李一飛， 王桂寶， 李偉， 王磊， 楊坤， 王楠

（陜西理工大學(xué)機械工程學(xué)院， 陜西漢中 723001）

0 前言

現(xiàn)代大型機電設(shè)備通常包含眾多旋轉(zhuǎn)機械結(jié)構(gòu)，滾動軸承作為核心部件， 其健康程度影響旋轉(zhuǎn)機械的穩(wěn)定性［1］。 當滾動軸承產(chǎn)生故障時， 會導(dǎo)致整個機械設(shè)備運行效率降低， 甚至發(fā)生重大的生產(chǎn)事故［2］。 因此機械設(shè)備故障診斷與監(jiān)測十分必要。 在滾動軸承的故障診斷與檢測中， 會產(chǎn)生大量的機械信號數(shù)據(jù)， 而且振動信息采集必須遵守奈奎斯特采樣定理。 該定理要求采樣頻率遠大于被測頻率， 至少是其最高頻率的2 倍。 DONOHO 等［3－5］提出壓縮感知， 該理論可以用更小的采樣率對信號進行采樣， 受到了醫(yī)學(xué)［6］、 雷達［7］、 遙感圖像［8］等方面的高度關(guān)注。

壓縮感知理論中主要研究重構(gòu)算法和傳感矩陣的構(gòu)造， 其中傳感矩陣包括設(shè)計觀測矩陣和稀疏表示。信號的稀疏表示是指信號可以在稀疏域中用幾個較少的非零點表示， 使用創(chuàng)建的觀測矩陣對信息降維處理，然后采用重建方法將信號信息重新恢復(fù)。 目前傳統(tǒng)的重構(gòu)算法可以劃為3 類： 組合類算法、 凸優(yōu)化算法和貪婪匹配追蹤算法［9］。 3 種方法各有優(yōu)缺點： 組合算法要求觀測的樣本數(shù)量最多， 但是計算效率最好； 凸松弛算法計算量最大， 但是在觀測數(shù)目較少時才獲得高的重構(gòu)精度； 貪婪匹配算法對計算數(shù)量和準確度需求居中， 它也是3 種重建算法中使用最廣泛的。 現(xiàn)有的貪婪匹配追蹤算法有匹配追蹤（Matching Pursuit，MP） 算 法［10］、 正 交 匹 配 追 蹤（Orthogonal Matching Pursuit， OMP） 算法［11］、 分段正交匹配追蹤（Stagewise Orthogonal Matching Pursuit， StOMP） 算法［12］、 壓縮采樣匹配追蹤（Compressing Sampling Matching Pursuit，CoSaMP） 算 法［13］、 廣 義 正 交 配 追 蹤 （Generalized Orthogonal Matching Pursuit， GOMP） 算法［14］等。

在壓縮感知中， 重構(gòu)算法極為重要， 其性能將影響機械振動信號的恢復(fù)重構(gòu)。 本文作者通過對比OMP 算法、 GOMP 算法、 CoSaMP 算法以及改進的CoSaMP （IO?CoSaMP） 算法應(yīng)用于機械信號的恢復(fù)效果， 并分析重構(gòu)概率和重構(gòu)誤差， 以期在工程實際中起到指導(dǎo)性作用。

1 壓縮感知理論

1.1 基本理論

壓縮感知理論重構(gòu)的基本條件是： 所測得信號稀疏或者可以在變換域?qū)⑵湎∈璞憩F(xiàn)出來， 即原信號在稀疏區(qū)域只有幾個不為零的量， 而剩下的大多數(shù)為零或者接近零； 信號通過觀測矩陣投影， 從高維投射到低維， 最后利用少量的觀測值通過重構(gòu)或者計算重現(xiàn)原始信號。

設(shè)信號x為一維信號， 具有稀疏度K， 其長度為N， 令Ψ為信號稀疏基矩陣， 即Ψ為N×N的稀疏矩陣，θ則是稀疏系數(shù)。 那么x可以表示為

觀測向量y由觀測矩陣?和測量信號x得到，?是M×N（M?N） 的測量矩陣， 觀測數(shù)為M。 使A＝?Ψ，A被叫做感知矩陣， 觀測向量為y（M×1） 可以用式（2） 表示：

y＝?ψθ＝Aθ＝?x（2）

由于觀測矩陣?的M?N， 方程（2） 為欠定方程， 未知數(shù)的個數(shù)多而方程的個數(shù)少， 導(dǎo)致方程的解不唯一， 不能準確地重構(gòu)出原始信號。 針對這個問題， 發(fā)現(xiàn)當具有K稀疏的向量z， 觀測矩陣?必須滿足限制等距規(guī)則［15］（RIP）， 即

其中，ε＞0。 由于x有一定的稀疏度， 且?滿足限制等距規(guī)則， 可以把解不唯一的問題轉(zhuǎn)化為L0 范數(shù)的最優(yōu)化問題， 即：

由于最小L0 范數(shù)優(yōu)化求解存在NP－h(huán)ard 問題，求解非常困難而且數(shù)值不夠穩(wěn)定， 文獻［16］指出求解最小L0 范數(shù)的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為L1 范數(shù)的優(yōu)化問題， 即

根據(jù)公式（2） 可知： 為了得到稀疏系數(shù)θ需要利用觀測向量y、 觀測矩陣?和稀疏基矩陣Ψ， 然后利用公式（1） 的稀疏矩陣與稀疏系數(shù)得到原始信號x。 用于信號壓縮感知重構(gòu)的方法有很多， 貪婪匹配追蹤類算法的優(yōu)點在于復(fù)雜度低、 計算量小和重構(gòu)概率高， 所以得到了廣泛的應(yīng)用。

1.2 壓縮采樣匹配追蹤算法及改進算法

壓縮采樣匹配追蹤 （CoSaMP） 算法以ROMP（Regularized Othogonal Matching Pursuit） 算法為基礎(chǔ)進行的改進， 較大程度上提升了重構(gòu)準確度， 同時還延續(xù)了匹配追蹤類算法的優(yōu)勢， 擁有相對較低的計算復(fù)雜性， 是一個理想的重構(gòu)算法。 CoSaMP 算法同時也對OMP 算法做出改進， 迭代時需要選取多個原子，但除去原子之間的選取要求之外， 它與ROMP 的唯一區(qū)別就是： ROMP 每次迭代中選擇的原子不會被丟棄， 而CoSaMP 算法每次迭代中選擇原子的方式是取其精華去其糟粕， 即保留正確原子并且刪除錯誤原子。 CoSaMP 算法利用了回溯思想， 每一次迭代都會不斷地增加新的原子， 同時還會剔除掉上一次的錯誤原子， 從而使其重構(gòu)準確率得到提高， 其成功重構(gòu)依賴于觀測值很多的情況。 針對以上問題提出的IOCo?SaMP 算法的流程如圖1 所示。

圖1 IOCoSaMP 算法流程Fig.1 Algorithm flow of IOCoSaMP

觀測值數(shù)目相同時， 重構(gòu)率會隨著稀疏度的增加而不斷降低； 稀疏度相同時， 重構(gòu)率會隨著觀測值的增加而提高， 但是觀測的數(shù)目越多則重構(gòu)時間越長。基于此， 作者改進了壓縮采樣匹配追蹤算法。 由于太多的原子數(shù)會增加錯誤原子被選中的概率， 合適的原子數(shù)非常重要， 所以將原子數(shù)定為1.2×103個。 通過大量實驗驗證， 當原子數(shù)為1.2×103個時， 算法具有很好的重構(gòu)性能， 1.2×103個原子既可以節(jié)省重構(gòu)的時間， 還能夠保證其重構(gòu)精度。 利用仿真信號和實測軸承振動信號發(fā)現(xiàn)： 與同類算法相比， 在相同的重構(gòu)概率下， 該算法所需的觀測值更少， 稀疏度更高。

2 仿真實驗結(jié)果分析

通過仿真信號與實測滾動軸承信號驗證新算法的性能， 對比不同算法在觀測值和稀疏度變化過程中重構(gòu)概率的變化， 再用實測信號的重構(gòu)誤差來衡量算法的性能。 實驗環(huán)境： 將新算法應(yīng)用到64 位Windows10操作系統(tǒng)上， 運行內(nèi)存為8 GB， 在MATLAB2016a 上運行。 為了證明算法的有效性， 對比OMP、 StOMP、ROMP、 gOMP、 CoSaMP 和IOCoSaMP 算法在不同稀疏程度下和不同觀測值下的重構(gòu)可能性。 結(jié)果顯示：該方法在相同的重構(gòu)概率下所需的觀測數(shù)目更少， 但稀疏度卻可以更大。

2.1 仿真數(shù)據(jù)驗證

使用一維隨機信號作為實驗對象x∈RN， 觀測矩陣選擇高斯隨機矩陣，N＝256， 觀測值M＝130， 缺失了126 個數(shù)據(jù)點， 對信號以稀疏化的方式進行采樣離散余弦變換， 稀疏度取40， 設(shè)ε＝10－6算法迭代停止， 重構(gòu)誤差e表達式如下：

采用一維隨機信號驗證IOCoSaMP 算法， 結(jié)果如圖2 所示。 從圖2 （d） （e） 可以看出： 改進算法的重構(gòu)誤差不高于0.766， 而未改進算法的重構(gòu)誤差不高于1.132， 改進算法的重構(gòu)誤差小， 可以很好地重構(gòu)出原始信號， 具有很好的重構(gòu)性能。

圖2 一維隨機信號重構(gòu)結(jié)果Fig.2 1D random signal reconstruction results： （a） original signal； （b） restoring signal of CoSaMP algorithm； （c）reconstructed signal of IOCoSaMP algorithm； （d） restoring signal error of CoSaMP algorithm；（e） reconstructed signal error of IOCoSaMP algorithm

2.2 不同稀疏度下的重構(gòu)概率

選取一維隨機信號，M＝128、N＝256， 稀疏度在0～80 內(nèi)， 步長為10， 重復(fù)實驗1 000 次， 采用7種不同算法對同一個信號進行重構(gòu)， 并測試了不同算法的重構(gòu)概率隨稀疏度的變化情況。 由圖3 可知： 壓縮采樣匹配追蹤算法與改進算法相比， 當稀疏度為50 時改進算法的重構(gòu)概率可以達到100%， 而未改進算法的重構(gòu)概率為0。

圖3 不同算法的重構(gòu)概率（不同稀疏度）Fig.3 Reconstruction probabilities of different algorithms（different sparsities）

2.3 不同觀測值下的重構(gòu)概率

選取一維隨機信號作為實驗對象，N＝256、K＝20， 觀測值區(qū)間為［50， 110］， 步長為10， 每種稀疏度重復(fù)實驗1 000 次， 通過比較5 種算法的重構(gòu)效果， 測試不同算法的重構(gòu)概率隨觀測值的變化情況。從圖4 可以看出： 在相同觀測值時， IOCoSaMP 算法的重構(gòu)概率高于其他算法， 并且當幾種算法的重構(gòu)概率相同時， 改進算法所需的觀測值小于同類算法。

圖4 不同算法的重構(gòu)概率（不同觀測值）Fig.4 Reconstruction probabilities of different algorithms（different observation values）

2.4 算法的性能比較

從圖4 可以得出： 當稀疏度相同時， 隨著觀測值的增加， 重構(gòu)概率相應(yīng)提高， 改進算法的重構(gòu)概率高于其他的算法。 當觀測值為80 時， 利用IOCoSaMP算法可以達到100%的重構(gòu)， StOMP 與CoSaMP 算法的觀測值為90 時才可以達到和改進算法一樣的效果，而OMP 需要更多的觀測值。 圖5 是將前面所述的仿真結(jié)果保存下來， 單獨對比改進算法與OMP、gOMP、 CoSaMP 算法的性能， 改進的算法相較于OMP 和gOMP 以及CoSaMP 具有更高的重構(gòu)概率、 更好的恢復(fù)效果。

圖5 算法間的對比Fig.5 Comparison between algorithms： （a） OMP and IOCoSaMP； （b） gOMP and IOCoSaMP； （c）CoSaMP and IOCoSaMP

2.5 實驗

采用實測振動信號驗證算法的重構(gòu)能力。 滾動軸承的振動信號來源于美國西儲大學(xué)的軸承數(shù)據(jù)， 設(shè)x∈RN（N＝1 000）為實測軸承正常運行時的時域振動信號（實驗軸承為6205?2RS JEK SKF 深溝球軸承，采樣頻率12×103Hz， 轉(zhuǎn)速1 797 r/min， 負載754.7 W）。 從數(shù)據(jù)中取一段信號， 通過對比原始信號用CoSaMP 算法以及用改進算法恢復(fù)出的信號的重構(gòu)誤差來驗證算法的有效性。

由圖6 可知： 壓縮采樣匹配追蹤算法的重構(gòu)誤差最高不超過0.176 8， 改進的壓縮采樣匹配追蹤算法的誤差最高不超過0.125 2， 重構(gòu)誤差降低了0.05，具有良好的重構(gòu)性能。

圖6 算法的重構(gòu)誤差驗證Fig.6 Verification of the reconstruction error of the algorithm： （a） original signal； （b） missing signal； （c） restoring signal of CoSaMP algorithm； （d） restoring signal of IOCoSaMP algorithm； （e） reconstructed signal error of CoSaMP algorithm； （f） reconstructed signal error of IOCoSaMP algorithm

3 結(jié)論

文中提出的改進壓縮采樣匹配追蹤算法選擇更少的候選原子， 可以節(jié)省原子候選的時間， 降低錯誤原子被選中的概率。 仿真信號與實測軸承信號的仿真實驗結(jié)果表明： 相同的稀疏度下， 所提算法的重構(gòu)概率高于其他算法， 相同的觀測值下， 改進算法較其他算法的重構(gòu)概率高， 并且重構(gòu)誤差降低了0.05， 說明IOCoSaMP算法具有不錯的重構(gòu)效果和一定的應(yīng)用價值。