摘" 要：以一道圓錐曲線(xiàn)試題的解答為例，先順應(yīng)學(xué)生思路，使其發(fā)現(xiàn)運(yùn)算目標(biāo)失當(dāng). 再基于解析幾何的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何眼光觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特征、推測(cè)待證直線(xiàn)的位置、追溯直線(xiàn)斜率間的關(guān)系. 最后設(shè)計(jì)了以直線(xiàn)斜率為對(duì)象、斜率間的齊次關(guān)系為目標(biāo)、從根與系數(shù)的關(guān)系向齊次關(guān)系變形的運(yùn)算思路，推廣了斜率齊次關(guān)系的成立條件，反思了解析幾何運(yùn)算教學(xué)的有關(guān)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：解析幾何；思維方式；幾何眼光；運(yùn)算思路；數(shù)學(xué)運(yùn)算

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）11-0055-05

引用格式：李昌. 為促進(jìn)解析幾何思維方式的發(fā)展而教：以一道圓錐曲線(xiàn)試題的解答為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（11）：55-59.

一、問(wèn)題提出

以2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第21題為例，在解答圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，筆者進(jìn)行了運(yùn)算教學(xué). 題目及學(xué)生的解答情況如下.

題目" 已知雙曲線(xiàn)[C]的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為[-25，0]，離心率為[5].

（1）求[C]的方程；

（2）記[C]的左、右頂點(diǎn)分別為[A1，A2]，過(guò)點(diǎn)[-4，0]的直線(xiàn)與[C]的左支交于[M，N]兩點(diǎn)，[M]在第二象限，直線(xiàn)[MA1]與[NA2]交于點(diǎn)[P]. 證明：點(diǎn)[P]在定直線(xiàn)上.

對(duì)于第（1）小題，學(xué)生能夠得出雙曲線(xiàn)[C]的方程為[x24-y216=1]. 對(duì)于第（2）小題，如圖1，學(xué)生把直線(xiàn)[MN]的方程設(shè)為[x=ty-4]，代入[C]的方程，整理成一元二次方程[4t2-1y2-32ty+48=0]，其中[4t2-1≠0].

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為[Mx1，y1]，[Nx2，y2].由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得[y1+y2=32t4t2-1，][y1y2=484t2-1]. 根據(jù)點(diǎn)[M，N]在雙曲線(xiàn)的左支上，可得[y1gt;0，y2lt;0]，得[y1y2lt;0]，進(jìn)而解得[4t2-1lt;0]. 聯(lián)立直線(xiàn)[MA1]的方程[y=y1x1+2x+2]和直線(xiàn)[NA2]的方程[y=y2x2-2x-2]，消去[y]，解得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)[xP=][2x1+2y2+x2-2y1x1+2y2-x2-2y1]. 由于該表達(dá)式中字母過(guò)多，一些學(xué)生放棄解答. 另外一部分學(xué)生利用點(diǎn)[M，N]與直線(xiàn)[x=ty-4]的位置關(guān)系消去[x1，x2]，化簡(jiǎn)得到[xP=][2ty1y2-6y1-2y23y1-y2]. 但是該式中[y1，y2]的系數(shù)不相等，不能直接利用兩根之和的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，運(yùn)算再次受阻.

對(duì)于一元二次方程的兩根之和與系數(shù)的關(guān)系式不能用于化簡(jiǎn)的問(wèn)題，筆者在文獻(xiàn)［1］中從消元化簡(jiǎn)的角度給出了兩類(lèi)解決辦法和三條簡(jiǎn)化運(yùn)算的路徑. 運(yùn)算技巧上的消元、化簡(jiǎn)只是“術(shù)”的思維水平，不能體現(xiàn)解析幾何中數(shù)學(xué)運(yùn)算的特征和本質(zhì). 只有從“道”的層面上實(shí)施運(yùn)算教學(xué)，才能體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)和教育價(jià)值. 為此，基于解析幾何的思維方式，筆者設(shè)計(jì)了以斜率為對(duì)象、從根與系數(shù)的關(guān)系式向斜率間的齊次關(guān)系變形的運(yùn)算思路. 具體教學(xué)內(nèi)容和思考如下，期望大家批評(píng)和指正.

二、教學(xué)片斷

解析幾何是把代數(shù)學(xué)系統(tǒng)地應(yīng)用于幾何研究和問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)分支. 因此，研究和解決問(wèn)題所特有的解析幾何思維方式是：先用幾何眼光觀(guān)察，厘清圖形的幾何要素和圖形之間的幾何關(guān)系，然后在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)幾何要素和幾何關(guān)系進(jìn)行代數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和推理實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決，且在運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)該充分利用相應(yīng)的幾何特征以簡(jiǎn)化運(yùn)算. 在設(shè)計(jì)運(yùn)算思路時(shí)，解析幾何的思維方式是一種高效的思維模式和便捷的思維路徑.

1. 順應(yīng)學(xué)生思路，使其經(jīng)歷復(fù)雜運(yùn)算并發(fā)現(xiàn)運(yùn)算目標(biāo)不恰當(dāng)

通過(guò)交流得知，學(xué)生的運(yùn)算思路是“驗(yàn)證[xP]與[yP]之間具有一次函數(shù)的關(guān)系式”. 這雖然看似合理，但是缺乏預(yù)判且思慮不周. 因?yàn)榍蠼饨稽c(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題必須要克服字母多、結(jié)構(gòu)繁的運(yùn)算障礙，且并非所有直線(xiàn)的方程都能用一次函數(shù)的關(guān)系表示. 為了暴露這些問(wèn)題，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該先順應(yīng)學(xué)生的思路，使他們經(jīng)歷復(fù)雜的運(yùn)算，自覺(jué)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)失當(dāng)，進(jìn)而產(chǎn)生探尋簡(jiǎn)捷的解決方法的學(xué)習(xí)心向.

繼續(xù)求解方程組，得到點(diǎn)[P]的縱坐標(biāo)[yP=2y1y23y1-y2，]將其與[xP]進(jìn)行對(duì)比，得出[xP=tyP-6y1+2y23y1-y2]. 因?yàn)閇6y1+2y23y1-y2]的分子和分母中[y1，y2]的系數(shù)不成比例，無(wú)法將其約分為常數(shù)，所以[xP]不是關(guān)于[yP]的一次函數(shù). 這說(shuō)明了運(yùn)算目標(biāo)選擇不合適，也暗示了點(diǎn)[P]所在直線(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直，即[xP]和[yP]中必有一個(gè)是定值，所以應(yīng)該驗(yàn)證其分子能否被分母整除. 而表達(dá)式[xP]和[yP]中的[t，y1，y2]滿(mǎn)足[y1+y2=32t4t2-1]，[y1y2=484t2-1]的關(guān)系，故應(yīng)該對(duì)這兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算，經(jīng)過(guò)相除、變形得出[2ty1y2=3y1+3y2]，再將其代入[xP]中，化簡(jiǎn)得到[xP=-1]，從而證得結(jié)論.

2. 觀(guān)察運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的對(duì)稱(chēng)性，推測(cè)待證直線(xiàn)位置關(guān)系的特殊性

由證得的“點(diǎn)[P]在直線(xiàn)[x=-1]上”可知，不需要計(jì)算點(diǎn)[P]的縱坐標(biāo). 但是這必須建立在明確了點(diǎn)[P]所在直線(xiàn)與[x]軸垂直的前提下. 在解析幾何中，這是設(shè)計(jì)運(yùn)算思路的原則，即先分析清楚研究對(duì)象的幾何特征和彼此間的幾何關(guān)系，再在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行代數(shù)表示和用代數(shù)方法研究. 對(duì)幾何要素和幾何關(guān)系的觀(guān)察與分析需要學(xué)生具有幾何眼光. 筆者認(rèn)為，幾何眼光是產(chǎn)生和發(fā)展于幾何學(xué)科、具有幾何學(xué)科特性的思維自覺(jué)和思維策略，即觀(guān)察問(wèn)題時(shí)遵從研究幾何圖形的思維自覺(jué)，分析問(wèn)題時(shí)采用對(duì)圖形進(jìn)行直觀(guān)推理的思維策略.

幾何眼光的思維特征既有助于學(xué)生對(duì)圖形要素、基本特征和相互關(guān)系進(jìn)行細(xì)致觀(guān)察，又有助于學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析和推理. 運(yùn)用到該題中，能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[P]所在直線(xiàn)具有如下幾何特征：在圖1中，雙曲線(xiàn)把直線(xiàn)[MN]的旋轉(zhuǎn)傳遞到直線(xiàn)[MA1]和[NA2]上，使它們分別繞點(diǎn)[A1]，[A2]旋轉(zhuǎn). 由于旋轉(zhuǎn)中心都在雙曲線(xiàn)的實(shí)軸上，這自然融合了雙曲線(xiàn)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，因此各運(yùn)動(dòng)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都關(guān)于[x]軸對(duì)稱(chēng)，使得直線(xiàn)[MA1]和[NA2]的交點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡也具有關(guān)于[x]軸對(duì)稱(chēng)的特征. 注意到“求證交點(diǎn)[P]在定直線(xiàn)上”的結(jié)論中明示了“點(diǎn)[P]的軌跡是直線(xiàn)”的信息，由此推知點(diǎn)[P]所在的直線(xiàn)垂直于[x]軸.

3. 設(shè)計(jì)以斜率為對(duì)象、斜率間的齊次關(guān)系為目標(biāo)的運(yùn)算思路

幾何眼光具有不同的觀(guān)察視角和維度，代數(shù)表征同樣具有多種方式和形式，代數(shù)運(yùn)算的起點(diǎn)和目標(biāo)存在差異，使得解析幾何問(wèn)題的解決方法不唯一，且方法有難易之分，運(yùn)算有繁簡(jiǎn)之別. 因此，在解析幾何的運(yùn)算教學(xué)中，既要探尋簡(jiǎn)捷的解法，又要弄清解法簡(jiǎn)捷的原因. 在上述題目中，相交的動(dòng)直線(xiàn)[MA1]，[NA2]各自經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，它們的幾何特征和運(yùn)動(dòng)特性都由其斜率來(lái)表達(dá). 由方程[y=k1x+2]和[y=k2x-2]經(jīng)過(guò)聯(lián)立、消[y]，得到[k2k1=x+2x-2]，其中[x]是交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 前文已經(jīng)推證[x]為定值，所以[k2k1]是不等于1的常數(shù). 反之，當(dāng)[k2k1]是不等于1的常數(shù)[λ]時(shí)，關(guān)于[x]的方程[x+2x-2=λ]有唯一的解，即直線(xiàn)[MA1]，[NA2]斜率間的齊次關(guān)系等價(jià)于它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值. 這自然地形成了以斜率為對(duì)象，斜率齊次關(guān)系為目標(biāo)的運(yùn)算思路. 用點(diǎn)[M，A1]，[N，A2]的坐標(biāo)表示[k1=λk2]，再用直線(xiàn)[x=ty-4]替換其中的[x1，x2]，整理得到[t1-λy1y2-][6y1+2λy2=0]. 注意到，該式在結(jié)構(gòu)上同由根與系數(shù)的關(guān)系式經(jīng)相除、變形整理得出的[2ty1y2-3y1-3y2=0]完全一致. 若存在常數(shù)[λ]使上述兩式的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，則它們等價(jià). 由[t1-λ2t=-6-3=2λ-3]，解得[λ=-3，]因此有如下的簡(jiǎn)捷解答.

解：先將表示根與系數(shù)關(guān)系的兩式相除、整理，得到[2ty1y2-3y1-3y2=0]. 然后以斜率的齊次關(guān)系為目標(biāo)進(jìn)行如下變形：在等式兩端同時(shí)乘2，得[4ty1y2-6y1-]

[6y2=0].

根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示進(jìn)行整理、配對(duì)、變形，得

[ty1y2-6y1+3ty1y2-6y2=0].

提取公因式，得[ty2-6y1+3ty1-2y2=0].

由點(diǎn)[Mx1，y1，Nx2，y2]在直線(xiàn)[x=ty-4]上，

將[ty1-2，ty2-6]分別替換為[x1+2，x2-2]，得

[x2-2y1+3x1+2y2=0].

因?yàn)辄c(diǎn)[M，N]不能與[A1，A2]重合，

所以[x1+2x2-2≠0].

在等式兩端同時(shí)除以[x1+2x2-2]，得

[y1x1+2+3y2x2-2=0].

因?yàn)閇y1x1+2， y2x2-2]分別表示直線(xiàn)[MA1]和直線(xiàn)[NA2]的斜率[k1，k2]，

所以[k1+3k2=0].

所以直線(xiàn)[MA1]，[NA2]的方程分別為[y=-3k2x+2]和[y=k2x-2].

聯(lián)立方程，消去[y]，解得[x=-1].

故它們的交點(diǎn)[P]在定直線(xiàn)[x=-1]上.

4. 思考結(jié)論成立的根源，將雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)進(jìn)行一般性推廣

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)具有多種對(duì)稱(chēng)性，過(guò)旋轉(zhuǎn)中心的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸. 圖1中的直線(xiàn)[MN，MA1]和[NA2]的旋轉(zhuǎn)中心都在[x]軸上，因此它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都關(guān)于[x]軸對(duì)稱(chēng). 雖然旋轉(zhuǎn)中心[A1，A2]是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，但是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的對(duì)稱(chēng)性只取決于頂點(diǎn)在[x]軸上的位置，而與頂點(diǎn)的其他特征無(wú)關(guān). 這表明，用[x]軸上的點(diǎn)[B1，B2]替換[A1，A2]，相應(yīng)的直線(xiàn)[MB1，NB2]及其交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)仍關(guān)于[x]軸對(duì)稱(chēng). 這就自然地想到：是否存在點(diǎn)[B1，][B2]使直線(xiàn)[MB1，NB2]的交點(diǎn)[Q]仍在垂直于[x]軸的定直線(xiàn)上？若存在，求出點(diǎn)[B1，B2]的坐標(biāo)和定直線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

解：設(shè)點(diǎn)[B1，B2]的坐標(biāo)分別為[B1m，0，B2n，0，]直線(xiàn)[MB1，NB2]的方程依次是[y=k1x-m，y=k2x-n.]

聯(lián)立方程，消去[y]，得[k1k2=x-nx-m].

只要[k1k2]是不為1的常數(shù)[λ]，方程[x-nx-m=λ]的解就是定值，即直線(xiàn)[MB1]，[NB2]的交點(diǎn)[Q]在垂直于[x]軸的定直線(xiàn)上.

將點(diǎn)[M，B1，N，B2]的坐標(biāo)分別代入[k1=λk2]中，得[y1x1-m=λy2x2-n].

用直線(xiàn)方程[x=ty-4]分別替換[x1，x2]，

化簡(jiǎn)、整理，得

[t1-λy1y2-n+4y1+λm+4y2=0].

若存在常數(shù)[m，n]使該式與[2ty1y2-3y1-3y2=0]等價(jià)，就能由根與系數(shù)的關(guān)系式推出[k1=λk2]，進(jìn)而推出點(diǎn)[Q]在垂直于[x]軸的定直線(xiàn)上.

令各項(xiàng)系數(shù)成比例，得[1-λ2=-n+4-3=λm+4-3]. 解得[m=-52-32λ]，[n=-52-3λ2]. 這表明[m，n]都是關(guān)于[λ]的函數(shù)，即對(duì)于任意的[λ][λ≠0，1]，都存在唯一的[B1，B2]使[MB1，NB2]的交點(diǎn)[Q]在垂直于[x]軸的定直線(xiàn)上.

再由方程[x-nx-m=λ]，解得[x=λm-nλ-1]，代入[m，n]的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得到[x=-1]. 這表明，對(duì)于任意常數(shù)[λ][λ≠0，1]，直線(xiàn)[MB1]和[NB2]的交點(diǎn)[Q]都在定直線(xiàn)[x=-1]上. [λ]的任意性和相應(yīng)點(diǎn)[B1，B2]的存在性進(jìn)一步表明，直線(xiàn)[x=-1]是雙曲線(xiàn)某種性質(zhì)的表達(dá).

實(shí)際上，點(diǎn)[-4，0]和直線(xiàn)[x=-1]是雙曲線(xiàn)[x24-][y216=1]的極點(diǎn)和極線(xiàn)，它們以對(duì)偶形式表達(dá)了雙曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)共線(xiàn)和動(dòng)線(xiàn)共點(diǎn)的和諧關(guān)系.

三、教學(xué)思考

被譽(yù)為近代哲學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者、近代生物學(xué)的奠基人的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的笛卡兒，為追求方法的普適性和統(tǒng)一性創(chuàng)立了解析幾何，實(shí)現(xiàn)了幾何、代數(shù)和一般變量（運(yùn)動(dòng)觀(guān)）的自然融合. 章建躍博士要求教師把解析幾何定位為一種方法論來(lái)實(shí)施教學(xué). 下面結(jié)合本文例題的教學(xué)，就如何講好這個(gè)方法論談?wù)勛约旱南敕?

1. 解析幾何的思維方式有助于學(xué)生理解解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)

定位為方法論的解析幾何的核心思想是數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)為幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化. 文獻(xiàn)［5］指出，解析幾何肩負(fù)著從幾何到代數(shù)和從代數(shù)到幾何的雙重使命，是一個(gè)雙刃工具. 現(xiàn)實(shí)中，部分學(xué)生夸大了幾何問(wèn)題代數(shù)化的作用，認(rèn)為只要確定了點(diǎn)的坐標(biāo)和建立了曲線(xiàn)的方程，借助數(shù)形結(jié)合就完成了問(wèn)題的求解. 這種片面的理解導(dǎo)致他們看不到幾何特征對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)化作用. 前文中的學(xué)生解答就是直接例證. 實(shí)際上，“先用幾何眼光觀(guān)察”雖然有強(qiáng)調(diào)幾何問(wèn)題代數(shù)化的字面意思，但是若以代數(shù)結(jié)構(gòu)為觀(guān)察對(duì)象，是實(shí)質(zhì)性的代數(shù)問(wèn)題幾何化. 更何況，在運(yùn)算過(guò)程中充分利用圖形特征以簡(jiǎn)化運(yùn)算，則是對(duì)代數(shù)運(yùn)算過(guò)程的幾何化. 其實(shí)，代數(shù)運(yùn)算過(guò)程的幾何化更有助于深化學(xué)生對(duì)解析幾何的運(yùn)算特征的理解. 例如，本文例題的簡(jiǎn)捷解答中，當(dāng)建立了斜率齊次關(guān)系與定直線(xiàn)位置特征之間的關(guān)聯(lián)后，學(xué)生就有了重新審視根與系數(shù)的關(guān)系的時(shí)機(jī)和心向，就能自然地產(chǎn)生從根與系數(shù)的關(guān)系向斜率關(guān)系變形的想法；當(dāng)這種想法實(shí)現(xiàn)時(shí)，學(xué)生眼中的根與系數(shù)的關(guān)系將不再是枯燥的代數(shù)符號(hào)，而是符號(hào)化的幾何關(guān)系；以斜率為目標(biāo)的變形過(guò)程也不再是眼花繚亂的形式變換和隨心所欲的組合調(diào)整，而是幾何推理的邏輯表達(dá)和幾何關(guān)系的邏輯必然. 從認(rèn)知效能來(lái)看，這與笛卡兒“用拋物線(xiàn)和圓的交點(diǎn)求三次和四次代數(shù)方程的實(shí)根”有異曲同工之妙. 因此，發(fā)展解析幾何的思維方式能夠幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)踐中理解解析幾何的學(xué)科特點(diǎn).

2. 幾何眼光的觀(guān)察與分析是設(shè)計(jì)簡(jiǎn)捷運(yùn)算思路的前提和基礎(chǔ)

用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題是解析幾何的顯著特點(diǎn). 代數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)簡(jiǎn)捷的運(yùn)算思路，幾何眼光的觀(guān)察和基于幾何性質(zhì)的分析可以提供選擇運(yùn)算對(duì)象的依據(jù)，也可以指引運(yùn)算的方向. 回顧觀(guān)察本文例題的分析過(guò)程，學(xué)生用運(yùn)動(dòng)視角觀(guān)察到旋轉(zhuǎn)中心在雙曲線(xiàn)的實(shí)軸上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性對(duì)交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)做出判斷，對(duì)交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了直觀(guān)想象和邏輯推理，再依據(jù)題目結(jié)論的隱含信息，推斷出交點(diǎn)所在直線(xiàn)具有的幾何特征. 依據(jù)這一特征的指引，從幾何視角觀(guān)察直線(xiàn)[MA1]和[NA2]，將旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)換成直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的幾何特征，聯(lián)想并提取表達(dá)直線(xiàn)特征的斜率模型，寫(xiě)出直線(xiàn)方程，根據(jù)求解方程的代數(shù)運(yùn)算推斷斜率間的齊次關(guān)系，從而設(shè)計(jì)出以斜率為對(duì)象、以斜率間的齊次關(guān)系為目標(biāo)的運(yùn)算路徑. 可以發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，細(xì)致觀(guān)察體現(xiàn)為觀(guān)察視角的延續(xù)與切換、觀(guān)察對(duì)象的有序轉(zhuǎn)換；深度分析體現(xiàn)為對(duì)幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系的激活提取、直觀(guān)想象和邏輯推理. 因此，在解析幾何的運(yùn)算教學(xué)中，教師要著力培養(yǎng)學(xué)生先用幾何眼光觀(guān)察和根據(jù)圖形特征簡(jiǎn)化運(yùn)算的思維習(xí)慣，使學(xué)生設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算思路. 這是發(fā)展學(xué)生解析幾何思維方式的實(shí)踐路徑.

3. 數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)該發(fā)揮對(duì)解析幾何思維方式的促進(jìn)作用

解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)決定了它不能避免必要的代數(shù)運(yùn)算，并表明了其代數(shù)運(yùn)算的幾何背景. 在平面解析幾何的學(xué)業(yè)要求中，數(shù)學(xué)運(yùn)算是重點(diǎn)提升的核心素養(yǎng). 因此，在教學(xué)中，教師只有把數(shù)學(xué)運(yùn)算有機(jī)地融入解析幾何的課程體系中，遵循解析幾何的思維方式，在設(shè)計(jì)運(yùn)算思路前先用幾何眼光觀(guān)察，在運(yùn)算過(guò)程中充分利用幾何特征簡(jiǎn)化運(yùn)算，才能使數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)發(fā)揮應(yīng)有的促進(jìn)作用. 同樣地，學(xué)生在實(shí)踐中也應(yīng)該嚴(yán)格按照解析幾何的思維方式設(shè)計(jì)運(yùn)算路徑，堅(jiān)決不能像少數(shù)學(xué)生那樣，只要涉及圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系，就先機(jī)械地執(zhí)行聯(lián)立方程、消元、化簡(jiǎn)、整理成一元二次方程、寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系式等一系列解方程的運(yùn)算程序，再確定后續(xù)的運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算思路，如果代數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜或者找不到運(yùn)算思路就放棄解答. 這是把解析幾何中的數(shù)學(xué)運(yùn)算固化為了機(jī)械的程序，如果以這樣的觀(guān)點(diǎn)指導(dǎo)解析幾何中的數(shù)學(xué)運(yùn)算和解決相關(guān)的解析幾何問(wèn)題，那么將是有百害而無(wú)一利的，應(yīng)該予以摒棄.

4. 運(yùn)算思路應(yīng)該是知識(shí)本質(zhì)的揭示，而非現(xiàn)成結(jié)論的套用

數(shù)學(xué)結(jié)論通常是對(duì)某種數(shù)學(xué)性質(zhì)的歸納，能夠幫助學(xué)生理解本質(zhì)、解決問(wèn)題. 例如，在圖1中，由點(diǎn)[A1，][A2]是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，可以得出雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)[M]與點(diǎn)[A1，][A2]連線(xiàn)斜率之積為定值的結(jié)論，即[kMA1kMA2=4]；由直線(xiàn)[MN]過(guò)定點(diǎn)[-4，0]交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)[M，N]，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可以得出點(diǎn)[M，N]與頂點(diǎn)[A2]連線(xiàn)的斜率之積為定值的結(jié)論，即[kNA2kMA2=-43]；由這兩個(gè)結(jié)論相除得出[kMA1=-3kNA2]的齊次關(guān)系，運(yùn)用這個(gè)齊次關(guān)系寫(xiě)出直線(xiàn)[MA1，NA2]的方程、聯(lián)立解得交點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)[xp=-1]. 這種運(yùn)算思路雖然更加簡(jiǎn)捷，但是它就像“魔術(shù)師手中的兔子”，因?yàn)閷W(xué)生未必知道這些結(jié)論，即便學(xué)生知道并完成了解答，他們也未必理解其中的邏輯依據(jù). 更主要的是，如果把解析幾何的運(yùn)算教學(xué)建立在數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)用上，那么解析幾何的教學(xué)將由對(duì)方法論的系統(tǒng)建構(gòu)變成碎片化的性質(zhì)歸納和對(duì)題型模板的機(jī)械記憶，而其中的數(shù)學(xué)運(yùn)算也將由思想方法指導(dǎo)下的邏輯推理變成模式識(shí)別和機(jī)械記憶下的拼接組合. 更何況，數(shù)學(xué)結(jié)論具有嚴(yán)苛的條件，如上述結(jié)論[kMA1kMA2=4]只有在點(diǎn)[A1，A2]是雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的條件下才能成立. 前面的分析已經(jīng)指出，若將點(diǎn)[A1，A2]替換為[x]軸上的其他定點(diǎn)，則無(wú)現(xiàn)成的結(jié)論可以使用. 而基于解析幾何的思維方式，能夠設(shè)計(jì)出同樣簡(jiǎn)捷的運(yùn)算思路. 因?yàn)樗皇菍?duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的機(jī)械套用，也不是對(duì)題型結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單模仿，而是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻揭示和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐運(yùn)用. 掌握了它，就能夠以一當(dāng)十，甚至以一當(dāng)百.

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)課題——基于大單元教學(xué)的高中數(shù)學(xué)章節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的研究（D/2021/02/713）；2023年度江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題——問(wèn)題驅(qū)動(dòng)： 指向深度理解的高中向量單元教學(xué)的實(shí)踐研究（B/2023/03/253）.

作者簡(jiǎn)介：李昌（1972— ），男，正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.