任振忠

(濱州學(xué)院 理學(xué)院,山東 濱州 256600)

三體系統(tǒng)問題一直都是原子物理的重點研究領(lǐng)域,如兩電子體系的雙激發(fā)態(tài)[1],電子、正電子與氫原子的碰撞[2,3],超冷原子與二聚體的碰撞[4].由于各組分間的關(guān)聯(lián)相互作用,需要選取合適的描述它們相互作用的方法.超球坐標(biāo)方法是一種常用的方法,這種方法能夠較多地描述各組分間的關(guān)聯(lián)作用,從而獲得準(zhǔn)確的結(jié)果[5].在超球坐標(biāo)表示里,超徑能夠表示三體系統(tǒng)的整體“大小”,超角表示各組分間的相對距離.超球絕熱方法是超球坐標(biāo)方法里最常用的一種方法,它把超徑看作是一個絕熱變量.這種方法能有效地處理束縛態(tài)和連續(xù)態(tài)問題.

對于超球勢曲線的絕熱本征值方程,常用的處理辦法可以分為4種[5]. 文獻(xiàn)[5]對4種方法進行了報道. 第1種是耦合微分方程的直接數(shù)值積分.這種方法在本征值簡并的區(qū)域會遭受數(shù)值不穩(wěn)定性. 第2種是利用超球諧振子進行對角化. 這種方法的表達(dá)簡潔明確,但是在超徑大的區(qū)域,收斂非常慢. 第3種方法是利用解析道函數(shù)進行對角化. Lin采用類氫函數(shù)和超球諧振子做為基函數(shù).這種方法非常精確和穩(wěn)定,能夠獲得很好的數(shù)值精度,已經(jīng)被研究人員廣泛采用,并設(shè)計了多種計算用基函數(shù).第四種方法是廣義Numerov方法.它利用三項遞推公式,精度達(dá)到步長的6次方.

相比于解析基函數(shù),數(shù)值基函數(shù)更加具有靈活性,可以根據(jù)問題的需要在不同的區(qū)域增加基矢數(shù)目. B樣條做為一種靈活的數(shù)值基,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于原子結(jié)構(gòu)計算和原子碰撞問題的計算中[6,7]. 在三體問題的處理中,B樣條一般做為基函數(shù)處理體坐標(biāo)系下超角,且常用于S波問題的處理[4,8]. 對于高角動量三體問題的B樣條處理,還沒有相關(guān)的文獻(xiàn)報道.本計算擬采用B樣條基矢,對于氦原子的S態(tài)和P態(tài)超球勢曲線和絕熱道函數(shù)進行計算,并給出道函數(shù)的圖像. 計算中采用原子單位制.

1 計算方法

(1)

其中

超球絕熱勢Uμ(ρ)和絕熱道函數(shù)Φμ(Ω,ρ)是絕熱本征值問題的解

(2)

以B樣條函數(shù)為基矢,對于給定的軌道角動量L和自旋角動量S,絕熱道函數(shù)Φμ(Ω,ρ)可展開為

(3)

此方程可以寫為廣義本征值方程:

Hc=USc

(4)

其中

Uμ,μ′=Uμ(ρ)δμ,μ′,

cT=(c1,c2,…,cn),n={il1l2}

該方程可以利用現(xiàn)有的數(shù)值程序庫進行計算.

2 結(jié)果與討論

首先進行了收斂性計算,計算結(jié)果見表1.從表中可以看出,當(dāng)B樣條的數(shù)目為53時,勢的精度可以達(dá)到10-5.在表2中,給出了本次計算結(jié)果與文獻(xiàn)中結(jié)果的對比.從表中可以看出,在兩個超徑位置處,本次計算結(jié)果與文獻(xiàn) [10]和[11]符合的非常好,精度可以達(dá)到10-5.

表1 絕熱勢對B樣條基矢的依賴關(guān)系(ρ=60 au,l=2)

表2 計算結(jié)果與文獻(xiàn)中結(jié)果的對比情況(CPC和CPC as數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[10],PRA和解析數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[11])

氦原子的超球勢曲線分別見圖1和圖2.圖1為氦原子原子態(tài)1S的超球勢曲線,其中曲線1收斂于He+(N=1),曲線2、3收斂于He+(N=2).圖2為氦原子原子態(tài)1P的超球勢曲線,其中曲線1收斂于He+(N=1),曲線2、3和4收斂于He+(N=2).該結(jié)果與文獻(xiàn)[1]相符.

圖1 氦原子(1S)的超球勢曲線

圖2 氦原子(1P)的超球勢曲線

圖3 氦原子(1S)絕熱道函數(shù)的分量圖

圖4 氦原子(1S)絕熱道函數(shù)的分量圖

圖5 氦原子(1P)絕熱道函數(shù)的分量圖

圖6 氦原子(1P)絕熱道函數(shù)的分量圖

3 結(jié)論

利用了B樣條基函數(shù)和兩粒子角函數(shù),計算了氦原子(1S,1P)的超球勢曲線和絕熱道函數(shù).與前人的計算對比,可以說本計算結(jié)果是可信的.由于超球坐標(biāo)的一般性,計算方法不但可以計算氦原子,還可以推廣到一般的三體系統(tǒng),如正電子與氫原子系統(tǒng).同時可以計算三體系統(tǒng)的不同角動量態(tài),如S、P等. 在進一步的工作中,本方法將應(yīng)用于三體系統(tǒng)的高角動量問題理論計算中.