摘" 要：預(yù)備知識(shí)不是“過過眼”就棄之不用，而是應(yīng)該重視它的工具性作用. 主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)與預(yù)備知識(shí)的聯(lián)結(jié)，抽象表達(dá)一類事物的整體，分散突破數(shù)學(xué)思維的難點(diǎn)，構(gòu)建從“不等”到“等”的運(yùn)算路徑，自覺形成整體思考的習(xí)慣，幫助學(xué)生有序完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：預(yù)備知識(shí)；高中數(shù)學(xué)；關(guān)鍵能力

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）11-0033-05

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)具體，高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)抽象. 教師應(yīng)該針對(duì)這一特征幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，包括知識(shí)與技能、方法與習(xí)慣、能力與態(tài)度等方面. 但在日常教學(xué)中，廣大一線教師往往忽視了預(yù)備知識(shí)的工具性作用，當(dāng)預(yù)備知識(shí)主題完成后，缺少教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)與預(yù)備知識(shí)聯(lián)結(jié)的環(huán)節(jié)，影響了知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)建立的完整性，導(dǎo)致預(yù)備知識(shí)處于“過眼”而不是“過渡”地位的窘境.

本文以預(yù)備知識(shí)的應(yīng)用為例，就如何聯(lián)結(jié)預(yù)備知識(shí)幫助學(xué)生抽象表達(dá)一類事物的整體，分散突破數(shù)學(xué)思維的難點(diǎn)，構(gòu)建從“不等”到“等”的運(yùn)算路徑，自覺形成整體思維的習(xí)慣等方面展開分析，真正讓預(yù)備知識(shí)幫助學(xué)生有序完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力做出有益的探索與實(shí)踐.

一、預(yù)備知識(shí)是高中數(shù)學(xué)必修課程的第一個(gè)教學(xué)主題

預(yù)備知識(shí)是高中數(shù)學(xué)必修課程的第一個(gè)教學(xué)主題，共18課時(shí). 它是以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從一元二次函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式（以下簡(jiǎn)稱“三個(gè)二次”）等內(nèi)容的學(xué)習(xí). 預(yù)備知識(shí)不僅能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，而且是學(xué)生學(xué)會(huì)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).“集合”為學(xué)生奠定了理解和準(zhǔn)確表達(dá)研究對(duì)象的基礎(chǔ)；“邏輯用語”為學(xué)生打造了重論據(jù)、講條理、有邏輯地思考和解決問題的樣板；“相等關(guān)系與不等關(guān)系”為學(xué)生提供了借助等式與不等式的運(yùn)算性質(zhì)優(yōu)化運(yùn)算過程的便利；“三個(gè)二次”為學(xué)生示范了注重?cái)?shù)學(xué)聯(lián)系和數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新的典例. 教學(xué)中，教師要根據(jù)內(nèi)容定位和教育價(jià)值，主動(dòng)聯(lián)結(jié)預(yù)備知識(shí)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、預(yù)備知識(shí)是提升高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的過渡性工具

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是將數(shù)學(xué)的核心知識(shí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法形成縱向的聯(lián)結(jié)，并且在橫向?qū)哟紊辖Y(jié)合一般數(shù)學(xué)能力的一種綜合能力. 從心理學(xué)角度分析，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力指學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的展開，在所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的鋪墊下，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題的心理特征.《中國高考評(píng)價(jià)體系》從考試評(píng)價(jià)的視角把關(guān)鍵能力概括為三個(gè)能力群，即知識(shí)獲取能力群、實(shí)踐操作能力群和思維認(rèn)知能力群. 它可以進(jìn)一步具化為邏輯思維能力、抽象思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力. 作為認(rèn)知工具，預(yù)備知識(shí)不但為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和原理的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，而且通過激活先驗(yàn)知識(shí)，幫助學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境中的新信息與現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)融合，幫助學(xué)生順利進(jìn)入對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解，進(jìn)而走向抽象概括、邏輯推理和運(yùn)算求解等思維環(huán)節(jié)，真正讓預(yù)備知識(shí)成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的過渡性工具.

1. 聯(lián)結(jié)“集合語言”，抽象表達(dá)一類事物的整體

理解概念、熟練技能和準(zhǔn)確表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“三要素”. 集合是揭示不同元素的共同屬性并將具有共同屬性的元素視為一個(gè)整體的“高級(jí)”語言. 教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用集合語言，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，進(jìn)而抽象表達(dá)一類事物的整體，以便學(xué)生理解和準(zhǔn)確表達(dá)研究對(duì)象.

例1 回顧關(guān)于方程解的問題.

（1）對(duì)于一個(gè)不知道負(fù)數(shù)的小學(xué)生而言，方程[x+1=0]有解嗎？

（2）對(duì)于一個(gè)不知道分?jǐn)?shù)的小學(xué)生而言，方程[2x=3]有解嗎？

（3）對(duì)于一個(gè)不知道無理數(shù)的初一學(xué)生而言，方程[x2=2]有解嗎？

【評(píng)析】明確研究對(duì)象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ). 在有關(guān)復(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，通過梳理數(shù)的發(fā)展歷史，融合學(xué)生已有的數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建方程的解與負(fù)數(shù)集、分?jǐn)?shù)集、無理數(shù)集等全集的聯(lián)結(jié). 一方面，幫助學(xué)生體驗(yàn)在“數(shù)不夠用”時(shí)，會(huì)在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”新數(shù)，抽象得到新的數(shù)集（如圖1），使問題能夠順利解決；另一方面，思考方程是否有解與人的認(rèn)知程度有關(guān)，與研究范圍有關(guān)，讓學(xué)生理解由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集的必要性，領(lǐng)悟數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展和生產(chǎn)生活的需要.

例2 某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表1所示.

在班級(jí)里隨機(jī)選擇一人做代表.

（1）選到男生的概率是多少？

（2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？

解析：用A表示事件“選到團(tuán)員”，B表示事件“選到男生”，則[B A]表示事件“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生”.

由題意，得[nΩ=45]，[nA=30]，[nB=25]，[nAB=16].

則選到男生的概率為[PB=nBnΩ=2545=59].

在選到團(tuán)員的條件下，選到男生的概率為[PBA=][nABnA=nABnΩnAnΩ=PABPA=815].

【評(píng)析】該題借助樣本空間、隨機(jī)事件及其運(yùn)算等集合語言，幫助學(xué)生經(jīng)歷了理解事件、表達(dá)事件和運(yùn)算事件的全過程，最后抽象概括條件概率的模型. 事實(shí)上，教材中用集合語言刻畫一類事物的整體不乏其例，如用集合定義函數(shù)[f：A→B]的概念，用集合表達(dá)不等式的解集，用集合和元素表達(dá)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等. 運(yùn)用集合語言表達(dá)新定義、新運(yùn)算和新知識(shí)，能夠多角度、多路徑地拓展學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的“關(guān)鍵能力區(qū)”，提升學(xué)生的抽象思維能力.

2. 聯(lián)結(jié)“邏輯用語”，分散突破數(shù)學(xué)思維的難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流的過程中，往往需要進(jìn)行充分性和必要性的邏輯判斷. 錯(cuò)誤的邏輯判斷可能導(dǎo)致不充分或不必要的結(jié)論，從而引發(fā)邏輯錯(cuò)誤. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入理解充分條件和必要條件的概念，準(zhǔn)確掌握全稱量詞命題和存在量詞命題的表述方式及其否定形式. 同時(shí)，幫助學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠自覺運(yùn)用恰當(dāng)?shù)倪壿嬘谜Z進(jìn)行分析和解答，避免邏輯上的混淆和錯(cuò)誤，通過揭示問題的關(guān)鍵信息，分散突破數(shù)學(xué)思維的難點(diǎn).

例3 求證：函數(shù)[fx=sin2x+cosx]不是偶函數(shù).

解析：根據(jù)任意[x∈R]，給出[f-x=-sin2x+cosx]，而[fx=sin2x+cosx]. 許多學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)閷?duì)于任意[x∈R]，都有[f-x≠fx]，所以[fx]不是偶函數(shù). 顯然，這樣的推理是缺少依據(jù)的. 究其原因，學(xué)生將無法由[f-x=-sin2x+cosx]變形為[fx=sin2x+cosx]這一表面形式作為證明的依據(jù)，當(dāng)給出[f-π2=fπ2=0]時(shí)，學(xué)生就感到困惑了.

【評(píng)析】數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，從概念到性質(zhì)再到應(yīng)用環(huán)環(huán)相扣，前面知識(shí)未理解，后續(xù)學(xué)習(xí)就必然會(huì)遇到實(shí)質(zhì)性困難. 上述推理錯(cuò)誤可以溯源為學(xué)生對(duì)全稱量詞命題的否定和偶函數(shù)概念的理解不到位，即依據(jù)全稱量詞命題“[?x∈M]，[Px]”的否定是“[? x∈M]，[?Px]”，得到針對(duì)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非偶函數(shù)的判斷依據(jù)是：已知定義域[I]，存在[x0∈I]，且[-x0∈I]，有[f-x0≠fx0]，則函數(shù)[fx]不是偶函數(shù). 因此，上述問題只需要驗(yàn)證[f-π4≠fπ4]，即可證明[fx]不是偶函數(shù). 在教學(xué)中，教師要多創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，構(gòu)建知識(shí)與邏輯用語的聯(lián)結(jié)，組織辨析教學(xué)、試錯(cuò)教學(xué)，預(yù)防可能出現(xiàn)的邏輯推理偏差，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，提升學(xué)生的邏輯思維能力.

例4" 已知函數(shù)[fx=ax-sinxcos3x，x∈0， π2]. 若[fxlt;sin2x]恒成立，求[a]的取值范圍.

解析：解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的恒成立問題的常用策略主要有含參討論、分離參數(shù)，以及在原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)中通過賦值得到命題成立的必要條件，簡(jiǎn)化后續(xù)的討論情形再進(jìn)行充分性驗(yàn)證等. 如果設(shè)[gx=fx-][sin2x]，則原不等式可以改寫為[gxlt;g0]. 考慮到函數(shù)[gx]的圖象在定義域內(nèi)恒過定點(diǎn)[0，0]，且該定點(diǎn)是函數(shù)[gx]在閉區(qū)間[0， π2]內(nèi)取得最大值的位置. 據(jù)此直觀分析，得到定點(diǎn)[0，0]一定不在連續(xù)函數(shù)[gx]圖象的“上坡”，即函數(shù)[gx]在[x=0]處的切線斜率為非正數(shù)，也即[g0≤0]，所以原不等式成立的必要條件是[a≤3]. 然后驗(yàn)證當(dāng)[a≤3]時(shí)，其充分性成立（此處略去證明），從而求解問題.

【評(píng)析】數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維. 教師的責(zé)任是把凝結(jié)著數(shù)學(xué)家思維的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)，分散化解教學(xué)難點(diǎn). 因此，在教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生用幾何眼光挖掘問題中的關(guān)鍵要素，多創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、形象的生活化語言，描述曲線在特征點(diǎn)處的形態(tài)變化，自覺聯(lián)結(jié)邏輯用語進(jìn)行必要性探究，減緩數(shù)學(xué)思維的坡度.

3. 聯(lián)結(jié)“等與不等”，構(gòu)建從“不等”到“等”的運(yùn)算路徑

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.“等式與不等式”的運(yùn)算性質(zhì)為學(xué)生提供了一種精確的語言來表達(dá)事實(shí)和比較數(shù)值，是常用的數(shù)學(xué)工具，能夠幫助學(xué)生在面對(duì)綜合問題情境時(shí)，通過構(gòu)建“等與不等”的數(shù)學(xué)關(guān)系，借助等式和不等式的運(yùn)算性質(zhì)，優(yōu)化運(yùn)算過程，從而提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

例5 已知存在[x∈0，+∞]，使不等式[xe2x-ax-]

[x≤1+lnx]成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解法1：由題意，得[a+1≥e2x-lnxx-1x].

設(shè)[fx=e2x-lnxx-1x]，得[f ′x=2x2e2x+lnxx2].

令[gx=2x2e2x+lnx]，得[g′x=22x+2x2e2x+1xgt;0.]

則[gx]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增.

因?yàn)閇g1=2e2gt;0]，[g14=e8-ln4lt;0]，

所以[gx]在區(qū)間[14，1]內(nèi)存在唯一的[x0]，使得[gx0=0.]

所以[fx]在區(qū)間[0，x0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[x0，+∞]上單調(diào)遞增.

可得[fx]的最小值為[fxmin=fx0=e2x0-lnx0x0-1x0.]

由[gx0=0]，知[2x20e2x0+lnx0=0]，

即[e2x02x0=eln1x0ln1x0].

令[ht=tet]，則[ht]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，且[h2x0=][hln1x0].

化簡(jiǎn)，得[2x0=-lnx0].

從而[fx]的最小值[fxmin=fx0=e2x0-lnx0x0-1x0=2].

故[a+1≥2].

所以[a]的取值范圍是[a≥1].

解法2：設(shè)[fx=e2x-1+lnxx].

借助不等式[ex≥x+1]（證明略），得

[fx=elnx+2x-1+lnxx≥lnx+2x+1-1+lnxx=2 .]

當(dāng)且僅當(dāng)[lnx+2x=0]時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)方程[lnx+][2x=0]有正實(shí)根（證明略）時(shí)，不等式[elnx+2x-1+lnxx≥]

[lnx+2x+1-1+lnxx]取等號(hào)，

則[a+1≥2].

所以[a]的取值范圍是[a≥1].

【評(píng)析】相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系. 上述兩種解題方法均依據(jù)教材中求函數(shù)最小值“兩步走”的策略：設(shè)函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇I]，[M]為常數(shù)，根據(jù)第一步“[?x∈I]，都有[fx≥M]”，先找到函數(shù)值的下界[M]；再根據(jù)第二步“[? x0∈I]，使得[fx0=M]”，確定下界[M]是函數(shù)[fx]的最小值. 由于解法2在求函數(shù)值的下界過程中借助了不等式的可傳遞性，避免了解法1中的煩瑣運(yùn)算，提高了運(yùn)算求解的效率，有效促進(jìn)了學(xué)生批判思維能力的形成.

4. 聯(lián)結(jié)“三個(gè)二次”，自覺形成整體思維的習(xí)慣

通過探究一元二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的內(nèi)在邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生感悟解決最值問題或者范圍問題就像“順藤摸瓜”，沿著函數(shù)思想可以探索方程和不等式的解；反之，從具體的方程和不等式出發(fā)，尋找其中隱藏的函數(shù)關(guān)系. 通過從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程和不等式，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不再孤立看待每個(gè)概念，而是能夠從聯(lián)系和整體的視角出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題之間的相互依賴性和相互轉(zhuǎn)化的可能性，自覺運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)造性思考.

例6 已知定義在[0， π4]上的函數(shù)[fx=sinωx-π4][ωgt;0]，若[fx]的最大值為[ω5]，則[ω]的取值最多有幾個(gè)？

解析：令[θ=ωx-π4]，[x∈0， π4]，

則原問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)[gθ=sinθ]在給定區(qū)間[-π4， π4ω-1]內(nèi)的最值問題.

因?yàn)閇θ∈-π4， π4ω-1]，

所以當(dāng)[π4ω-1≤π2]，即[0lt;ω≤3]時(shí)，[gθ]在區(qū)間[-π4， π4ω-1]上單調(diào)遞增.

所以[gθ]的最大值[gθmax=sinπ4ω-1=ω5][ωgt;0].

構(gòu)造函數(shù)[hω=sinπ4ω-1 0lt;ω≤3]與[pω=ω5，]

可知函數(shù)[hω]與[pω]的圖象的交點(diǎn)只有一個(gè).

當(dāng)[π4ω-1gt;π2]時(shí)，即當(dāng)[ωgt;3]時(shí)，由[ω5=1]，得[ω=5].

綜上所述，[ω]的取值最多有2個(gè).

【評(píng)析】借鑒二次函數(shù)在解決二次方程和二次不等式中的核心作用，約定參數(shù)[ω]為主元（自變量），依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根和函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系（如圖2），喚醒學(xué)生對(duì)關(guān)于[x]的方程[sinπ4x-1=x5]在[0lt;x≤3]中的解的思考，創(chuàng)造性地把原問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)[y=sinπ4x-1]與函數(shù)[y=x5]的圖象在[0lt;][x≤3]內(nèi)有多少個(gè)公共點(diǎn)的問題，提升了學(xué)生的直觀想象和抽象概括能力.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須順應(yīng)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯要求，適應(yīng)高中生心理活動(dòng)的邏輯規(guī)律. 預(yù)備知識(shí)不僅是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)技能的銜接，更應(yīng)該是可以遷移的思想方法與學(xué)習(xí)工具、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)心理的銜接. 因此，在高中數(shù)學(xué)課程的教與學(xué)中，主動(dòng)聯(lián)結(jié)預(yù)備知識(shí)，強(qiáng)化“把課程內(nèi)容與已具備的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來”的正面效應(yīng)，從聯(lián)系、整體的角度提升學(xué)生想好、算好和寫好的綜合能力，幫助學(xué)生有序完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的著力點(diǎn).

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引用格式：錢大林. 預(yù)備知識(shí)：不是“過眼”，而是“過渡”［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（11）：33-37.

作者簡(jiǎn)介：錢大林（1970— ），男，正高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.