周云紅, 譚正一, 王 東, 李漢杰

(南京工程學院 電力工程學院,江蘇 南京 211167)

0 引言

二十一世紀前后,無軸承開關(guān)磁阻電機(Bearingless Switched Reluctance Motor, BSRM)因繼承了普通開關(guān)磁阻電機結(jié)構(gòu)簡單、容錯性好、效率高、更易于維護以及更利于高轉(zhuǎn)速運行等優(yōu)點,而備受國內(nèi)外研究者的重視。

由于BSRM沒有傳統(tǒng)機械軸承,在進一步提高效率與高轉(zhuǎn)速區(qū)間運行優(yōu)勢的同時,也對控制提出了更高的要求,繞組電流不僅僅要提供拖動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)矩,還要提供轉(zhuǎn)子懸浮所需的徑向力。文獻[1]提出了一種雙繞組無軸承開關(guān)磁阻電機(Double-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor, DWBSRM),兩套繞組間存在復(fù)雜的耦合影響,需要特別的控制方法來進行解耦控制。針對DWBSRM,文獻[2]選擇了一種能計及相互垂直方向懸浮力耦合的積分路徑,揭示了相互垂直方向上徑向懸浮力的耦合關(guān)系,建立了徑向力數(shù)學模型。文獻[3]基于等效磁路法對DWBSRM建立了兩相導(dǎo)通的數(shù)學模型。

為改進DWBSRM結(jié)構(gòu)復(fù)雜的缺點,文獻[4]提出一種了單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機(Single-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor, SWBSRM),其結(jié)構(gòu)與普通SRM類似,具有結(jié)構(gòu)上的通用性,但轉(zhuǎn)矩脈動依然較大。針對SWBSRM轉(zhuǎn)矩脈動大的缺點,文獻[5]同時為12/8極開關(guān)磁阻電機的轉(zhuǎn)子和定子分別開圓形槽和矩形槽,對現(xiàn)有SRM結(jié)構(gòu)的改動小,但對SRM振動抑制有較好的效果。文獻[6-7]改變了傳統(tǒng)的定子結(jié)構(gòu),引入了不等寬的定子極,其中寬定子極上的繞組電流控制懸浮力,窄定子極上的繞組電流控制轉(zhuǎn)矩,大大減小了轉(zhuǎn)矩與懸浮力之間的耦合。在此基礎(chǔ)上,文獻[8-9]采用了內(nèi)外雙定子的方案實現(xiàn)了轉(zhuǎn)矩與懸浮自解耦。其中文獻[8]同時對內(nèi)外定子極、轉(zhuǎn)子極開窗,進一步減小了轉(zhuǎn)矩脈動。文獻[10]提出了一種12/14極的不等寬定子極結(jié)構(gòu),優(yōu)化了電磁路徑,在實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩與懸浮力解耦的同時,還進一步提高了轉(zhuǎn)矩密度,降低了鐵心損耗。文獻[11]研究了錐形電機,其定、轉(zhuǎn)子極并非傳統(tǒng)的矩形而是存在傾斜角,轉(zhuǎn)子受到的電磁力可以分解為轉(zhuǎn)動力矩與徑向力。其中文獻[12]研究了一種寬轉(zhuǎn)子單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機(Single-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor with Wide Rotor, BSRMWR),其繞組電感存在平頂區(qū),通過雙相導(dǎo)通可實現(xiàn)懸浮力與電磁轉(zhuǎn)矩的解耦控制。

徑向力是無軸承開關(guān)磁阻電機的重要性能指標,求解徑向力常見的有麥克斯韋應(yīng)力法、虛位移法以及等效磁路法等。針對傳統(tǒng)SWBSRM,文獻[13]基于有限元分析和麥克斯韋應(yīng)力法,揭示了12/14極SWBSRM懸浮力的非線性時變規(guī)律,并建立了考慮磁飽和的數(shù)學模型。文獻[14]提出了基于思維進化算法優(yōu)化的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的SRM非線性模型,更好地反映電機運行時的磁鏈特性和轉(zhuǎn)矩特性;文獻[15]運用了磁導(dǎo)法,建立了分段函數(shù)形式的全周期徑向力模型。文獻[16]研究了一種共懸浮繞組式單繞組開關(guān)磁阻電機(Sharing-Suspension-Windings Bearingless Switched Reluctance Motor, SSWBSRM),并基于等效磁路法推導(dǎo)了考慮磁鏈飽和的轉(zhuǎn)矩模型。文獻[17]則是從麥克斯韋應(yīng)力法的角度建立了BSRMWR的徑向力和轉(zhuǎn)矩模型。文獻[18]在不考慮磁飽和的情況下運用麥克斯韋應(yīng)力法建立了BSRMWR的全周期徑向力模型。文獻[19]綜合等效磁路法和麥克斯韋應(yīng)力法,精確計算了SRM氣隙磁通密度,得出了單相激勵下定子徑向電磁力的表達式,從而減少了誤差。

考慮到無軸承開關(guān)磁阻電機經(jīng)常在磁飽和狀態(tài)工作,本文在文獻[18]的基礎(chǔ)上,以寬轉(zhuǎn)子單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機為研究對象,對鐵心的磁化曲線進行擬合,結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力法推導(dǎo)了考慮磁飽和的徑向力模型,并使用三維有限元仿真計算與所建立的徑向力數(shù)學模型進行對比,驗證了模型的有效性。該模型的建立可以提高對磁飽和工況的適用性。

1 BSRMWR基本結(jié)構(gòu)與運行原理

以三相12/8極BSRMWR為例,基本結(jié)構(gòu)如圖1所示(略去了B、C相繞組),定子極弧為15°,轉(zhuǎn)子極弧為30°,轉(zhuǎn)子極弧寬于定子極弧。徑向x、y軸方向上的四個定子極A1～A4上的繞組共同構(gòu)成A相繞組,電流分別記作iA1～iA4,對應(yīng)的氣隙分別為a1～a4。區(qū)別于普通SRM,同相內(nèi)的四極繞組互不連接,電流都單獨控制,以便通過雙相導(dǎo)通實現(xiàn)徑向力與旋轉(zhuǎn)力矩的解耦控制,其中一相作為轉(zhuǎn)矩相,另一相作為懸浮相[18]。圖中還標示出了A、B、C相繞組分別產(chǎn)生的兩自由度徑向力FAx、FAy、FBx、FBy、FCx、FCy與x軸和y軸的位置關(guān)系,其中相鄰的兩個力之間的夾角都為30°。

圖1 BSRMWR基本結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Basic structure diagram of BSRMWR

2 電感及徑向力特性分析

2.1 電感特性

定義逆時針方向為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)正方向。普通的SWBSRM中,轉(zhuǎn)子極弧小于或者等于定子極弧,隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn),相電感變化規(guī)律如圖2(a)所示。由于相電感正比于定、轉(zhuǎn)子極的對齊面積,而在區(qū)域Ⅱ內(nèi)轉(zhuǎn)子極與該相定子極的重疊面積逐漸增大,因此相電感也相應(yīng)線性增加,直至轉(zhuǎn)子極與該相定子極完全重合時相電感獲得最大值;在區(qū)域Ⅲ內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極的重疊面積逐漸減小,因此相電感也線性減小;在區(qū)域I和IV內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極完全錯開,重疊面積為零,因此相電感維持最小值。

圖2 電感曲線示意圖Fig.2 Inductance curve schematic

當要求產(chǎn)生正轉(zhuǎn)矩時,宜選擇區(qū)域Ⅱ進行勵磁;當要求產(chǎn)生負轉(zhuǎn)矩時,則宜選擇區(qū)域Ⅲ進行勵磁。區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ中電感較大的區(qū)段是懸浮有效區(qū),通過不對稱勵磁可取得較大的懸浮力。在實際控制過程中,通常是采用單相導(dǎo)通模式,因此在選擇繞組的勵磁區(qū)域時需要在轉(zhuǎn)矩有效區(qū)和懸浮有效區(qū)之間進行折中,以便兼顧轉(zhuǎn)矩和徑向力要求。二者互相制約,且瞬時轉(zhuǎn)矩與徑向力之間還會存在嚴重的耦合影響。

在BSRMWR中,轉(zhuǎn)子極弧大于定子極弧,隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn),相電感變化規(guī)律如圖2(b)所示。區(qū)別于圖2(a),可以看出相電感曲線中出現(xiàn)了一個平頂區(qū)域V,期間相電感維持最大值,這是由于在此區(qū)間內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極的對齊面積始終保持與定子極弧相等。在區(qū)域V內(nèi),通過不對稱勵磁可取得較大的懸浮力,因此可用作懸浮有效區(qū)。懸浮有效區(qū)與轉(zhuǎn)矩有效區(qū)相互獨立,不再互相制約。

不同于傳統(tǒng)SWBSRM的單相導(dǎo)通模式,BSRMWR通過雙相導(dǎo)通實現(xiàn)其瞬時轉(zhuǎn)矩與徑向力的解耦控制。具體來說,根據(jù)轉(zhuǎn)子位置角,選擇處于轉(zhuǎn)矩有效區(qū)的一相繞組進行對稱勵磁以產(chǎn)生所需轉(zhuǎn)矩,相應(yīng)的相稱為“轉(zhuǎn)矩相”;而選擇處于懸浮有效區(qū)的另一相繞組進行不對稱勵磁以產(chǎn)生所需徑向力,相應(yīng)的相稱為“懸浮相”。由于平頂區(qū)內(nèi)的繞組相電感關(guān)于轉(zhuǎn)子位置角的變化率為零,因此勵磁后不會產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩,對轉(zhuǎn)矩相無耦合影響。

2.2 徑向力特性

以A相為例,在未磁飽和時,因鐵心材料的磁導(dǎo)率遠遠大于氣隙的磁導(dǎo)率,因此可忽略鐵心磁阻。

等效磁路如圖3(a)所示,其中N為繞組匝數(shù);Pa1、Pa2、Pa3、Pa4分別為氣隙a1、a2、a3、a4的磁導(dǎo)。圖3(b)為不忽略鐵心磁阻時的等效磁路圖,其中Ps為各極磁路中所包含的鐵心磁導(dǎo)。

圖3 A相等效磁路圖Fig.3 Equivalent magnetic circuit diagram for phase A

定義轉(zhuǎn)子極軸線對準A相定子極軸線時的轉(zhuǎn)子位置角為0°。由文獻[14]的方法推導(dǎo)出的全周期徑向力數(shù)學模型與由Maxwell計算出的徑向力結(jié)果進行對比,結(jié)果如圖4所示,可以看出隨著電流的增加,該方法推導(dǎo)的徑向力數(shù)學模型精度會逐漸降低。這是因為隨著電流增加,鐵心的磁導(dǎo)率會因磁飽和而逐漸減小,從而不再遠大于氣隙磁導(dǎo)率,因此忽略鐵心磁阻會引起較大誤差。若要計及磁飽和的影響,則應(yīng)使用圖3(b)所示不忽略鐵心磁阻的等效磁路。

圖4 不考慮磁飽和的徑向力數(shù)學模型與有限元計算結(jié)果對比Fig.4 Comparison between the radial force mathematical model without considering magnetic saturation and finite element calculation results

3 氣隙磁密及徑向力計算

除了磁路中難以避免的電磁飽和以及漏磁現(xiàn)象外,BSRMWR在運行過程中容易因徑向偏心而使得氣隙不均勻。這些都使得建立完全符合實際運行情況的數(shù)學模型更加困難。為簡化分析,做如下假設(shè):

(1) 不考慮磁路中的漏磁及渦流損耗;

(2) 與氣隙長度相比,轉(zhuǎn)子的徑向偏心很小;

(3) 忽略徑向兩自由度(即x、y方向)的耦合。

3.1 氣隙磁密計算

利用Maxwell建立BSRMWR二維有限元模型,以分析電磁特性,主要參數(shù)如表1所示。

表1 BSRMW的二維模型參數(shù)Tab.1 Two-dimensional model parameters of the BSRMW

氣隙磁密Bg、鐵心磁密Bs與氣隙磁場強度Hg、鐵心磁場強度Hs分別滿足關(guān)系:

Bg=μ0Hg

(1)

Bs=μ0μrHs

(2)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率,數(shù)值為4π×10-7;μr為鐵心材料的相對磁導(dǎo)率。

根據(jù)磁通連續(xù)定律:Bg=Bs。結(jié)合式(1)、式(2),可知Hg與Hs滿足關(guān)系:

Hg=μrHs

(3)

電機鐵心采用硅鋼材料DW310-35,其1/μr與Hs存在近似正比的關(guān)系。采用一次線性關(guān)系進行擬合,即:

(4)

擬合結(jié)果如圖5所示,其中擬合系數(shù)a=0.483 735 146 1μ0,b=196.699 233 4μ0。

圖5 鐵心材料的1/μr-Hs擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of 1/μr-Hs for iron core material

將式(4)代入式(2)中,得鐵心磁密表達式:

(5)

按式(5)對鐵心的磁化曲線Bs-Hs進行擬合,結(jié)果如圖6所示。根據(jù)Bs隨Hs變化的程度,將磁化曲線分成三段:當0 T2.05 T時,處于完全磁飽和區(qū)。可以看出,在未磁飽和區(qū)與完全磁飽和區(qū),擬合誤差較小;在部分磁飽和區(qū),擬合誤差較大,后續(xù)可針對這一區(qū)間進一步優(yōu)化擬合公式。

圖6 鐵心材料的磁化曲線擬合結(jié)果Fig.6 The fitting results of the magnetization curve of the iron core material

在未磁飽和區(qū),鐵心材料磁阻遠小于氣隙磁阻,因此可以忽略掉Bs在安培環(huán)路定律中的影響。在部分磁飽和區(qū)和完全磁飽和區(qū),隨著Bs增大,磁飽和程度愈發(fā)嚴重,氣隙磁阻不再遠大于鐵心磁阻,故需要考慮Bs在安培環(huán)路定律中的影響。

為了具體研究鐵心中的磁飽和情況,分別為A1極繞組通入電流iA1=3 A,9 A,15 A,有限元靜態(tài)分析所得磁密云圖如圖7所示?？梢钥闯?在iA1=3 A時,定、轉(zhuǎn)子鐵心的所有部分都未磁飽和;在iA1=9 A時,通電A1極部分磁飽和;在iA1=15 A時,A1極部分區(qū)域完全磁飽和,而與之相鄰的轉(zhuǎn)子極以及部分定子軛則部分磁飽和。

仍以A1極為例,考慮鐵心的影響,根據(jù)磁路歐姆定律,按圖3(b)所示的等效磁路列寫磁路方程:

Hglg+Hsls=NiA1

(6)

式中:lg為等效氣隙磁路長度;ls為等效鐵心磁路長度。

將式(1)和式(2)代入式(6),可得:

(7)

ls的大小與磁力線通過鐵心的等效路徑長度有關(guān)。在未磁飽和時,ls近似為0;在部分磁飽和時,ls近似等于定子極長度;在完全磁飽和時,ls以定子極長度為主,但還包含部分的磁路長度,本文在應(yīng)用時,將ls近似取值為定子極長度。

根據(jù)轉(zhuǎn)子極與定子極的相對位置,將一個電感周期分為非完全交疊區(qū)和完全交疊區(qū):當轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-7.5°, 7.5°]時,為完全交疊區(qū);當轉(zhuǎn)子位置角處于[-22.5°, -7.5°]和[7.5°, 22.5°]這兩個區(qū)間時,為非完全交疊區(qū)[14]。

(1) 完全交疊區(qū)的氣隙磁密

如圖8所示,以處于完全交疊區(qū)的氣隙a1為例,由于其邊緣氣隙磁密很小,因此計算氣隙磁密Bg時只考慮主氣隙磁密Bm。

圖8 完全交疊區(qū)氣的隙磁密Fig.8 Air gap flux density in fully overlap region

對于主氣隙磁密Bm,其磁路等效長度lm可以看作平均氣隙長度l0,即:

lm=l0

(8)

將式(5)和(8)代入式(7),得到主氣隙磁密Bm:

(9)

式中:Mm=(bls+l0)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-l0)。

(2) 非完全交疊區(qū)的氣隙磁密

如圖9所示,以處于非完全交疊區(qū)的氣隙a1為例,氣隙磁密Bg中除了主氣隙磁密Bm外,還有兩個邊緣磁密分量,分別記作Bf0、Bf1。

圖9 非完全交疊區(qū)的氣隙磁密Fig.9 Air gap flux density in non-overlap region

根據(jù)電磁場有限元分析結(jié)果,將邊緣氣隙磁密的路徑近似看為四分之一圓弧與直線的組合,以此建立如圖10所示的假定氣隙磁路,用來計算氣隙磁路長度。

圖10 非完全交疊區(qū)的假定氣隙磁路Fig.10 Assumed air gap magnetic path in non-completely overlap region

由于此時主氣隙磁密的等效磁路長度也滿足lm=l0,因此Bm的表達式與式(9)相同。

邊緣氣隙磁密的等效長度lf0與lf1都與轉(zhuǎn)子位置角有關(guān),分別為

lf0=lg+πR[βr-(-θ+βs/2+βr/2)]/2

(10)

lf1=lg+πR[βs-(-θ+βs/2+βr/2)]/2

(11)

式中:βs為定子極弧;βr為轉(zhuǎn)子極弧;θ為轉(zhuǎn)子位置角;R為轉(zhuǎn)子半徑。

將式(5)和式(10)代入式(7),得出Bf0表達式:

(12)

式中:Mf0=(bls+lf0)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-lf0)。

將式(4)和式(11)代入式(7),得出Bf1表達式:

(13)

式中:Mf1=(bls+lf1)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-lf1)。

Mm、Mf0、Mf1是為簡化氣隙磁密表達式(9)、(12)、(13)而定義的中間變量。

3.2 徑向力計算

麥克斯韋應(yīng)力法認為磁場的張力張量T等效于有質(zhì)動力F,即給定體積V的磁質(zhì)內(nèi)的合力及力矩等效于包圍V表面的S面上各張力的合力,可表示為[20]

(14)

當僅有與積分路徑垂直的磁場分量時,作用于曲面S上的磁應(yīng)力的法向分量Fn關(guān)于磁通密度法向分量Bn的計算式為[21]

(15)

設(shè)轉(zhuǎn)子鐵心的軸向長度為h,則整個轉(zhuǎn)子受到的徑向力Fr可以表示為

(16)

(1) 定轉(zhuǎn)子非完全交疊區(qū)的徑向力

在轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-22.5°, -7.5°]時,選取如圖11所示的積分路徑1→2→3。

圖11 非完全交疊區(qū)的積分路徑Fig.11 Integration path in non-overlap region

iA1在轉(zhuǎn)子極上引起的徑向力FA1與主氣隙磁密Bm及邊緣氣隙磁密Bf0的關(guān)系滿足:

(17)

式中:l12、l23分別為積分路徑1→2和2→3的長度。

l12、l23可由轉(zhuǎn)子位置角θ、定子極弧βs、轉(zhuǎn)子極弧βr以及轉(zhuǎn)子半徑R計算:

l12=[βr-(θ+βs/2+βr/2)]R

(18)

l23=(θ+βs/2+βr/2)R

(19)

將磁密表達式(9)、(12)與積分路徑長度表達式(18)、(19)代入式(17),即可得到iA1產(chǎn)生的徑向力FA1:

FA1=m1(θ)k2(iA1)+m2(θ)k1(iA1)

(20)

式中的k1(iA1)和k2(iA1)與電流iA1有關(guān),m1(θ)和m2(θ)與轉(zhuǎn)子位置角θ有關(guān),具體表達式分別為

(21)

(22)

同理,轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[7.5°, 22.5°]時,iA1產(chǎn)生的徑向力FA1的表達式為

FA1=m1(-θ)k2(iA1)+m2(-θ)k1(iA1)

(23)

式中的k1(iA1)和k2(iA1)都與式(21)一致。

(2) 定轉(zhuǎn)子完全交疊區(qū)的徑向力

當轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-7.5°, 7.5°]時,選取如圖12所示的積分路徑4→5。

圖12 完全交疊區(qū)的積分路徑Fig.12 Integration path in fully overlap region

iA1在轉(zhuǎn)子極上引起的徑向力FA1與主氣隙磁密Bm的關(guān)系滿足:

(24)

式中:l45為積分路徑4→5的長度,與定子極弧相等。

(25)

將磁密表達式(9)和積分路徑長度表達式(25)代入式(24),即可得到徑向力FA1的表達式:

(26)

式中的k1(iA1)與式(21)一致。

為便于表述,將[-22.5°, -7.5°]、[-7.5°, 5°]、[7.5°, 22.5°]區(qū)間分別記作Q1、Q2、Q3,則FA1的計算式為

FA1=

由式(27)可以看出,在定轉(zhuǎn)子非完全交疊區(qū),徑向力FA1的計算式較為復(fù)雜,這是由于考慮了邊緣氣隙磁密。

3.3 徑向力的簡化

為了比較主氣隙磁密和邊緣氣隙磁密,需要計算出氣隙磁密在不同位置的大小。因此,如圖13所示,在氣隙a1內(nèi)畫一條與轉(zhuǎn)子極弧等長的弧線Arc1,其中點位于定子極A1的中線上。點a、點b為該弧線的兩個頂點,點c、點d分別為該弧線上與臨近定子極端點和轉(zhuǎn)子極端點相對齊的點。將弧線Arc1上各點與電機轉(zhuǎn)軸中心點連線與x軸正方向的夾角θ1稱為“氣隙磁密位置角”,則點a、c、d、b的氣隙磁密位置角分別為-15°、-6°、7.5°、15°。

圖13 非完全交疊區(qū)的Arc1示意圖Fig.13 Schematic diagram of Arc1 in non-overlap area

在圖13所示位置,轉(zhuǎn)子位置角θ=9°,定轉(zhuǎn)子極非完全重疊。設(shè)置激勵電流iA1=9 A,利用有限元分析計算出弧線Arc1上的氣隙磁密結(jié)果如圖14所示。橫軸代表氣隙磁密位置角θ1,其中區(qū)間[-6°, 7.5°]對應(yīng)主氣隙磁密,(-15°,-6°)和(7.5°,15°)區(qū)間對應(yīng)邊緣氣隙磁密。

圖14 主氣隙磁密與邊緣氣隙比較(θ=9°)Fig.14 Comparison of main air gap flux density and edge air gap flux density (θ=9°)

(28)

3.4 兩自由度懸浮力計算

與計算FA1同理,不同定子極上繞組引起的徑向力也可以分別由對應(yīng)氣隙內(nèi)的磁密求出。將式(27)拓展為

(29)

式中:j=1, 2, 3, 4;k1(iAj)和k2(iAj)與電流iAj的關(guān)系同式(21)。

徑向相對的兩個徑向力相減,便可得到徑向力FAx、FAy,同時也是沿x、y軸正方向的徑向力Fx、Fy。

(30)

忽略邊緣氣隙磁密對徑向力的影響后,徑向力FAx、FAy簡化為

(31)

至此,單繞組BSRMWR在一個完整電感周期內(nèi),由A相繞組激勵產(chǎn)生的徑向力數(shù)學模型已經(jīng)得到。

當B相、C相繞組分別通電時,可同理求出徑向力FBj、FCj,并簡化為

(32)

(33)

(34)

(35)

4 氣隙磁密與徑向力的驗證

將前文基于Maxwell建立的二維有限元模型的鐵心長度軸向拉伸為55 mm,建立的三維有限元模型如圖15所示,用來驗證本文所建數(shù)學模型的準確性。

圖15 三維有限元模型Fig.15 Three-dimensional finite element model

4.1 氣隙磁密的對比與驗證

分別為A1極繞組通入3 A、9 A、15 A的電流,以驗證所建磁密模型在未磁飽和、部分磁飽區(qū)以及完全磁飽和狀態(tài)下的準確性。由于在計算徑向力時采用的是主氣隙磁密的平均值,即平均主氣隙磁密,因此將式(9)計算結(jié)果與三維有限元計算結(jié)果及平均值進行比較。而對于邊緣氣隙磁密,則將式(12)計算結(jié)果直接與三維有限元計算結(jié)果進行比較。

設(shè)置轉(zhuǎn)子位置角θ為0°,使電機處于完全交疊區(qū),此時僅Bm對徑向力結(jié)果造成影響,對比計算結(jié)果如圖16所示。分析可知:iA1=3 A時,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為381.89 mT,與式(9)計算結(jié)果的誤差為15.58%;iA1=9 A時,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為1.12 T,與式(9)計算結(jié)果的誤差為10.86%;iA1=15 A,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為1.41 T,與式(9)計算結(jié)果的誤差為23.94%。

圖16 主氣隙磁密對比圖(θ=0°)Fig.16 Comparison diagram of main air gap flux density (θ=0°)

設(shè)置轉(zhuǎn)子位置角θ為9°,使電機處于非完全交疊區(qū),此時Bm和Bf0都對徑向力結(jié)果有影響。主氣隙磁密對比如圖17所示,分析可知:iA1=3 A時,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為379.34 mT,與式(9)計算結(jié)果的誤差為16.14%;iA1=9 A時,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為1.13 T,與式(9)計算結(jié)果的誤差為13.75%;iA1=15 A時,Bm有限元計算結(jié)果的平均值為1.46 T,與式(9)計算結(jié)果的誤差為21.25%。

圖17 主氣隙磁密對比圖(θ=9°)Fig.17 Comparison diagram of main air gap flux density (θ=9°)

邊緣氣隙磁密Bf0的對比圖如圖18所示,可以看出,氣隙磁密模型的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果整體比較相符,只是在定子極端點的附近會有較大誤差。推測主要原因是在定子極邊緣的假想邊緣磁通路徑與實際情況偏差較大。值得注意的是,基于麥克斯韋應(yīng)力法計算徑向力時,在沿積分路徑積分的過程中,主氣隙磁密和邊緣氣隙磁密的誤差會有一個累加的效果。因此,只要最終的徑向力計算精度滿足要求,則可以認為所建立的氣隙磁密模型有效。

圖18 邊緣氣隙磁密Bf0對比圖(θ=9°)Fig.18 Comparison diagram of edge air gap Bf0 flux density (θ=9°)

4.2 徑向力的對比與驗證

分別為A1極繞組通入電流iA1=3 A,9 A,15 A以模擬未磁飽和、部分磁飽和以及完全磁飽和的情形,進行瞬態(tài)有限元分析。在一個完整周期內(nèi),以三維有限元計算結(jié)果為參考,將文獻[14]中的徑向力模型、本文式(27)所示徑向力模型以及式(28)所示簡化后的徑向力模型計算結(jié)果作比較,如圖19所示。

圖19 x軸正方向徑向力全周期模型對比圖Fig.19 Comparison diagram of the full cycle model of radial force in the positive direction of the x-axis

可以看出,式(27)、(28)具有更好的精度,但是在θ=±22.5°處(即一個周期的始末),徑向力模型的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果有非常大的誤差。不能僅因為某處的大偏差就否認徑向力模型的價值,因此嘗試對徑向力模型與有限元計算結(jié)果的絕對誤差求均值,以更合理地量化誤差,從而從整體的角度去評價徑向力模型的適用性。

分析圖19(a)可知,iA1=3 A時,三種徑向力模型的計算結(jié)果均與有限元計算結(jié)果比較相符,精度良好。

分析圖19(b)可知,iA1=9 A時,文獻[14]徑向力模型、本文式(27)、式(28)與有限元計算結(jié)果的絕對誤差平均值分別是19.19%、11.19%、18.77%,本文式(27)、式(28)兩種模型的精度更高。其中式(27)的精度最高,但在θ=±7.5°處有一個馬鞍形的降落。

分析圖19(c)可知,iA1=15 A時,文獻[14]徑向力模型、本文式(27)、式(28)與有限元計算結(jié)果的絕對誤差平均值分別是43.33%、14.05%、25.84%。三種數(shù)學模型在完全交疊區(qū)的計算結(jié)果差異最大,因此在此區(qū)間內(nèi)進一步進行比較,可得:文獻[14]徑向力模型與有限元計算結(jié)果的最大誤差為75.41%,式(27)和式(28)與有限元計算結(jié)果的最大誤差均為10.78%。但式(28)在θ=±7.5°處沒有一個馬鞍形的降落,因此比式(27)能更好地描述有限元計算結(jié)果的整體趨勢。

綜上,在鐵心未磁飽和以及部分磁飽和時,所建考慮磁飽和的徑向力模型能較準確得描述出徑向力的整體變化規(guī)律,簡化前的模型精度更高,而簡化后的模型對徑向力隨轉(zhuǎn)子位置角變化趨勢的描述更好。在完全磁飽和時,所建考慮磁飽和的徑向力模型在簡化前后都能比不考慮磁飽和的徑向力模型精度更好,但簡化前的模型對徑向力隨轉(zhuǎn)子位置角整體變化趨勢的描述卻不如簡化后,這可能是由于此時的邊緣氣隙磁密與假定情況有較大差異。

需要說明的是,三維有限元分析對計算資源的占用以及所需的時長都遠大于二維有限元分析,但對磁密和徑向力的反映會更精確,能反映的影響因素也更多(例如漏磁和繞組端部效應(yīng))。

5 結(jié)語

徑向力是無軸承開關(guān)磁阻電機的重要性能指標,有效的徑向力數(shù)學模型可以為電機本體和控制系統(tǒng)設(shè)計提供理論參考?？紤]到無軸承開關(guān)磁阻電機經(jīng)常在磁飽和狀態(tài)工作,而經(jīng)典的忽略磁飽和影響的徑向力解析模型具有不適用于磁飽和工況的局限性。因此本文以BSRMWR為研究對象,對鐵心的磁化曲線進行擬合,結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力法推導(dǎo)了考慮磁飽和影響的全周期徑向力模型,并在對比分析了邊緣氣隙磁密和主氣隙磁密對徑向力的影響后,對所建徑向力模型進行簡化,減小了計算量。最后利用三維有限元分析驗證了所建徑向力模型對未磁飽和、部分磁飽和以及完全磁飽和工況均適用。該模型的建立可以為電機運行特性分析、本體優(yōu)化以及控制器設(shè)計提供更準確的理論參考。在忽略邊緣氣隙磁密后,還可使模型大幅簡化,降低復(fù)雜度,從而有更高的應(yīng)用價值。