng)量和其他量可以保持為測量值(量子化),并且得知測量值的精度有限(不確定性原理);與經(jīng)典力學(xué)比較最顯著的一個(gè)差異,就是不確定性原理. 在量子力學(xué)當(dāng)中,粒子的位置越精確,它的動(dòng)量就越難確定,反之亦然[4]. 事實(shí)上,量子不確定性背后是否有更深刻的原理,這是美國《科學(xué)》期刊列出的新世紀(jì)要解決的125個(gè)科學(xué)前沿問題中的第21個(gè),故其研究的重要性不言而喻.

對(duì)于信號(hào)傳播與其傅里葉變換傳播之間的一個(gè)更為定量的表述是量子力學(xué)中最著名的不等式:海森伯不確定性原理. 傅里葉變換的伸縮屬性可以看作:如果我們擠壓x中的函數(shù),則其傅里葉變換在ξ中伸展,即同時(shí)集中任意一個(gè)函數(shù)和它的傅里葉變換是不可能實(shí)現(xiàn)的.實(shí)際上,Paley-Wiener定理:如果f(x)是緊支撐的一個(gè)非零分布(這包含緊支撐函數(shù)),則其傅里葉變換從不擁有緊支撐; 直接蘊(yùn)涵在調(diào)和分析下的測不準(zhǔn)原理的一個(gè)非常初等的形式[3,4].

1 傅里葉變換、逆變換式及基本性質(zhì)

傅里葉變換定義為[1,2]:設(shè)

則其傅里葉逆變換式

我們先列出幾個(gè)有用的基本性質(zhì):

1) 線性性質(zhì): 若

如果α,β是常數(shù),則有

F[αf1(t)+βf2(t)]=αF[f1(t)]+βF[f2(t)]

2) 位移和伸縮變換性質(zhì):

F[f(t±t0)]=e±iωt0F[f(t)],

3) 微分性質(zhì):若f(x)在(-∞, +∞)上連續(xù)或僅有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|x|→+∞時(shí),f(x)→0, 則F[f′(x)]=iωF[f(x)].

6) Plancherel恒等式:設(shè)f∈L1(n)∩L2(n),那么n), 且

2 海森伯不確定性

下面我們依據(jù)第一節(jié)中的傅里葉變換性質(zhì),給出海森伯不確定性原理的一個(gè)證明.

(1)

上面最后一步用了微分性質(zhì)3.利用Plancherel恒等式和Cauchy-Schwarz不等式, 得到

(2)

另一方面,我們知道任何復(fù)數(shù)的?？偸遣簧儆谒膶?shí)部.于是有

(3)

所以

注記1:海森伯不確定性原理不僅對(duì)復(fù)值函數(shù)成立, 通過類似方法可以驗(yàn)證海森伯不確定性原理適用于更一般的標(biāo)準(zhǔn)線性變換、小波變換和更一般的微分-積分變換,最近研究的成果將其拓廣到了Clifford代數(shù)中的四元數(shù)值等問題上相應(yīng)的各種變換[5-7].

3 Hardy(哈代)不確定性原理

(4)

2) 下面的菲拉格曼-林德洛夫原理,實(shí)際上它是解析函數(shù)最大模原理在無界區(qū)域上的一個(gè)推廣.嚴(yán)格地說,我們不能直接利用一般形式的菲拉格曼-林德洛夫原理,因?yàn)樗枰瘮?shù)F(z)是一次冪的指數(shù)增長,而在這里有二次冪的指數(shù)增長.但是我們可以稍微調(diào)整一下F(z)來解決這個(gè)問題.首先,設(shè)0<θ<π/2,考慮下面的角形區(qū)域Γθ:={reiα:r>0,0≤α≤θ},由式(4)可得

|F(ξ+iη)|≤eπξ2

(5)

因此,如果δ>0,并且θ足夠接近π/2,則有函數(shù)eiδz2F(z)在Γθ的邊界上由1控制,那么對(duì)于任意足夠小ε>0,exp(-iεeiεz2+ε+iδz2)F(z)也在Γθ的邊界上由1控制,且在Γθ的內(nèi)部,在無窮遠(yuǎn)處趨向于0,從而由極大值原理可知其也由1控制.令ε→0,然后θ→π/2,δ→0,我們可以得到F(z)在右上象限的邊界是1,用同樣的的方法處理剩下的象限.定理得證.

進(jìn)一步Hardy不確定性原理可推廣為如下.

定理2：設(shè)f∈L2(R)滿足

|f(x)|≤C(1+|x|)Ne-aπx2,

其中C>0,N∈Z; 那么若ab>1,則f=0;若ab=1,則存在一個(gè)階數(shù)至多為N的多項(xiàng)式P(x),使得f(x)=P(x)e-aπx2.

注記2:1) 作為Hardy不確定性在對(duì)偶空間(Lp—Lq)上的一個(gè)對(duì)應(yīng),G.W.Morgan[9]得到以下變體版本:設(shè)f∈L2(R),10,使得

|f(x)|≤Cexp(-2πp-1ap|x|p),

成立,如ab>|cos(pπ/2)|1/p,那么有f(x)≡0恒成立.

2) Beurling不確定性原理[10]:若f∈L2(Rd),使得

成立,那么存在一個(gè)階數(shù)至多為(N—d)/2的多項(xiàng)式P,使得f(x)=P(x)e-π〈Ax,x〉成立,這里A是一個(gè)確定的d階實(shí)正定矩陣.