董瑤瑤，劉 堅(jiān)

小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力表現(xiàn)的實(shí)證研究

董瑤瑤1，2，劉 堅(jiān)1，2

（1．北京師范大學(xué) 中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875；2．北京師范大學(xué) 中國(guó)教育創(chuàng)新研究院，廣東 珠海 519087）

發(fā)展小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力有助于促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的理性精神，契合了大數(shù)據(jù)時(shí)代對(duì)現(xiàn)代公民的素養(yǎng)要求．對(duì)此，采取混合研究方法，以一所普通公辦小學(xué)的321名六年級(jí)學(xué)生為研究對(duì)象，基于統(tǒng)計(jì)推理能力的評(píng)價(jià)量規(guī)來(lái)開展表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，刻畫了學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理的總體表現(xiàn)及典型表現(xiàn)特征．結(jié)果顯示：在總體表現(xiàn)上，近九成六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力處于單一結(jié)構(gòu)水平和多元結(jié)構(gòu)水平，其中超過五成的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，少數(shù)學(xué)生仍處于前結(jié)構(gòu)水平，極少數(shù)能達(dá)關(guān)聯(lián)水平．在具體表現(xiàn)特征上：86.0%的六年級(jí)學(xué)生能推測(cè)數(shù)據(jù)之外的信息；90.1%的六年級(jí)能運(yùn)用數(shù)據(jù)作為證據(jù)來(lái)初步解釋推測(cè)；32.1%的學(xué)生能真正反思到推測(cè)的不確定性；在3個(gè)指標(biāo)上，學(xué)生存在不同的作答策略和學(xué)習(xí)迷思．由此，通過實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)框架、測(cè)試題、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的有機(jī)統(tǒng)一，構(gòu)建了統(tǒng)計(jì)推理能力的評(píng)價(jià)體系，為推動(dòng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力發(fā)展，以及數(shù)據(jù)意識(shí)和推理意識(shí)的培養(yǎng)提供了基礎(chǔ)．

小學(xué)；統(tǒng)計(jì)推理；量規(guī)；測(cè)評(píng)；SOLO；數(shù)據(jù)意識(shí)；推理意識(shí)

1 問題提出

統(tǒng)計(jì)推理能力（Statistical Reasoning Ability）強(qiáng)調(diào)“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”，是現(xiàn)代公民需具備的重要素養(yǎng)[1]，其核心內(nèi)涵為運(yùn)用數(shù)據(jù)在不確定問題中做出理性判斷和決策．統(tǒng)計(jì)推理在經(jīng)濟(jì)、政治和個(gè)人生活中發(fā)揮著重要作用．例如，在個(gè)體日常生活中，彩票購(gòu)買、炒股、房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)、市場(chǎng)菜價(jià)評(píng)估等均需基于數(shù)據(jù)做出判斷．這種基于數(shù)據(jù)做出理性判斷已成為新型決策思維方式．在此背景下，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力得到了廣泛關(guān)注．如國(guó)際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織指出：“學(xué)生作為未來(lái)公民應(yīng)該熟悉大數(shù)據(jù)的性質(zhì)，并能在變化和不確定的情境中做出明智的決策．”[2]中國(guó)新出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“數(shù)據(jù)意識(shí)”作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提出“會(huì)用數(shù)據(jù)的分析結(jié)果解釋和預(yù)測(cè)不確定現(xiàn)象，形成合理的判斷或決策”[3]．可見數(shù)據(jù)意識(shí)的內(nèi)涵和統(tǒng)計(jì)推理緊密相連，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力的重視．然而，從統(tǒng)計(jì)推理教學(xué)現(xiàn)狀上看，統(tǒng)計(jì)課程本身處在中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“弱勢(shì)”地位[4]，統(tǒng)計(jì)推理的教學(xué)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言也更具挑戰(zhàn)性[5]．在日常的課堂活動(dòng)中，“數(shù)據(jù)”被視為“數(shù)”而不是“情境中的數(shù)”．統(tǒng)計(jì)教學(xué)被當(dāng)作“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)[6]，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)變成了“確定性的教學(xué)”，這同“變”中尋找“不變”的統(tǒng)計(jì)推理教學(xué)理念背道而馳．盡管中國(guó)已有研究探索了小學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念和統(tǒng)計(jì)思維的發(fā)展水平和表現(xiàn)特征[4-8]，也有研究探索了國(guó)外統(tǒng)計(jì)推理的測(cè)評(píng)案例[9]，但缺乏對(duì)中國(guó)小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理表現(xiàn)水平的實(shí)證研究．對(duì)此，只有明確了小學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理有哪些具體的行為表現(xiàn)，才有望幫助教師了解統(tǒng)計(jì)推理和學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理的進(jìn)階策略．

已有研究對(duì)統(tǒng)計(jì)推理內(nèi)涵、評(píng)價(jià)指標(biāo)、水平劃分進(jìn)行了探索．在統(tǒng)計(jì)推理的內(nèi)涵研究上，第一種觀點(diǎn)基于統(tǒng)計(jì)概念來(lái)定義統(tǒng)計(jì)推理，側(cè)重于以知識(shí)概念為核心，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)推理能解釋統(tǒng)計(jì)的過程和結(jié)果[10-11]；第二種觀點(diǎn)認(rèn)為統(tǒng)計(jì)推理是做出統(tǒng)計(jì)推斷的推理過程，突出了統(tǒng)計(jì)推斷的核心作用，強(qiáng)調(diào)了推理是一種認(rèn)知過程[12-14]；第三種觀點(diǎn)以結(jié)論的不確定性為標(biāo)識(shí)，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)推理是一種合情推理，強(qiáng)調(diào)用歸納的方法來(lái)探索和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)據(jù)模式[15]．不同研究者對(duì)統(tǒng)計(jì)推理的概念解讀都體現(xiàn)了“對(duì)不確定問題做出決策”的內(nèi)涵．正如PISA 2021所強(qiáng)調(diào)的那樣，統(tǒng)計(jì)推理是要讓學(xué)生在“不確定”的現(xiàn)實(shí)情境中挖掘數(shù)據(jù)模式，發(fā)揮統(tǒng)計(jì)服務(wù)于決策的實(shí)際作用[2]．相比之下，第二種觀點(diǎn)既體現(xiàn)了推理過程，又充分考慮了統(tǒng)計(jì)的不確定性．結(jié)合小學(xué)生特征，研究從該視角出發(fā)，將統(tǒng)計(jì)推理的概念界定為：“學(xué)生能運(yùn)用已有數(shù)據(jù)對(duì)統(tǒng)計(jì)中的不確定性問題做出合理推測(cè)的推理過程．”

關(guān)于統(tǒng)計(jì)推理的評(píng)價(jià)指標(biāo)，在早期研究中，研究者大多基于特定的統(tǒng)計(jì)概念或數(shù)據(jù)處理過程來(lái)構(gòu)建統(tǒng)計(jì)推理的評(píng)價(jià)指標(biāo)[16-17]．隨著國(guó)際統(tǒng)計(jì)教育研究的發(fā)展，研究者越來(lái)越關(guān)注在中小學(xué)領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生的非正式統(tǒng)計(jì)推斷能力，出現(xiàn)以推斷為核心的評(píng)價(jià)框架[12-13，18]．如Makar和Rubin將統(tǒng)計(jì)推理視為得出推斷的思維過程，提出了三維理論框架： ①概括數(shù)據(jù)之外信息——對(duì)超出數(shù)據(jù)本身的總體做出推斷，這是一種推測(cè)性主張；②把數(shù)據(jù)作為證據(jù)——結(jié)合情境，以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作為證據(jù)來(lái)闡述結(jié)論；③運(yùn)用概率語(yǔ)言——運(yùn)用概率語(yǔ)言表達(dá)和闡明推斷的不確定性．該框架進(jìn)一步明晰了統(tǒng)計(jì)推理的認(rèn)知要素，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，得到許多國(guó)際研究者的認(rèn)可和應(yīng)用．關(guān)于統(tǒng)計(jì)推理的水平劃分，部分研究基于SOLO分類理論開發(fā)了相關(guān)的水平模型或評(píng)價(jià)量規(guī)．如Goss基于SOLO分類理論，針對(duì)變異性的運(yùn)用、情境的運(yùn)用、確定性和論證這3個(gè)維度分別構(gòu)建了前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)水平，由此分析六～八年級(jí)學(xué)生得出統(tǒng)計(jì)推斷的推理過程[19]．除了基于SOLO分類理論，其它研究也對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理的表現(xiàn)水平做了分析[20]．縱觀已有研究進(jìn)展，一些研究者多在課堂研究或設(shè)計(jì)研究中以前后測(cè)的形式來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力，但這一類評(píng)價(jià)工具很難說(shuō)是真正在考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力這一構(gòu)念．

綜上，研究通過對(duì)Makar和Rubin三維理論框架本土化，形成小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力評(píng)價(jià)指標(biāo)，而后基于SOLO分類理論為評(píng)價(jià)指標(biāo)劃分學(xué)生表現(xiàn)水平，開發(fā)小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力評(píng)價(jià)量規(guī)．基于此，先從宏觀層面總體描述小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力的表現(xiàn)水平，再?gòu)奈⒂^層面深度刻畫不同水平學(xué)生的表現(xiàn)案例，以期為教師識(shí)別、評(píng)價(jià)、提升小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力提供借鑒，從而推動(dòng)小學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)和推理意識(shí)的培養(yǎng)．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

以小學(xué)教育終端的六年級(jí)學(xué)生為例，采取方便抽樣和整群抽樣，在中國(guó)B市郊區(qū)選取了1所中等辦學(xué)水平的公辦小學(xué)，共9個(gè)班級(jí)的322名六年級(jí)學(xué)生參加測(cè)試．有效樣本量為321．其中，男生165名（51.4%），女生156名（48.6%）．

2.2 研究工具

2.2.1 統(tǒng)計(jì)推理能力評(píng)價(jià)量規(guī)

研究開發(fā)了由“3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)×4個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)”構(gòu)成的小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力評(píng)價(jià)量規(guī)（見表1），該量規(guī)內(nèi)容也充分體現(xiàn)了對(duì)小學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)發(fā)展的要求．首先，基于Makar和Rubin的統(tǒng)計(jì)推理三維理論框架，經(jīng)文獻(xiàn)分析、專家訪談后構(gòu)建了統(tǒng)計(jì)推理能力的3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)．其次，結(jié)合SOLO分類理論，通過文獻(xiàn)分析，針對(duì)統(tǒng)計(jì)推理能力的3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)分別初步構(gòu)建“前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)水平”4個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)．然后，經(jīng)過專家訪談、6位學(xué)生出聲思維、第一輪小規(guī)模預(yù)測(cè)試、第二輪大規(guī)模預(yù)測(cè)試等多輪迭代，在學(xué)生的思維過程證據(jù)和專家認(rèn)可（含統(tǒng)計(jì)教育研究領(lǐng)域?qū)＜?、小學(xué)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐專家）的基礎(chǔ)上，該套評(píng)價(jià)量規(guī)得以最終確立．

該套評(píng)價(jià)量規(guī)的開發(fā)過程充分基于學(xué)生實(shí)證證據(jù)，研究在此基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生的思維過程和建構(gòu)作答反應(yīng)，以基于現(xiàn)實(shí)情境的統(tǒng)計(jì)開放題測(cè)驗(yàn)形式對(duì)小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力進(jìn)行表現(xiàn)性評(píng)價(jià)．其中，測(cè)試題的編制主要以評(píng)價(jià)量規(guī)中的“3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)”為理論指導(dǎo)．單題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的編制以“4個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)”為理論指導(dǎo)，等級(jí)1“前結(jié)構(gòu)水平”、等級(jí)2“單一結(jié)構(gòu)水平”、等級(jí)3“多元結(jié)構(gòu)水平”、等級(jí)4“關(guān)聯(lián)水平”分別賦分為1分、2分、3分、4分，等級(jí)0（空白作答、無(wú)關(guān)作答）賦分為0分．同時(shí)，對(duì)每個(gè)等級(jí)下的學(xué)生作答進(jìn)行雙位編碼，編碼的第一位表示得分，第二位表示作答類型，如等級(jí)2中的編碼“10”表示得“2分”中的“類型0”．由此，該套評(píng)價(jià)體系較好地實(shí)現(xiàn)了評(píng)價(jià)框架、測(cè)試題、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的有機(jī)統(tǒng)一．

表1 小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力的評(píng)價(jià)量規(guī)

2.2.2 統(tǒng)計(jì)推理能力測(cè)試卷

基于研究構(gòu)建的小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力評(píng)價(jià)量規(guī)，“統(tǒng)計(jì)推理能力測(cè)試卷”包含推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息、運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)、反思推測(cè)不確定性3個(gè)指標(biāo)，每個(gè)指標(biāo)含4道題，共12道題（1道畫圖題、2道簡(jiǎn)答題、1道填空題和8道解答題）．該測(cè)試工具綜合參考了國(guó)內(nèi)外大規(guī)模測(cè)評(píng)、中小學(xué)統(tǒng)計(jì)教育研究和小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)題，兼顧畫圖題、簡(jiǎn)答題、填空題、解答題等多種題型的分布，所選取的情境是學(xué)生熟悉的且可理解的、有吸引力、公平的但又不至于成為“強(qiáng)干擾”的現(xiàn)實(shí)情境．工具的研發(fā)先后經(jīng)歷了出聲思維及訪談、第一輪小規(guī)模預(yù)測(cè)試、專家外審、第二輪大規(guī)模預(yù)測(cè)試等環(huán)節(jié)來(lái)保證試題質(zhì)量．測(cè)試卷的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.76，符合測(cè)量學(xué)的基本要求[21]．驗(yàn)證性因素分析結(jié)果為：2/=1.89，=0.053<0.06，=0.048<0.05，=0.93，=0.91，說(shuō)明該測(cè)試工具的結(jié)構(gòu)效度良好[22]．

研究綜合考慮課標(biāo)要求、情境設(shè)計(jì)、素材呈現(xiàn)、文字表述、設(shè)問設(shè)計(jì)、干擾因素等方面來(lái)進(jìn)行科學(xué)命題．圖1呈現(xiàn)了測(cè)試題中的一道大題．該題的情境為跑步比賽，題型均為解答題．第（1）小題對(duì)應(yīng)指標(biāo)2“運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”，主要考查學(xué)生挖掘已有數(shù)據(jù)尋找盡可能多的證據(jù)的意識(shí)；第（2）小題對(duì)應(yīng)指標(biāo)3“反思推測(cè)不確定性”，主要考查學(xué)生對(duì)結(jié)論不確定性的反思．該題用統(tǒng)計(jì)表的形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，是對(duì)原始數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單分類統(tǒng)計(jì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要包括統(tǒng)計(jì)表（能讀取統(tǒng)計(jì)表信息）和平均數(shù)（能用平均數(shù)比較甲乙運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)）．

2.3 研究過程

為有效獲得學(xué)生表現(xiàn)數(shù)據(jù)，研究以班級(jí)為單位進(jìn)行團(tuán)體施測(cè)，由該班數(shù)學(xué)教師或班主任進(jìn)行監(jiān)考，研究者進(jìn)行巡考．測(cè)試時(shí)長(zhǎng)共60分鐘．在測(cè)試結(jié)束后，由研究者完成所有試卷批閱工作．研究通過評(píng)分者內(nèi)部一致性和評(píng)分者間的一致性兩方面確保閱卷的信度．在評(píng)分者內(nèi)部一致性方面，研究者在閱卷過程中，每完成100份試卷評(píng)閱者會(huì)從中隨機(jī)抽取5%的試卷進(jìn)行復(fù)審．在評(píng)分者間一致性方面，當(dāng)閱卷結(jié)束后，研究者隨機(jī)抽取20%已閱試卷，由3位數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究生作為閱卷員對(duì)主觀題進(jìn)行雙獨(dú)立評(píng)分．每位閱卷員均需經(jīng)過半小時(shí)的閱卷培訓(xùn)，由研究者向其說(shuō)明閱卷目的、評(píng)分規(guī)則和注意事項(xiàng)．閱卷培訓(xùn)結(jié)束后，每位閱卷員將先試評(píng)5份試卷，直至評(píng)分結(jié)果達(dá)成一致．閱卷員通過試評(píng)后，3位閱卷員對(duì)20%的試卷進(jìn)行核驗(yàn)，核驗(yàn)結(jié)果顯示每道主觀題與研究者的評(píng)分一致性均大于90%．

在數(shù)據(jù)整理和分析環(huán)節(jié)，采用Excel2019、SPSS22.0、Mplus8.0軟件錄入、清理和分析數(shù)據(jù)．其中，運(yùn)用描述性統(tǒng)計(jì)、Rasch分析法對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力的總體表現(xiàn)進(jìn)行分析，運(yùn)用案例分析法將每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)上的不同水平學(xué)生的典型表現(xiàn)案例進(jìn)行分析．

3 研究方法

3.1 統(tǒng)計(jì)推理能力的總體表現(xiàn)

總體來(lái)看，六年級(jí)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力測(cè)驗(yàn)的總體得分率為54%．基于Rasch模型，運(yùn)用期望后驗(yàn)估計(jì)法估計(jì)統(tǒng)計(jì)推理總分能力值和3個(gè)指標(biāo)上的分維度能力值．學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理總分能力值的頻數(shù)分布如圖2所示．

圖2 六年級(jí)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理測(cè)驗(yàn)的總分能力值分布圖

從學(xué)生在各指標(biāo)上的能力值差異上看（見圖3），六年級(jí)學(xué)生在推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息上的能力值離散程度最大，說(shuō)明學(xué)生在該指標(biāo)上的能力值差異較大，兩級(jí)分化嚴(yán)重．相比之下，六年級(jí)學(xué)生在反思推測(cè)不確定性上的能力值差異明顯最小且得分更為集中．六年級(jí)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)推理3個(gè)指標(biāo)上的能力值平均水平大體相當(dāng)，但學(xué)生在推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息上的平均水平略高于其它兩個(gè)指標(biāo)．

圖3 六年級(jí)學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理測(cè)驗(yàn)的各指標(biāo)能力值分布

六年級(jí)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)推理3個(gè)指標(biāo)上的各等級(jí)人數(shù)分布有所差異（見表2）．在指標(biāo)1“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”上，仍有14.0%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，和其它兩個(gè)指標(biāo)相差較大．在指標(biāo)2“運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”上，有36.4%的學(xué)生達(dá)到多元結(jié)構(gòu)水平，明顯比其它兩個(gè)指標(biāo)的該水平人數(shù)占比要多．對(duì)于指標(biāo)3“反思推測(cè)不確定性”而言，有61.1%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，同指標(biāo)2在該水平上的人數(shù)百分比相差了8.5%．

表2 六年級(jí)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)推理能力各指標(biāo)上的等級(jí)分布

注：“（ ）”內(nèi)表示該指標(biāo)對(duì)應(yīng)水平的人數(shù)．

3.2 統(tǒng)計(jì)推理能力的表現(xiàn)案例

3.2.1 “推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”上的學(xué)生表現(xiàn)案例

學(xué)生推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息的關(guān)鍵是把握數(shù)據(jù)的規(guī)律性和隨機(jī)性，從而進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)或推斷總體．下面以學(xué)生在一道典型題上的4水平表現(xiàn)為例，分析學(xué)生的典型表現(xiàn)．

【典型題1】六（2）班共40人，他們開展了“身高調(diào)查”的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)．笑笑所在小組已經(jīng)任意調(diào)查了全班20位同學(xué)，并整理了這20位同學(xué)的身高分布情況，如下圖．圖中每個(gè)黑圈“”代表已調(diào)查的1位同學(xué)．（1）請(qǐng)推測(cè)該班剩下20位同學(xué)的身高情況，用“○”表示，并將“○”繼續(xù)添加在圖中黑圈的上方．

六年級(jí)學(xué)生在“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”時(shí)，處于前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生基本忽視已有數(shù)據(jù)的規(guī)律，意識(shí)不到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，他們所得推測(cè)基本是個(gè)人主觀想法或極端判斷．在典型題1中，有24.6%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，這部分學(xué)生基本忽視已有數(shù)據(jù)規(guī)律，往往聯(lián)系班內(nèi)同學(xué)身高情況，按主觀想法畫該班剩下20位同學(xué)的身高分布．

處于單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生僅能把握數(shù)據(jù)的“規(guī)律性”或“隨機(jī)性”其中之一，做推測(cè)時(shí)的思維簡(jiǎn)單且直接．有40.8%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，其中28.0%的學(xué)生能意識(shí)到已調(diào)查的20位同學(xué)是“任意選取的”，能夠體會(huì)到20人之外的20位同學(xué)的身高數(shù)據(jù)和已調(diào)查的不一樣，但他們難以恰當(dāng)理解已有數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的信息．例如，有的學(xué)生在推測(cè)剩下20人身高時(shí)，會(huì)將數(shù)據(jù)過度集中在150、151、152這幾個(gè)數(shù)值上（見圖4），可見這部分學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，但把握不好數(shù)據(jù)的規(guī)律性．此外，有9.9%的學(xué)生直接復(fù)制或基本復(fù)制已有的20人身高分布，這部分學(xué)生能夠體會(huì)出數(shù)據(jù)的規(guī)律性，但缺乏隨機(jī)意識(shí)．

處于“多元結(jié)構(gòu)水平”的學(xué)生則大致能把握和兼顧數(shù)據(jù)“規(guī)律性”和“隨機(jī)性”，但會(huì)忽視小部分因素．在該題中，有26.8%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，并有19.0%的學(xué)生能夠按照已有數(shù)據(jù)規(guī)律來(lái)畫并體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，他們能在153～156處增加數(shù)據(jù)，但往往存在一些小缺陷．如圖4（3）的學(xué)生案例所示，盡管該學(xué)生意識(shí)到這20人和已調(diào)查20人的身高分布會(huì)不相同，且整體分布符合已有數(shù)據(jù)規(guī)律，但他在149 cm、150 cm、152 cm處均畫了3個(gè)圓，一定程度上忽視了已有數(shù)據(jù)在這3個(gè)身高點(diǎn)上所蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)規(guī)律．

處于“關(guān)聯(lián)水平”的學(xué)生能較好地把握和協(xié)調(diào)數(shù)據(jù)的“規(guī)律性”和“隨機(jī)性”，能全面地推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息．在該題中，僅3.1%的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)水平．和“多元結(jié)構(gòu)水平”的學(xué)生相比，這部分學(xué)生思考問題更加全面，能夠聚焦整體讓數(shù)據(jù)分布更加完整，會(huì)盡可能考慮到一些“小缺陷”．他們意識(shí)到，剩下20人的身高可能會(huì)分布在153 cm～156 cm之間，并且也能體會(huì)到已有數(shù)據(jù)的規(guī)律，即身高數(shù)據(jù)集中在150 cm～152 cm之間，且151 cm最多（見圖4）．

圖4 典型題1的4水平學(xué)生表現(xiàn)

3.2.2 “運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”上的學(xué)生表現(xiàn)案例

學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)的核心在于“自圓其說(shuō)”，關(guān)鍵是用數(shù)據(jù)作為證據(jù)來(lái)“說(shuō)話”，能從數(shù)據(jù)的多個(gè)角度或運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量（如平均數(shù)）來(lái)解釋推測(cè)．下面將以學(xué)生在圖1第（1）小題（典型題2）上的表現(xiàn)為例，分析學(xué)生在該指標(biāo)上的典型表現(xiàn)．

處于前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生基本不具有數(shù)據(jù)作為證據(jù)的意識(shí)，他們通常運(yùn)用個(gè)人喜好、個(gè)人經(jīng)驗(yàn)或僅基于情境來(lái)解釋推測(cè)．如在典型題2中，有7.2%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平．這一水平的學(xué)生往往分成兩類：一類是不具備數(shù)據(jù)作為證據(jù)的意識(shí)，運(yùn)用個(gè)人喜好、個(gè)人經(jīng)驗(yàn)或僅基于情境來(lái)解釋推測(cè)，如作答“甲和教練關(guān)系更好”“甲爆發(fā)力強(qiáng)所以跑得快”等；另一類是具有數(shù)據(jù)作為證據(jù)的潛在意識(shí)，但毫無(wú)邏輯或表述非常不清楚．

處于單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生具有數(shù)據(jù)作為證據(jù)的初步意識(shí)，能基于對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感受，從數(shù)據(jù)的單一角度來(lái)簡(jiǎn)單解釋推測(cè)．在該題中，有54.8%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，這部分學(xué)生已然能夠運(yùn)用數(shù)據(jù)作為證據(jù)來(lái)解釋推測(cè)，但只能給出1個(gè)量化表征以外的理由．他們解釋推測(cè)的策略主要包含4種（見表3）．①縱向比較成績(jī)發(fā)展趨勢(shì)，如甲發(fā)揮得越來(lái)越好、甲跑得更穩(wěn)定等．這一類學(xué)生占40.5%，是單一結(jié)構(gòu)水平學(xué)生的典型作答．和多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生相比，這一部分學(xué)生只能相對(duì)直接地描述甲或乙從第1場(chǎng)到第5場(chǎng)的比賽成績(jī)的高低變化，但不能進(jìn)一步說(shuō)明變化范圍．②橫向比較獲勝次數(shù)，即指出甲的獲勝次數(shù)比乙更高．③最值角度，即用甲乙最慢或最快的成績(jī)進(jìn)行說(shuō)理．④就近思想，即用最近一次比賽（第5場(chǎng)）數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)理．

表3 “運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”典型題學(xué)生主要作答策略

處于多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生具有數(shù)據(jù)作為證據(jù)的基本意識(shí)，大多能從數(shù)據(jù)的多個(gè)角度或統(tǒng)計(jì)量的其中一類來(lái)解釋推測(cè)．該題有31.2%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，作答策略主要有3種．①19.6%的學(xué)生能說(shuō)出2個(gè)量化表征以外的理由，即對(duì)單一結(jié)構(gòu)水平中的4種作答策略進(jìn)行兩兩組合，如甲的獲勝次數(shù)多且甲發(fā)揮得越來(lái)越好．②3.7%的學(xué)生能從整體視角出發(fā)，運(yùn)用平均數(shù)、成績(jī)總數(shù)、勝率等量化表征形式來(lái)說(shuō)明數(shù)據(jù)的整體特征和集中趨勢(shì)．③7.8%的學(xué)生給出的2個(gè)理由中有1個(gè)量化表征形式（見圖5），這部分學(xué)生相比使用第一種策略的學(xué)生具有更好的定量分析意識(shí)．

圖5 典型題2的多元結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)水平學(xué)生表現(xiàn)案例

處于關(guān)聯(lián)水平學(xué)生具有數(shù)據(jù)作為證據(jù)的較強(qiáng)意識(shí)，相比多元結(jié)構(gòu)水平學(xué)生解釋推測(cè)時(shí)更加全面、完整和有邏輯性．該題僅有5.6%的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)水平，這部分學(xué)生能深度挖掘和綜合數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的信息，能給出3個(gè)及以上的理由，如“獲勝次數(shù)+最近場(chǎng)次+成績(jī)發(fā)展趨勢(shì)”“獲勝次數(shù)+成績(jī)發(fā)展趨勢(shì)+平均數(shù)比較”等3種及以上數(shù)據(jù)解讀視角相結(jié)合的說(shuō)理策略（見圖5）．

3.2.3 “反思推測(cè)不確定性”上的學(xué)生表現(xiàn)案例

學(xué)生反思推測(cè)不確定性的關(guān)鍵在于知道要提高推測(cè)可靠性以及如何提高，本質(zhì)上是對(duì)統(tǒng)計(jì)推理所得結(jié)論的反思和精進(jìn)．下面將以學(xué)生在典型題3上的表現(xiàn)為例，分析學(xué)生在該指標(biāo)上的典型表現(xiàn)．

【典型題3】下面呈現(xiàn)了國(guó)內(nèi)某疫情的每月新增病例人數(shù)．在“十一黃金周”“五一小長(zhǎng)假”以及寒暑假、春節(jié)這些相對(duì)較長(zhǎng)的節(jié)假日期間，往往人流量較大．同時(shí)，一般情況下，導(dǎo)致該疫情傳播的病毒在低溫狀態(tài)下更容易生存．你對(duì)所做的預(yù)測(cè)有多大把握： ．如果把握不大，還可以收集哪些數(shù)據(jù)來(lái)更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來(lái)疫情狀況？具體需要怎么收集？

六年級(jí)學(xué)生在“反思推測(cè)不確定性”時(shí)，處于前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生對(duì)推測(cè)不確定性的判斷是一種主觀臆斷，或極端地認(rèn)為基于已有信息的推測(cè)毫無(wú)可靠性．典型題3中，有1.9%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，這部分學(xué)生往往不能判斷所得預(yù)測(cè)的不確定性，給出的收集數(shù)據(jù)建議是圍繞“疫情”情境和已有題干信息的“擦邊球式”作答，如建議收集人流量數(shù)據(jù)等．

單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生往往囿于手頭上數(shù)據(jù)難以跳脫出來(lái)，即便他們能意識(shí)到要提高推測(cè)可靠性，也不知道如何提高，提出的改進(jìn)策略往往同統(tǒng)計(jì)情境搭邊但無(wú)效．該題有70.4%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，其中有29.6%的學(xué)生表示了對(duì)自己所得預(yù)測(cè)的不確定性，但他們給出的數(shù)據(jù)收集建議和前結(jié)構(gòu)水平學(xué)生雷同，是圍繞“疫情”情境的“擦邊球式”作答．也有24.6%的學(xué)生表示了預(yù)測(cè)的不確定性，但給不出數(shù)據(jù)收集建議或建議錯(cuò)誤（見圖6）．此外，也有15.0%的學(xué)生對(duì)所得預(yù)測(cè)完全確定、相當(dāng)確定，且所給建議錯(cuò)誤或部分完整．

處于多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生能清楚地意識(shí)到推測(cè)是不確定的，大多知道收集哪些數(shù)據(jù)來(lái)提高推測(cè)可靠性并嘗試說(shuō)出改進(jìn)策略，但往往不知道怎樣收集這些數(shù)據(jù)，也難以詳細(xì)說(shuō)明具體該如何做．在該題中，有18.4%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，這部分學(xué)生的表現(xiàn)可根據(jù)所表達(dá)的不確定性語(yǔ)言類型大致分為兩種．①9.3%的學(xué)生能用定性語(yǔ)言表示所得預(yù)測(cè)的不確定性，且給出的數(shù)據(jù)收集建議部分合理，他們往往能說(shuō)明收集什么數(shù)據(jù)來(lái)提高疫情預(yù)測(cè)的可靠性，如收集疫苗接種數(shù)據(jù)、收集歷年數(shù)據(jù)等（見圖6）．②8.4%學(xué)生能用定量語(yǔ)言（如70%）表示所得預(yù)測(cè)的不確定性，且給出的數(shù)據(jù)收集建議部分合理（見圖6）．

關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生對(duì)如何提高推測(cè)可靠性的認(rèn)識(shí)是深刻、徹底的，他們能夠完整、詳細(xì)地說(shuō)明收集什么數(shù)據(jù)和怎樣收集數(shù)據(jù)．在該題中，共有4.7%的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)水平，這部分學(xué)生能詳細(xì)地說(shuō)出收集什么數(shù)據(jù)和怎樣收集數(shù)據(jù)．如：收集前幾年的數(shù)據(jù)或國(guó)外疫情數(shù)據(jù)，可以從國(guó)家數(shù)據(jù)庫(kù)或新聞網(wǎng)站上搜索．同樣，這一水平學(xué)生的表現(xiàn)也可分為使用定性語(yǔ)言（人數(shù)占比1.9%）或用定量語(yǔ)言（人數(shù)占比2.8%）表達(dá)預(yù)測(cè)不確定性這兩種（見圖6）．這一水平學(xué)生往往能跳脫已有題目情境本身，對(duì)和該情境相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，由此為該情境下推測(cè)可靠性的提高提供進(jìn)一步的證據(jù)．

圖6 典型題3的不同水平學(xué)生表現(xiàn)案例

4 結(jié)論與討論

（1）總體上，大多數(shù)六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力處于單一結(jié)構(gòu)水平和多元結(jié)構(gòu)水平，少數(shù)學(xué)生仍處于前結(jié)構(gòu)水平，極少數(shù)能達(dá)關(guān)聯(lián)水平．

研究通過對(duì)B市郊區(qū)321名六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理測(cè)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，有86.0%～90.4%的六年級(jí)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)推理3個(gè)指標(biāo)上處于單一結(jié)構(gòu)水平和多元結(jié)構(gòu)水平．其中，52.6%～61.1%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，28.7%～36.4%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平．這一結(jié)果說(shuō)明，超過五成的六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力處于單一結(jié)構(gòu)水平，近九成六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力已然處于單一結(jié)構(gòu)水平和多元結(jié)構(gòu)水平．相比而言，僅有少數(shù)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力仍處于前結(jié)構(gòu)水平這一較低層次，且極少數(shù)學(xué)生能達(dá)關(guān)聯(lián)水平．該結(jié)果可得到已有相關(guān)研究的支持，如Callingham和Watson的大規(guī)模實(shí)證研究結(jié)果顯示，澳大利亞六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)和推理水平大多處于單一結(jié)構(gòu)水平，并逐步向多元結(jié)構(gòu)水平過渡，而在關(guān)聯(lián)水平和前結(jié)構(gòu)水平的比例則相對(duì)較低[23]．

六年級(jí)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力水平和該年齡段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)息息相關(guān)．根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，六年級(jí)11～12歲的學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算的過渡階段，這一階段的學(xué)生考試逐漸離開具體事物，根據(jù)假設(shè)來(lái)進(jìn)行邏輯推演[24]．SOLO分類理論中的關(guān)聯(lián)水平可對(duì)應(yīng)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論中的形式運(yùn)算階段[25]．這個(gè)年齡段的學(xué)生能從一個(gè)角度或多個(gè)角度出發(fā)較好地處理問題，但對(duì)抽象思維、邏輯思維有更高要求的題目，他們的思維發(fā)展水平尚難達(dá)到．這也進(jìn)一步解釋了為何只有少數(shù)六年級(jí)學(xué)生可達(dá)關(guān)聯(lián)水平，而大多學(xué)生還是處于單一結(jié)構(gòu)和多元結(jié)構(gòu)水平．

（2）在“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”上，仍有一定比例學(xué)生受困于基于主觀經(jīng)驗(yàn)做出推測(cè)而處于前結(jié)構(gòu)水平；單一結(jié)構(gòu)水平學(xué)生的表現(xiàn)特征和已有研究有所出入，部分學(xué)生所做推測(cè)能體現(xiàn)出不確定性，但會(huì)偏離數(shù)據(jù)規(guī)律．

對(duì)數(shù)據(jù)之外信息的推測(cè)在中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和課程體系相對(duì)被弱化．盡管如此，研究發(fā)現(xiàn)，已然有57.3%的學(xué)生可以到達(dá)單一結(jié)構(gòu)水平，28.7%的學(xué)生達(dá)到較高層次的多元結(jié)構(gòu)水平．受限于相應(yīng)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的缺乏，低層次的前結(jié)構(gòu)水平學(xué)生得不到相應(yīng)的教學(xué)支持而陷于困境．結(jié)果顯示，在“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”指標(biāo)上，仍有14.0%的六年級(jí)學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，這一比例和其它兩個(gè)指標(biāo)相差了4.7%～8.1%．結(jié)合前結(jié)構(gòu)水平學(xué)生在“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”上的表現(xiàn)特征可發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生的關(guān)鍵表現(xiàn)特征為基于個(gè)人主觀經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)情境做出推測(cè)，容易被無(wú)關(guān)信息所干擾．尤其是面對(duì)自己過于熟悉的統(tǒng)計(jì)情境時(shí)，他們很容易持有一種“先入為主”的偏見或誤解[26]，這種偏見或誤解會(huì)成為該水平學(xué)生思考時(shí)的“強(qiáng)干擾”，從而抹滅他們做出推測(cè)過程．

具體而言，在“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”指標(biāo)上，前結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)水平學(xué)生的表現(xiàn)特征可得到相關(guān)研究的支持[14，17]．然而，研究所得的單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生表現(xiàn)特征同部分研究結(jié)果有所差異．如Goss的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生很少能體會(huì)到數(shù)據(jù)隨機(jī)性，且得到的是確定性結(jié)論[19]．但研究結(jié)果顯示，單一結(jié)構(gòu)水平學(xué)生做出的推測(cè)除了表現(xiàn)為確定性結(jié)論，還有相當(dāng)一部分學(xué)生所做推測(cè)是不確定的、隨機(jī)的．他們的推測(cè)同時(shí)也會(huì)偏離已有數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的信息和規(guī)律．他們可能因?yàn)槭芟抻谏罱?jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，所以往往意識(shí)不到不確定性背后會(huì)有規(guī)律可循．

（3）絕大部分六年級(jí)學(xué)生能運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)，且相對(duì)其它兩個(gè)指標(biāo)，在該指標(biāo)處于多元結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生最多；各水平學(xué)生的表現(xiàn)特征同已有研究基本一致，但在運(yùn)用“怎樣的數(shù)據(jù)”解釋推測(cè)上存在差異．

研究結(jié)果顯示，90.1%的學(xué)生在“運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”上處于單一結(jié)構(gòu)及以上水平，已然具備運(yùn)用數(shù)據(jù)作為證據(jù)的初步意識(shí)．有37.3%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)水平，能從數(shù)據(jù)的多個(gè)角度或運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量來(lái)解釋自己的推論和預(yù)測(cè)．在統(tǒng)計(jì)推理的3個(gè)指標(biāo)中，“運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”指標(biāo)上處于高水平的學(xué)生最多，絕大部分六年級(jí)學(xué)生能運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)，這一結(jié)論可得到許多研究的支持．如Gil和Ben-Zvi針對(duì)以色列六年級(jí)學(xué)生的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，很大一部分六年級(jí)學(xué)生能用數(shù)據(jù)進(jìn)行不同程度的說(shuō)理或解釋[27]．張丹針對(duì)中國(guó)六年級(jí)學(xué)生的研究發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生已經(jīng)能基于給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理推斷，并開始從數(shù)據(jù)整體來(lái)解釋和說(shuō)理，觀察數(shù)據(jù)的角度也更加完整[4]．

具體而言，在“運(yùn)用數(shù)據(jù)解釋推測(cè)”指標(biāo)上，研究發(fā)現(xiàn)4個(gè)水平學(xué)生的表現(xiàn)特征同已有研究結(jié)果基本一致[17]．相比國(guó)際上的相關(guān)研究，研究還發(fā)現(xiàn)了六年級(jí)學(xué)生在運(yùn)用“怎樣的數(shù)據(jù)”解釋推測(cè)時(shí)的一些特點(diǎn)．例如，English和Watson針對(duì)澳大利亞六年級(jí)學(xué)生的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，在基于已有比賽成績(jī)選拔運(yùn)動(dòng)員時(shí)，學(xué)生更喜歡運(yùn)用“最佳成績(jī)”和“平均數(shù)”來(lái)說(shuō)理[28]．在同樣的題目情境和相似設(shè)問下，研究以中國(guó)六年級(jí)學(xué)生為研究對(duì)象，發(fā)現(xiàn)他們更喜歡運(yùn)用“成績(jī)發(fā)展趨勢(shì)”來(lái)說(shuō)理，但缺乏自發(fā)地運(yùn)用平均數(shù)進(jìn)行說(shuō)理的意識(shí)．盡管中國(guó)學(xué)生在小學(xué)階段已多次接觸和正式學(xué)習(xí)了平均數(shù)，但真正能在題目沒有明確要求和暗示下自覺運(yùn)用平均數(shù)“說(shuō)話”的學(xué)生卻是少數(shù)．

（4）在“反思推測(cè)不確定性”上，學(xué)生能用不確定性語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)并不代表他們能真正意義上反思推測(cè)的不確定性，且有較多比例的學(xué)生受困于“確定性思維定勢(shì)”和對(duì)已有數(shù)據(jù)“缺陷”的認(rèn)識(shí)不足而處于單一結(jié)構(gòu)水平．

研究結(jié)果顯示，有61.1%的學(xué)生在“反思推測(cè)不確定性”指標(biāo)上處于單一結(jié)構(gòu)水平．同“推測(cè)數(shù)據(jù)之外信息”指標(biāo)上的表現(xiàn)特征類似，六年級(jí)學(xué)生在“反思推測(cè)不確定性”時(shí)，較多處于單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生能意識(shí)到所做推測(cè)是不確定的．這一結(jié)果同已有研究有所出入．如Henriques和Oliveira針對(duì)葡萄牙八年級(jí)學(xué)生的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，很少有學(xué)生能使用不確定性語(yǔ)言來(lái)表達(dá)推測(cè)不確定性[29]．但進(jìn)一步挖掘單一結(jié)構(gòu)水平學(xué)生的思維特征可發(fā)現(xiàn)，即便這部分學(xué)生能用不確定性語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，也不代表他們能真正意義上反思推測(cè)的不確定性，而其根本原因主要有二．一是他們?cè)谧鼋y(tǒng)計(jì)推理時(shí)受困于“確定性思維”．即便有學(xué)生嘗試提出策略，也往往是和已有數(shù)據(jù)搭邊但無(wú)效的策略，依舊難以跳脫已有數(shù)據(jù)本身去提出提高推測(cè)可靠性的策略．在中國(guó)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容占了很大篇幅，小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往是追求一個(gè)確定的、固定的答案，這樣的確定性思維在學(xué)生心中已然是“根深蒂固”．而統(tǒng)計(jì)推理本身是研究“不確定性”的學(xué)問，這需要學(xué)生打破“確定性”的思維定式，這無(wú)疑對(duì)小學(xué)生而言是有挑戰(zhàn)的．二是他們對(duì)已有數(shù)據(jù)“缺陷”的反思不足，本質(zhì)上是忽視了一定統(tǒng)計(jì)情境和統(tǒng)計(jì)目的背景下數(shù)據(jù)收集的需求和必要性．?dāng)?shù)據(jù)作為“情境中的數(shù)”[30]，最終也應(yīng)回到數(shù)據(jù)情境和統(tǒng)計(jì)問題之下去思考——為何這樣收集數(shù)據(jù)以及為何收集這些數(shù)據(jù)？

相比之下，研究發(fā)現(xiàn)處于多元結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生（占比32.1%）已然能跳脫已有數(shù)據(jù)本身，用不確定性語(yǔ)言表達(dá)推測(cè)不確定性，并真正認(rèn)識(shí)到所做推測(cè)是不確定的．多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生還能說(shuō)出收集什么數(shù)據(jù)，關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生還能在此基礎(chǔ)上具體說(shuō)出怎樣收集數(shù)據(jù)．這兩個(gè)水平學(xué)生能真正聯(lián)系統(tǒng)計(jì)情境和統(tǒng)計(jì)目的來(lái)思考數(shù)據(jù)的缺陷和反思所做推測(cè)的可靠性，并從不同程度上提出提高推測(cè)可靠性的有效策略．

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An Empirical Study of Primary School Students’ Statistical Reasoning Performance

DONG Yao-yao1, 2, LIU Jian1, 2

(1. Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. China Education Innovation Institute, Beijing Normal University, Guangdong Zhuhai 519087, China)

The development of primary school students’ statistical reasoning ability helps to promote students to develop a rational spirit of “speaking with data”, which is in line with the literacy requirements of modern citizens in the era of big data. In this regard, a mixed research method is adopted. Taking 322 sixth-grade students from an ordinary public primary school as the research participants, the performance assessment is carried out based on the rubric of statistical reasoning ability. The current study depicts the overall performance and typical performance characteristics of students’ statistical reasoning. The results show that: in terms of overall performance, nearly 90% of the sixth-grade students’ statistical reasoning is at the Uni-structural level and Multi-structure level, and more than 50% of the students are at the Uni-structural level; a few students are still at the Pre-structure level, and very few can reach the Relational level. In terms of specific performance characteristics: 86.0 % of sixth graders can infer information beyond the data; 90.1% of sixth graders can use data as evidence to preliminarily explain the inference; 32.1% of them could really reflect on the uncertainty of the inference; and on the three indicators, students have different answering strategies and learning myths. As a result, by realizing the organic unity of the assessment framework, test items, and scoring standards, an assessment system for statistical reasoning ability is constructed, which reveals the reasoning cognitive process in the “statistics” area. The application provides a foundation for promoting the development of students’ statistical reasoning ability and the cultivation of data awareness and reasoning awareness.

primary school; statistical reasoning; rubric; assessment; SOLO; data awareness; reasoning awareness

G625.5

A

1004–9894（2024）01–0036–08

董瑤瑤，劉堅(jiān)．小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力表現(xiàn)的實(shí)證研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2024，33（1）：36-43．

2023–09–25

教育部教育管理與改革專項(xiàng)課題研究項(xiàng)目——德體美勞教育過程性評(píng)價(jià)框架研究（21JGWT0027）；北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心——區(qū)域教育質(zhì)量健康體檢項(xiàng)目（110105006）

董瑤瑤（1996—），女，浙江寧波人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育、教育評(píng)價(jià)研究．劉堅(jiān)為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]