徐孝寶

(嶺南師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣東 湛江 524048)

WKB方法是用來(lái)求解定態(tài)薛定諤方程的本征值和本征函數(shù)的一種半經(jīng)典近似的方法,它是由Wentzel、Brillouin和Kramers在1926年提出的. 它的基本思想是在勢(shì)函數(shù)V(x)可以看作是“緩慢變化的”,則定態(tài)薛定諤方程的解局部地看來(lái)就像是定勢(shì)中的解. 這一方法最初被應(yīng)用于計(jì)算束縛態(tài)的能量和勢(shì)壘的隧穿概率[1,2],例如伽莫夫首次從理論上解釋了α粒子的衰變概率. 隨后人們將WKB方法的應(yīng)用拓展到其他研究領(lǐng)域,t’Hooft認(rèn)為黑洞視界外的霍金輻射粒子所組成的正則系綜的熵對(duì)施瓦茲黑洞熵有貢獻(xiàn),為了解決視界處的發(fā)散問(wèn)題他提出了磚墻(brick wall)模型,并利用WKB方法發(fā)現(xiàn)了黑洞熵是隨視界面積做標(biāo)度變化的規(guī)律[3],從而為黑洞熵的本質(zhì)是糾纏熵的想法提供了重要的依據(jù)[4]. Parikh和Wilczek認(rèn)為霍金輻射可以自然地用粒子對(duì)的隧穿效應(yīng)來(lái)理解[5,6],用WKB近似他們成功給出霍金輻射的一個(gè)半經(jīng)典解釋[7]. 另外,假真空衰變(False vacuum decay)問(wèn)題的本質(zhì)是量子隧穿效應(yīng),WKB方法也被推廣到研究該問(wèn)題[8].

與此同時(shí),人們還對(duì)WKB方法做了各種推廣,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Maslov將普通的一維WKB方法推廣到了高維情形[9]. Voros等人研究了復(fù)數(shù)域上WKB漸近展開(kāi)的精確形式,觀察到復(fù)現(xiàn)(resurgence)結(jié)構(gòu)[10],從而深化了人們對(duì)非微擾效應(yīng)的認(rèn)識(shí),這一方法現(xiàn)在被稱(chēng)為“精確WKB方法”. 另外,人們發(fā)現(xiàn)描述黑洞擾動(dòng)的基本方程與薛定諤方程是同一類(lèi)型的方程,從而發(fā)展了WKB方法來(lái)求解黑洞的準(zhǔn)正則模式問(wèn)題[11],該方法的基本思想是將兩個(gè)漸近解跨過(guò)兩個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)與有效勢(shì)頂點(diǎn)處的近似解進(jìn)行匹配. 后來(lái)這一方法被推廣到更高階WKB展開(kāi),如3階[12]、6階[13]. 對(duì)于限制可能的引力理論和檢驗(yàn)強(qiáng)引力理論,準(zhǔn)確計(jì)算出準(zhǔn)正則模式是非常重要的一項(xiàng)工作. 最近,Matyjasek和Opala通過(guò)使用帕德近似,將WKB方法推廣展開(kāi)到第13階[14]. 鑒于WKB方法在許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用,本文的目的之一是對(duì)該方法有一個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí). 另外,由于不同文獻(xiàn)的符號(hào)約定的差異,滿足邊界條件的準(zhǔn)正則模式漸近解的形式也略有不同,本文將對(duì)1階WKB方法的漸近解匹配問(wèn)題做一點(diǎn)說(shuō)明,從而幫助讀者更好地理解WKB方法在準(zhǔn)正則模式研究中的應(yīng)用.

1 WKB方法的簡(jiǎn)要回顧

1.1 WKB方法的基本思想

一維定態(tài)薛定諤方程:

(1)

式(1)可以簡(jiǎn)化為

(2)

ψ(x)～ei S(x)/?

(3)

接著,式(2)化簡(jiǎn)為

i ?S″-S′2+?2Q(x)=0

(4)

(5)

不難看出

(6)

(7)

所以,當(dāng)E>V(x)時(shí),一階WKB近似解為

(8)

類(lèi)似地,當(dāng)E

(9)

1.2 轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的WKB近似解

根據(jù)上述的推導(dǎo),WKB近似的準(zhǔn)確性可以歸結(jié)到[15]

(10)

(11)

其中λ=2π/k是粒子的定域德布羅意波長(zhǎng). 這意味著當(dāng)勢(shì)函數(shù)緩慢變化以致于粒子的動(dòng)量在很多波長(zhǎng)

范圍內(nèi)近似為常數(shù)時(shí),WKB近似方法是準(zhǔn)確的. 對(duì)于E

圖1 勢(shì)能函數(shù)曲線

為了得到正確的波函數(shù)和能量值,人們使用跨越轉(zhuǎn)折點(diǎn)的“補(bǔ)丁”波函數(shù),將2個(gè)漸近的WKB近似解拼接在一起[1].

我們首先給出“補(bǔ)丁”波函數(shù),在轉(zhuǎn)折點(diǎn)xc附近,勢(shì)函數(shù)可近似為

V(x)=E+V′(xc)(x-xc)

(12)

通過(guò)變量替換z=α(x-xc)

(13)

(14)

這是Airy方程,其解稱(chēng)為Airy函數(shù),Ai(z)和Bi(z). 所以“補(bǔ)丁”波函數(shù)的一般形式為

ψp(x)=aAi[α(x-xc)]+bBi[α(x-xc)]

(15)

不妨取xc=x2,當(dāng)x>x2時(shí),利用式(9),易得

(16)

利用Airy函數(shù)的漸近形式,有

(17)

比較式(16)、(17)可得

(18)

接著考慮x

(19)

再對(duì)ψp取x<

(20)

比較式(19)和(20),有

A=-i ei π/4D,B=i e-i π/4D

(21)

式(21)稱(chēng)為聯(lián)絡(luò)公式,它將轉(zhuǎn)折點(diǎn)x2兩邊的WKB解連接在了一起. 這樣,WKB近似解可以寫(xiě)為

(22)

對(duì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)x1,做相似的分析,有WKB近似解

(23)

為了使得區(qū)間[x1,x2]之間的WKB近似解自洽,不難得出

(24)

或者

(25)

容易理解的是量子化條件式(25)對(duì)應(yīng)于Bohr-Sommerfeld量子化條件[15]

(26)

利用式(25),我們可以容易地得到諧振子的能量本征值.

2 黑洞準(zhǔn)正則模式與1階WKB方法

人們發(fā)現(xiàn)描述黑洞擾動(dòng)的基本方程與定態(tài)薛定諤方程類(lèi)似[11]

d2ψ/dx2+Q(x)ψ=0

(27)

在量子力學(xué)中,-Q(x)=2m/?2[V(x)-E],其中E是粒子能量,V(x)是勢(shì)壘,其在x→±∞處趨于常數(shù),ψ是波函數(shù).

下面來(lái)說(shuō)明這一方法,在圖2的轉(zhuǎn)折點(diǎn)以外的區(qū)域I、III,WKB解為[2,11]

圖2 函數(shù)-Q(x)曲線

(28)

由于轉(zhuǎn)折點(diǎn)滿足|x2-x1|<<1且[-Q(x)]max≥0,則在區(qū)域Ⅱ,Q(x)可以近似為

(29)

(30)

這里定義了

式(30)的一般解為ψ=ADν(t)+BD-ν-1(t),Dν(t)是拋物柱面函數(shù). 當(dāng)|t|→∞時(shí),利用Dν(t)的漸近形式[2],有

ψ≈Be-3iπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4(x-x0)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2+[A+B(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(ν+1)]eiπν/4(4k)ν/4.(x-x0)νe-ik1/2(x-x0)2/2,x>>x2

ψ≈Ae-3iπν/4(4k)ν/4(x0-x)νe-ik1/2(x-x0)2/2+[B-iA(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(-ν)]eiπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4·(x0-x)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2,x<

(31)

其中Γ(ν)是伽馬函數(shù). 可以驗(yàn)證式(31)的2個(gè)解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的項(xiàng)與WKB解式(28)中的出射波匹配. 因此,對(duì)于準(zhǔn)正則模式,eik1/2(x-x0)2/2項(xiàng)的系數(shù)一定為0,所以B=0并且Γ(-ν)=∞,從而ν是一個(gè)正整數(shù). 這樣,準(zhǔn)正則模式需要滿足的條件是

(32)

因?yàn)镼是依賴(lài)于頻率ω的,再根據(jù)條件式(32),可知準(zhǔn)正則模式頻率是一系列離散的復(fù)數(shù)值. 這被稱(chēng)作1階WKB方法[11]. 由于文獻(xiàn)[11]沒(méi)有說(shuō)明式(31)的2個(gè)解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的項(xiàng)與WKB解式(28)中的出射波匹配的原因,下面具體分析這個(gè)原因,這將有助于人們更好地應(yīng)用WKB方法.

首先,在該論文里擾動(dòng)場(chǎng)的時(shí)間依賴(lài)是eiωt,這與現(xiàn)在大多數(shù)文獻(xiàn)的選擇不同[16-18]. 根據(jù)準(zhǔn)正則模式是相對(duì)于“勢(shì)壘”的出射波,時(shí)間依賴(lài)eiωt的這一選擇導(dǎo)致準(zhǔn)正則模式的邊界條件為[11]

(33)

(34)

另一方面,我們也可以發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)正則模式的邊界條件式(33)與Konoplya等人的約定[17]是一致的. 在文獻(xiàn)[17]中,黑洞擾動(dòng)的基本方程為

(35)

和式(27)比較可得U(x,ω)?-Q(x)

(36)

(37)

其中漸近波數(shù)k±(ω)是正數(shù),滿足

不難發(fā)現(xiàn),式(37)與(33)是一致的. 進(jìn)一步地有

(38)

如果x→±∞,V(x)→0,則可得

其中Reω<0. 這樣,在不同的符號(hào)約定下準(zhǔn)正則模式的邊界條件都等價(jià)于式(33). 進(jìn)一步地,滿足準(zhǔn)正則模式邊界條件的WKB漸近解為式(34). 更早地討論正確選擇WKB漸近解的準(zhǔn)正則模式邊界條件的文獻(xiàn)有[19]、[20].

(39)

(40)

這樣,極值點(diǎn)附近的解析解ψⅡ在無(wú)窮遠(yuǎn)(x→+∞)和視界(x→-∞)處的漸近形式(31)滿足準(zhǔn)正則模式邊界條件的漸近解,應(yīng)該是∝e-ik1/2(x-x0)2/2的項(xiàng). 所以,漸近形式(31)中∝eik1/2(x-x0)2/2前的系數(shù)必須為零,即B=0并且Γ(-ν)=∞. 進(jìn)一步地得到了計(jì)算準(zhǔn)正則模式的1階WKB近似公式

(41)

所以,Destounis在回顧WKB方法時(shí)[21],關(guān)于擾動(dòng)場(chǎng)的時(shí)間依賴(lài)項(xiàng)的選擇∝e-iωt與其所得出的結(jié)論是不自洽的.

不難看出式(41)類(lèi)似于Bohr-Sommerfeld量子化條件式(26)或(24)、(25)[16]. 根據(jù)式(24),有

(42)

再利用式(39),有

(43)

從而

(44)

(45)

可以看出,式(45)和1階WKB近似式(41)形式上相同.

3 結(jié)論

本文回顧了WKB方法的基本原理,并且說(shuō)明了利用1階WKB方法求解黑洞準(zhǔn)正則模式問(wèn)題時(shí)漸近解是如何匹配的,從而為人們解決如何使用WKB方法計(jì)算黑洞準(zhǔn)正則模式的問(wèn)題提供更多的參考依據(jù). 應(yīng)用WKB方法計(jì)算黑洞準(zhǔn)正則模式的一個(gè)重要前提條件是有效勢(shì)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),然而這一條件并不適用于有質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的擾動(dòng),此時(shí)有效勢(shì)函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)[22],從而會(huì)出現(xiàn)3個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn),這將增加WKB漸近解匹配的復(fù)雜性[23]. 近年來(lái),人們對(duì)蟲(chóng)洞的準(zhǔn)正則模式也做了大量研究,發(fā)現(xiàn)一些蟲(chóng)洞的有效勢(shì)存在兩個(gè)極大值,從而傳統(tǒng)的WKB方法不能應(yīng)用于計(jì)算準(zhǔn)正則模式[24]. 推廣WKB方法來(lái)計(jì)算蟲(chóng)洞的準(zhǔn)正則模式將是一件有意義的工作.