馬致遙，鄭東暉，陳磊，馬駿

（南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京 210094）

0 引言

光學(xué)制造技術(shù)的發(fā)展對(duì)光學(xué)平晶的面形質(zhì)量和折射率均勻性的要求越來(lái)越高，在動(dòng)態(tài)干涉測(cè)量等領(lǐng)域都有應(yīng)用［1-3］。對(duì)于常用的633 nm 紅光波段，1 ppm（10-6）量級(jí)的不均勻性就能引起波面變化。美國(guó)的AI C等提出了采用光學(xué)干涉法，主要包括翻轉(zhuǎn)法和透射法［4］，來(lái)測(cè)量光學(xué)材料的均勻性。國(guó)內(nèi)的郭培基等提出了光學(xué)平行平板樣品不均勻性的絕對(duì)測(cè)量方法，進(jìn)一步豐富了光學(xué)玻璃均勻性測(cè)量的方法［5-8］。張瑞應(yīng)用同步移相干涉儀檢測(cè)了平行平板的光學(xué)均勻性［9］，白云波則完成了對(duì)1 m 級(jí)大口徑釹玻璃的均勻性拼接測(cè)量［10］。MATOU?EK O 通過(guò)傅里葉變換計(jì)算了折射率均勻性［11］。透射法可以消除樣品面形及系統(tǒng)帶來(lái)的誤差，是目前定量測(cè)量光學(xué)均勻性精度最高的方法，也是在高精度測(cè)量玻璃光學(xué)均勻性時(shí)使用最廣泛有效的方法。但是上述干涉測(cè)量方法除了干涉儀的參考平晶和被測(cè)樣品外，還需要另外一塊平晶作為反射平晶使用才能完成對(duì)被測(cè)樣品折射率均勻性的檢測(cè)，即至少需要三塊平晶才能實(shí)現(xiàn)。

奇偶函數(shù)法和旋轉(zhuǎn)平均法都是光學(xué)絕對(duì)檢驗(yàn)中常用的方法。AI C 等首次提出了奇偶函數(shù)法，將波面分解為偶偶、偶奇、奇偶和奇奇四個(gè)部分分步求解［12］。XU Chen 提出了用兩塊光學(xué)板實(shí)現(xiàn)絕對(duì)檢驗(yàn)的方法，他通過(guò)透射法預(yù)先對(duì)透射平晶的折射率均勻性進(jìn)行檢測(cè)和扣除，并通過(guò)兩平晶的三個(gè)平面完成了絕對(duì)檢驗(yàn)工作［13］。ZHAI Dede 提出了一種基于移位旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)測(cè)試算法。需要90°旋轉(zhuǎn)和橫向移位，便于大口徑平面的實(shí)施［14-15］。ZHOU You 結(jié)合奇偶函數(shù)和N 位旋轉(zhuǎn)平均的思想完成了對(duì)600 mm 平晶的絕對(duì)檢驗(yàn)［16］。WANG Yuntao 通過(guò)奇偶函數(shù)法完成了對(duì)300 立式干涉儀的精度調(diào)校［17］。

本文結(jié)合了光學(xué)平晶絕對(duì)檢驗(yàn)中兩平晶絕對(duì)檢驗(yàn)方法、奇偶函數(shù)算法和旋轉(zhuǎn)平均算法的思想，提出了一種只需要使用參考平晶和反射平晶兩塊平晶就能夠完成對(duì)參考平晶折射率均勻性質(zhì)量評(píng)估的方法。該方法使用兩塊平晶的三個(gè)參考面以及多次旋轉(zhuǎn)干涉測(cè)量，通過(guò)將折射率均勻性分成奇偶項(xiàng)求解再疊加的方式實(shí)現(xiàn)。利用Zernike 多項(xiàng)式進(jìn)行了原理性的仿真，在100 mm Zygo 干涉儀上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)透射法測(cè)量待測(cè)平晶的折射率均勻性。

1 兩平晶三面測(cè)量折射率均勻性原理

提出的兩平晶三面測(cè)量折射率均勻性的過(guò)程如圖1 所示，其中A表示透射平晶的非工作面，B表示透射平晶的工作面，C表示反射平晶的工作面，n代表透射平晶（待測(cè)平晶）的玻璃材料折射率。

圖1 兩平晶折射率均勻性檢測(cè)步驟Fig.1 Steps of two-flats refractive index uniformity test

首先，透過(guò)B面使非工作面A和C進(jìn)行干涉，測(cè)量得到波面結(jié)果記錄為M1。然后測(cè)量工作面B和C的波面結(jié)果記錄為M2。接著讓C繞z軸旋轉(zhuǎn)，測(cè)量旋轉(zhuǎn)45°、90°、180°位置的結(jié)果，并分別與工作面B產(chǎn)生干涉，測(cè)量得到波面結(jié)果記為M3、M4和M5。最后，將透射平晶沿y軸翻轉(zhuǎn)180°，并將C轉(zhuǎn)回到原位，直接測(cè)量非工作表面A和C，所得干涉測(cè)量波面結(jié)果記錄為M6，即

式中，（x，y）表示規(guī)定的以測(cè)試面C為正方向坐標(biāo)系，（-x，y）表示該面關(guān)于y軸發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，Cφ表示C面旋轉(zhuǎn)了φ角度，δ(x，y)表示折射率均勻性引入的波面誤差，n為材料折射率。

通過(guò)奇偶函數(shù)的分解方法，以偶奇（eo）項(xiàng)為例，利用測(cè)量結(jié)果M1、M2、M5、M6，將其中的eo 項(xiàng)分離出來(lái)，其中M5為B面與C面旋轉(zhuǎn)180°后的測(cè)量結(jié)果，結(jié)果表示為

式中，下標(biāo)eo 表示該波面的偶奇分量，根據(jù)式（2）可以求得δeo分量，表示為

同理，可以求得δ的奇偶分量δoe以及奇奇分量δoo，分別表示為

通過(guò)式（1）～（5）計(jì)算出折射率均勻性δ中的eo、oe 和oo 三個(gè)部分，還剩偶偶項(xiàng)δee沒有求解，但是根據(jù)已有的測(cè)量結(jié)果，無(wú)法直接得到δee部分。因此采用繼續(xù)分解的方案，將待求解的δee分量繼續(xù)分解為δeee和δeeo兩部分，這兩個(gè)分量分別表示關(guān)于y=x呈正對(duì)稱和負(fù)對(duì)稱的兩個(gè)部分，計(jì)算公式為

式中，[δee]'代表δee關(guān)于y=x翻轉(zhuǎn)后的分量。

通過(guò)M2和M4的測(cè)量結(jié)果可計(jì)算eeo 分量，M4是B和C旋轉(zhuǎn)90°的測(cè)量結(jié)果，先求得這兩個(gè)測(cè)量結(jié)果的ee 分量，然后將這兩個(gè)分量做差，可以表示為

式中，如果C在直角坐標(biāo)系下表示為C(x，y)，根據(jù)直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變換，[C90°]表示為C(-y，x)，根據(jù)ee 函數(shù)的性質(zhì)，C(-y，x)和C(y，x)相等，C(y，x)就是C(x，y)關(guān)于y=x做翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，即[C]'，所以

因此Ceeo可以表示為

在得到Ceeo分量后，轉(zhuǎn)換得到δ中的eeo 分量部分，表示為

對(duì)于還沒有求出的eee 項(xiàng)分量，繼續(xù)分解為eeee 和eeeo 分量，和前面的類似，這兩個(gè)分量分別是關(guān)于y=tan(22.5°)x呈正負(fù)對(duì)稱的分量。類似地，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)45°的測(cè)量結(jié)果將δeeeo表示為

此時(shí)已經(jīng)求出了δ中除了eeee 分量外的其他分量，而δeeee是關(guān)于y=tan(22.5°)x呈正對(duì)稱的分量，在Zernike 擬合當(dāng)中，它可以被認(rèn)為是8θ 分量，是部分高頻分量。將這部分分量直接忽略的話，可以將折射率均勻性δ近似表示為

常用的Zernike 多項(xiàng)式36 項(xiàng)擬合只到5θ 項(xiàng)，而忽略的部分為高于8θ 的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分量，其中包含δf(ρ)部分，即旋轉(zhuǎn)不變項(xiàng)分量。實(shí)際計(jì)算出的折射率均勻性中的誤差項(xiàng)主要為離焦和球差部分。

2 仿真

為了驗(yàn)證所提方法的可行性，進(jìn)行數(shù)值仿真。使用Zernike 多項(xiàng)式的前36 項(xiàng)構(gòu)建平面A、B和C的原始表面誤差和折射率均勻性誤差波面，如圖2 所示，其中Z1、Z2和Z3的系數(shù)為0，Z4～Z36的系數(shù)隨機(jī)生成，其中A、B和C三個(gè)面的峰谷值（Peak-valley，PV）約為60 nm，折射率均勻性引入的波面誤差在80 nm 左右，具體PV 和均方根值（Root-mean-square，RMS）參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真原始波面PV 和RMS 值Table 1 PV and RMS values of original simulation wavefront

圖2 原始仿真波面Fig.2 The original simulation wave

根據(jù)提出的方法恢復(fù)得到的折射率均勻性結(jié)果如圖3（a）所示，其分布與仿真預(yù)設(shè)的折射率均勻性基本一致，兩者相減得到的殘差如圖3（b）所示，殘差圖的形式符合預(yù)期，呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)不變的特征。對(duì)應(yīng)的PV 和RMS 值如表2 所示。理論的殘差應(yīng)該為實(shí)際的折射率均勻性引入波像差的eeee 部分。將這部分單獨(dú)提取出來(lái)，如圖3（c）所示。

表2 復(fù)原折射率均勻性的PV 和RMS 值Table 2 The PV and RMS values of recovered refractive index uniformity

圖3 折射率均勻性波面復(fù)原結(jié)果及殘差對(duì)比Fig.3 Recovered refractive index uniformity wavefront results and its residual comparison

從圖3 中可以看出，所求出的折射率均勻性的殘差和原始的折射率均勻性波面的eeee 項(xiàng)部分完全相同，符合理論預(yù)期。說(shuō)明在Zernike36 項(xiàng)內(nèi)，即中低頻區(qū)域內(nèi)，待測(cè)面的面形精度對(duì)恢復(fù)折射率均勻性沒有影響。根據(jù)原理，殘差為eeee 項(xiàng)部分，這部分分量每45°呈現(xiàn)正對(duì)稱性質(zhì)，因此是頻率8θ分量，在實(shí)際測(cè)量中，面形信息中超過(guò)8θ的部分，會(huì)對(duì)恢復(fù)結(jié)果產(chǎn)生影響。但是這部分高頻信息本身所占比重很低并且對(duì)整體面形以及波面參數(shù)的影響很小。

以材料折射率均勻性的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷，假設(shè)平晶材料的厚度為10 mm，原始波面折射率均勻性為7.8 ppm，而復(fù)原波面的折射率均勻性為7.2 ppm，結(jié)果僅相差0.6 ppm，可以認(rèn)為兩者處于同一量級(jí)，說(shuō)明該方法對(duì)評(píng)價(jià)折射率均勻性指標(biāo)具有較好的效果。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 100 mm 平晶實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，在Zygo GPI 干涉儀上使用Φ100 mm 平晶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，裝置如圖4 所示，6 次測(cè)量的波面如圖5 所示。使用的透射平晶為石英材料，前后表面質(zhì)量均優(yōu)于，λ表示波長(zhǎng)，且具有一定的楔角，不會(huì)產(chǎn)生自干涉的條紋。反射平晶的使用的是一塊微晶平晶，表面質(zhì)量同樣優(yōu)于。

圖4 兩平晶折射率均勻性檢測(cè)裝置Fig.4 Experimental setup for two flats refractive index uniformity test

圖5 兩平晶法測(cè)量透射平晶折射率均勻性波面Fig.5 Wavefront of refractive index uniformity of transmission flat by two flats method

在測(cè)量過(guò)程中，透射平晶在對(duì)點(diǎn)板上存在前后表面2 個(gè)光斑，反射平晶只有1 個(gè)光斑。透過(guò)平晶測(cè)量會(huì)引入折射率均勻性誤差，條紋圖及測(cè)量結(jié)果中能夠看出比較明顯的應(yīng)力條紋，如圖5 中的M1所示，可以直接判斷出是否為透射測(cè)量。

采用傳統(tǒng)三平晶透射法測(cè)量同一塊透射平晶的折射率均勻性，與兩平晶法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示。

圖6 透射法測(cè)量折射率均勻性實(shí)驗(yàn)Fig.6 Experiment of transmission method for refractive index uniformity test

透射法測(cè)量折射率均勻性的步驟如圖7 所示，總共需要進(jìn)行4 次測(cè)量：1）測(cè)量參考面A和反射面D的空腔干涉結(jié)果；2）將待測(cè)折射率均勻性的測(cè)試平晶放到中間，測(cè)量穿過(guò)透射平晶后，參考面A和反射面D的干涉結(jié)果；3）測(cè)量參考面A和測(cè)試平晶前表面B的干涉結(jié)果；4）測(cè)量測(cè)量A和測(cè)試平晶后表面C的干涉結(jié)果。測(cè)量結(jié)果可以表示為

圖7 透射法測(cè)量折射率均勻性步驟Fig.7 Steps for measure refractive index uniformity by transmission method

計(jì)算出折射率均勻性δ引入的波面差可以表示為

3.2 結(jié)果比較

通過(guò)兩種方法計(jì)算出透射平晶的折射率均勻性結(jié)果如圖8 所示，平晶厚度為15 mm，恢復(fù)結(jié)果的PV 和RMS 值如表3 所示。兩種方法的測(cè)量結(jié)果在面形分布上相似，明顯的應(yīng)力條紋分布位置也能夠顯示出來(lái)。

表3 折射率均勻性復(fù)原結(jié)果的PV 和RMS 值Table 3 PV and RMS of the recovered refractive index uniformity

圖8 折射率均勻性測(cè)量結(jié)果Fig.8 The result of refractive index uniformity

根據(jù)表3的結(jié)果，兩種方法恢復(fù)的折射率均勻性結(jié)果PV 值相差3.02 nm，RMS 值相差1.27 nm。計(jì)算出通過(guò)兩平晶法恢復(fù)的折射率均勻性為4.1 ppm，通過(guò)透射法測(cè)量的結(jié)果3.9 ppm，兩者處于同一量級(jí)，僅相差0.2 ppm。因此，可以認(rèn)為該方法能比較好地評(píng)價(jià)平晶的折射率均勻性質(zhì)量，并且能夠恢復(fù)出其中明顯存在應(yīng)力分布的位置。

4 誤差分析

4.1 旋轉(zhuǎn)角度誤差

在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于旋轉(zhuǎn)裝置的機(jī)械誤差，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生角度誤差。原始波面采用圖2 的波面，每次的旋轉(zhuǎn)角度為45°，在這個(gè)角度基礎(chǔ)上每次增加0.1°的旋轉(zhuǎn)角度誤差，計(jì)算此時(shí)恢復(fù)波面的誤差情況。這里忽略了固有的理論誤差值，只考慮由于旋轉(zhuǎn)角度誤差造成的影響。

根據(jù)圖9，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度誤差小于0.5°時(shí)，殘差的PV 值小于1 nm，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度誤差小于1°時(shí)，殘差的PV 值小于2.5 nm。所使用的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)分度值為0.5°，實(shí)際由于旋轉(zhuǎn)造成的誤差能夠小于1 nm，對(duì)恢復(fù)折射率均勻性的影響并不明顯。

圖9 旋轉(zhuǎn)角度誤差與殘差關(guān)系Fig.9 Relationship between the rotation angle error and the residual error

4.2 對(duì)準(zhǔn)偏差

在干涉測(cè)量過(guò)程中，干涉儀參考平面坐標(biāo)被當(dāng)作參考坐標(biāo)。其他平面在對(duì)準(zhǔn)以及旋轉(zhuǎn)過(guò)程中都與參考坐標(biāo)對(duì)準(zhǔn)，但是實(shí)際上總會(huì)存在一定的偏差，影響測(cè)量結(jié)果。對(duì)準(zhǔn)偏差和殘差面之間的關(guān)系如圖10 所示。對(duì)準(zhǔn)偏差的計(jì)算方式與旋轉(zhuǎn)角度誤差類似，忽略固有的理論誤差引入的影響，只考慮對(duì)準(zhǔn)偏差造成的影響。

圖10 對(duì)準(zhǔn)偏差和殘差關(guān)系曲線Fig.10 Relationship between the pixel offset and residual error

隨著對(duì)準(zhǔn)誤差的增大，殘差PV 值快速變大，RMS 值的增大則緩慢一些。如果偏差達(dá)到10 像素，殘差的RMS 也能小于1 nm。換算成實(shí)際尺寸，在100 mm 的平晶中，保證對(duì)準(zhǔn)偏差小于1 mm，恢復(fù)結(jié)果的RMS 值偏差能夠小于1 nm。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于兩平晶三面互檢的折射率均勻測(cè)量方法。在Φ100 mm Zygo GPI 干涉儀上對(duì)該方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)三平晶透射法進(jìn)行了比對(duì)，結(jié)果表明，兩種方法測(cè)量得到的折射率均勻性結(jié)果分布一致，數(shù)值僅相差0.2 ppm，驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性與可靠性。該方法僅需兩塊平晶，可拓展應(yīng)用至大口徑光學(xué)平晶折射率均勻性的檢測(cè)，降低檢測(cè)成本。