吳光強(qiáng) ，李超 ，丁豐 ，章蕾

［1.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804；2.卡特彼勒技術(shù)研發(fā)（中國）有限公司，江蘇 無錫 214000］

隨著我國電動(dòng)汽車的推廣普及，動(dòng)力電池包的振動(dòng)疲勞性能已經(jīng)成為制約電動(dòng)汽車發(fā)展的一個(gè)重要因素.現(xiàn)階段，對(duì)試制樣品的振動(dòng)疲勞耐久性試驗(yàn)校核是電池包開發(fā)流程的典型環(huán)節(jié)，但其存在研發(fā)成本高、開發(fā)周期長(zhǎng)的缺點(diǎn).如果在開發(fā)設(shè)計(jì)階段利用計(jì)算機(jī)輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）技術(shù)進(jìn)行產(chǎn)品的振動(dòng)疲勞性能校核，可大大縮短研發(fā)周期、降低研發(fā)成本［1-2］.

目前，利用CAE 進(jìn)行電池包隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命預(yù)測(cè)的方法主要分為時(shí)域法和頻域法［3-4］.二者都包含三部分內(nèi)容，即載荷作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)歷程、單個(gè)載荷循環(huán)下的疲勞損傷和疲勞損傷累積模型［5］.不同之處在于時(shí)域法是基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的應(yīng)力時(shí)域信號(hào)，利用雨流計(jì)數(shù)法對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力實(shí)際循環(huán)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)［6］；而頻域法則是基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的應(yīng)力功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）信號(hào)，利用應(yīng)力幅分布模型對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)進(jìn)行近似估計(jì)，其中Dirlik 模型是與實(shí)際情況吻合較好且應(yīng)用最廣泛的模型［7］.時(shí)域法由于具有較高的結(jié)構(gòu)累積損傷預(yù)測(cè)精度和處理非高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程的能力，被認(rèn)為是與實(shí)際最為接近的一種方法［8］，但存在隨機(jī)過程模擬計(jì)算量大的缺點(diǎn)；而頻域法不需要循環(huán)計(jì)數(shù)，計(jì)算量小，其應(yīng)用逐漸受到工程界的重視［9］.

在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，頻域法和時(shí)域法雖然廣泛用于對(duì)電池包振動(dòng)疲勞性能的驗(yàn)證分析，但是有關(guān)二者的綜合對(duì)比研究比較缺乏，這種缺乏會(huì)帶來以下問題：

1）如果只注重頻域法計(jì)算簡(jiǎn)單、快速的優(yōu)勢(shì)，而忽視其與時(shí)域法預(yù)測(cè)值的差距，可能會(huì)導(dǎo)致頻域法預(yù)測(cè)的疲勞壽命值與實(shí)際壽命差距過大.

2）頻域法基于振動(dòng)均方根（Root Mean Square，RMS）加速度值和正態(tài)分布“3σ”原則，可能存在對(duì)電池包最大振動(dòng)加速度估計(jì)不足的缺點(diǎn).

為了避免類似情況的發(fā)生，本文分別利用頻域法和時(shí)域法對(duì)某款動(dòng)力電池包進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析，并對(duì)二者分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，為頻域法和時(shí)域法更好應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)提供一定參考.

1 基本理論

1.1 時(shí)域法

電池包結(jié)構(gòu)振動(dòng)屬于線性小阻尼多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：m為系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣；c為模態(tài)阻尼矩陣；k為模態(tài)剛度矩陣；q為模態(tài)坐標(biāo)；Q為模態(tài)力矢量.

在時(shí)域載荷激勵(lì)下，振動(dòng)系統(tǒng)的位移響應(yīng)X可由模態(tài)振型矩陣Ф和模態(tài)坐標(biāo)q求出，其表達(dá)式為：

電池包結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)載荷作用下會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，其疲勞裂紋萌生和擴(kuò)展將在圖1所示材料臨界平面上發(fā)生，并且應(yīng)力大小和方向會(huì)隨構(gòu)件位置和載荷作用時(shí)間不斷變化［10］.

圖1 材料臨界面及法向nFig.1 Normal（n）of a material plane

為此，基于不同轉(zhuǎn)角θ坐標(biāo)系平面應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，時(shí)域法通過對(duì)不同轉(zhuǎn)角平面應(yīng)力時(shí)間歷程進(jìn)行計(jì)算和雨流統(tǒng)計(jì)，并結(jié)合材料的疲勞特性實(shí)現(xiàn)臨界面求解和結(jié)構(gòu)最大損傷時(shí)的疲勞壽命計(jì)算，應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式為：

式中：σxx和σyy為平面正應(yīng)力；τxy為平面切應(yīng)力.

通過對(duì)空間不同方向應(yīng)力狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行計(jì)算，臨界面法可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)疲勞失效問題，因此得到工程界廣泛認(rèn)可［11-12］.

1.2 頻域法

式（1）可轉(zhuǎn)化為頻域數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：Sx（ω）為輸入載荷PSD 矩陣；Sp（ω）為隨機(jī)響應(yīng)PSD 矩陣；H（ω）為頻響函數(shù)矩陣；HH（ω）為H（ω）的共軛轉(zhuǎn)置.

頻響函數(shù)矩陣H（ω）表達(dá)式為：

當(dāng)載荷以PSD 輸入時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移、加速度和應(yīng)力響應(yīng)均可由式（4）和式（5）求出.

在連續(xù)加載時(shí)間T內(nèi)，幅值為S的結(jié)構(gòu)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N（S）由Dirlik模型式（6）和式（7）求出.

式中：E（P）為峰值概率期望.

1.3 RMS值

雖然隨機(jī)振動(dòng)的不確定性狀態(tài)無法用振幅、頻率和相位進(jìn)行描述，但可用RMS 值對(duì)隨機(jī)振動(dòng)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行描述.

RMS 值是與結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量大小有關(guān)的物理量.在時(shí)域內(nèi)，振動(dòng)信號(hào)x（t）的RMS計(jì)算公式為：

在頻域內(nèi)，振動(dòng)信號(hào)x（t）的RMS 值可經(jīng)PSD 譜在頻率上積分求面積S后開根號(hào)求出，即

當(dāng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)服從正態(tài)分布時(shí)，基于“3σ”原則，可將3XRMS作為結(jié)構(gòu)振動(dòng)最大幅值的近似估計(jì)［13］.

2 電池包模型及模態(tài)驗(yàn)證

2.1 有限元模型

基于某型號(hào)電池包的實(shí)體結(jié)構(gòu)和幾何模型，建立如圖2 所示的有限元模型.在建模過程中，按照不改變結(jié)構(gòu)力學(xué)性能和計(jì)算精度的要求，為減小計(jì)算資源，對(duì)模型進(jìn)行局部簡(jiǎn)化和修正，例如去除了較小倒角、螺栓、小圓孔等［14］.約束邊界按照實(shí)車裝配對(duì)安裝吊耳孔進(jìn)行全約束.

圖2 某型號(hào)電池包實(shí)物及有限元模型Fig.2 Physical structure and finite element model

2.2 模態(tài)測(cè)試

為了驗(yàn)證有限元模型精度，采用LMS 模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行電池包約束模態(tài)的敲擊測(cè)試.測(cè)試系統(tǒng)主要由激振部分、數(shù)據(jù)采集部分和分析計(jì)算部分組成，如圖3所示.

圖3 LMS模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)組成Fig.3 LMS modal test system

圖中PCB 力錘對(duì)電池包進(jìn)行敲擊激勵(lì)，LMS 數(shù)據(jù)采集儀和PCB 加速度傳感器用于振動(dòng)信號(hào)采集，筆記本電腦利用采集信號(hào)完成約束模態(tài)參數(shù)的識(shí)別.

此次電池包模態(tài)測(cè)試共布置了46 個(gè)振動(dòng)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，采用如圖4 所示的5×5 布點(diǎn)形式，力錘敲擊點(diǎn)分別位于圖5 所示電池包下箱體拐角、上箱蓋拐角以及上箱蓋中央三個(gè)位置.

圖4 電池包5×5測(cè)點(diǎn)布置Fig.4 Battery pack 5×5 measuring point layout

圖5 模態(tài)試驗(yàn)力錘激勵(lì)點(diǎn)Fig.5 Force hammer excitation point of modal test

2.3 模態(tài)驗(yàn)證

模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有屬性，與結(jié)構(gòu)自身的材料屬性、幾何形狀以及約束條件等有關(guān).固有頻率、模態(tài)振型是模態(tài)的兩個(gè)重要特征參數(shù)［15-16］，反映了結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，可用于有限元建模精度的驗(yàn)證.

1）固有頻率.相似振型模態(tài)的固有頻率之間的接近程度可用相對(duì)誤差δ來考察［17］，其計(jì)算公式為

式中：fTest為試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率；fFEA為有限元模態(tài)頻率.

由表1統(tǒng)計(jì)的電池包前4階模態(tài)頻率值可知，有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)之間的固有頻率相近，相對(duì)誤差均小于5%.

表1 電池包前4階模態(tài)固有頻率Tab.1 Natural frequency of the first four modes

2）模態(tài)振型.模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criteria，MAC）可用于驗(yàn)證有限元模態(tài)振型和試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型的相似程度［18］，即：MAC 值等于1，表示兩個(gè)模態(tài)振型完全一樣；等于0，表示兩個(gè)振型不相關(guān).其計(jì)算式為：

式中：Φej為試驗(yàn)?zāi)B(tài)第j階振型向量；Φfk為有限元模態(tài)的第k階振型向量.

圖6 和圖7 分別為電池包試驗(yàn)?zāi)B(tài)和有限元模態(tài)的前4 階振型圖，二者振型的MAC 值分別為0.93、0.86、0.89和0.87，表明同階振型之間相似度水平高.

圖6 電池包試驗(yàn)?zāi)B(tài)前4階振型Fig.6 First 4 test modes of battery pack

圖7 電池包有限元模態(tài)前4階振型Fig.7 First 4 finite element modes of the battery pack

由于有限元模態(tài)的固有頻率和模態(tài)振型計(jì)算結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果相近，表明電池包有限元模型的質(zhì)量分布和剛度分布與實(shí)際結(jié)構(gòu)相符合，可用于隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析.

3 隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析

3.1 載荷的輸入

輸入載荷是影響時(shí)域法和頻域法計(jì)算結(jié)果的重要因素，二者載荷PSD 譜統(tǒng)計(jì)特征相匹配是能夠進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對(duì)比的前提.

頻域法的輸入載荷為國標(biāo)GB 38031—2020 推薦加速度載荷PSD 譜，如表2 所示.基于表2 的功率譜密度值，利用傅里葉逆變換和Python 編程技術(shù)計(jì)算得到時(shí)域法的加速度輸入載荷，如圖8所示.

表2 頻域法加速度載荷PSD譜Tab.2 Acceleration PSD load of frequency domain method

圖8 加速度時(shí)域載荷Fig.8 Acceleration time domain load

由圖9 所示的輸入載荷PSD 曲線對(duì)比可知，時(shí)域法和頻域法的輸入載荷統(tǒng)計(jì)特征相匹配，二者的計(jì)算結(jié)果可進(jìn)行對(duì)比.

圖9 輸入載荷PSD的對(duì)比Fig.9 Comparison of load PSD

3.2 有限元分析計(jì)算

本文基于達(dá)索公司的ABAQUS軟件，通過時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)分析和頻域隨機(jī)振動(dòng)分析來計(jì)算電池包有限元模型單元積分點(diǎn)的應(yīng)力響應(yīng)，并利用Python編程完成結(jié)構(gòu)疲勞危險(xiǎn)位置的壽命計(jì)算，分析流程見圖10.

圖10 隨機(jī)振動(dòng)疲勞CAE分析流程Fig.10 CAE analysis process of random vibration fatigue

4 結(jié)果及討論

4.1 振動(dòng)加速度

圖11為頻域法計(jì)算的電池包加速度RMS值分布云圖.由圖11可知，箱蓋中央A6位置振動(dòng)加速度最大.

圖11 頻域法RMS加速度分布云圖Fig.11 RMS acceleration contour of frequency domain method

為了與頻域法對(duì)比，除了取箱蓋中央A6測(cè)點(diǎn)外，另取圖12 安裝吊耳和模組承載梁處的A1至A5測(cè)點(diǎn)進(jìn)行時(shí)域法分析，加速度響應(yīng)結(jié)果如圖13所示.

圖12 時(shí)域法加速度測(cè)點(diǎn)位置Fig.12 Acceleration gage map of time domain method

圖13 加速度時(shí)域響應(yīng)Fig.13 Acceleration time domain response

由表3的振動(dòng)加速度統(tǒng)計(jì)值可知，頻域法與時(shí)域法的加速度RMS值接近，最大相對(duì)誤差為5.8%，表明二者所預(yù)測(cè)的電池包總振級(jí)相近；頻域法“3σ”計(jì)算最大加速度與時(shí)域法最大加速度存在較大差距，相對(duì)誤差范圍為24.8%～30.1%，表明頻域法“3σ”計(jì)算值對(duì)電池包振動(dòng)最大加速度幅值的估計(jì)精度不足.

表3 結(jié)構(gòu)振動(dòng)加速度對(duì)比Tab.3 Comparison of structural vibration acceleration

究其原因如下：

隨機(jī)振動(dòng)載荷下的電池包加速度幅值服從正態(tài)分布，如表4 所示.由圖14 可知，正態(tài)分布“3σ”原則的0～99%估計(jì)范圍和時(shí)域法的最大加速度幅值分布范圍存在較大差距.

表4 A6加速度分布統(tǒng)計(jì)特征值Tab.4 Statistical characteristics of acceleration distribution at A6

圖14 A6振動(dòng)加速度分布對(duì)比Fig.14 Comparison of acceleration distribution at A6

如果頻域法采用“4σ”原則，計(jì)算加速度的估計(jì)范圍將擴(kuò)大到0～99.993 6%，與時(shí)域法的加速度最大分布范圍接近，相對(duì)誤差小于6.6%，見表5.

表5 頻域法“4σ”計(jì)算加速度Tab.5 The“ 4σ” acceleration of frequency domain method

4.2 振動(dòng)應(yīng)力

利用頻域法計(jì)算得到電池包箱體和箱蓋的RMS應(yīng)力值，分別見圖15和圖16.

圖15 電池包箱體RMS應(yīng)力分布Fig.15 RMS stress contour of battery pack body

圖16 電池包箱蓋RMS應(yīng)力分布Fig.16 RMS stress contour of battery pack cover

由圖15 可知，箱體高應(yīng)力區(qū)主要分布在安裝吊耳孔附近、模組承載梁與側(cè)圍板連接位置；由圖16可知，箱蓋中央加強(qiáng)筋位置應(yīng)力最大.

根據(jù)RMS 應(yīng)力分布，利用式（3）和式（12）對(duì)圖15和圖16中5個(gè)危險(xiǎn)位置的結(jié)構(gòu)最大損傷應(yīng)力和等效Von Mises 應(yīng)力進(jìn)行時(shí)域法計(jì)算，應(yīng)力時(shí)域響應(yīng)結(jié)果如圖17和圖18所示.

圖17 結(jié)構(gòu)最大損傷應(yīng)力時(shí)域響應(yīng)Fig.17 Time domain response of maximum structural damage stress

圖18 等效Von Mises應(yīng)力時(shí)域響應(yīng)Fig.18 Time domain response of equivalent Von Mises

式中：σVM為時(shí)域等效Von Mises應(yīng)力.

由表6 電池包的振動(dòng)應(yīng)力對(duì)比可知，頻域法和時(shí)域法的RMS 應(yīng)力值相近，最大相對(duì)誤差小于15.2%，表明二者所預(yù)測(cè)的平均動(dòng)應(yīng)力相近.

表6 結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)力對(duì)比Tab.6 Comparison of structural vibration stress

由表7 可知，頻域法的“5σ”應(yīng)力值比“3σ”應(yīng)力值更接近時(shí)域法最大Von Mises 值，最大相對(duì)誤差小于13.1%.

表7 頻域法估算應(yīng)力峰值與時(shí)域法最大Von MisesTab.7 Stress peak of frequency domain method and maximum Von Mises of time domain method

4.3 疲勞壽命

基于應(yīng)力響應(yīng)，利用頻域法和時(shí)域法對(duì)圖15 和圖16 所示危險(xiǎn)位置的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，并用 式（13）計(jì)算二者之間的誤差因子，結(jié)果見表8.

表8 振動(dòng)疲勞壽命Tab.8 The vibration fatigue life

式中：Nfreq為頻域法計(jì)算疲勞壽命；Ntest為時(shí)域法計(jì)算疲勞壽命.

由表8 可知，頻域法計(jì)算的疲勞壽命為時(shí)域法計(jì)算值的3.7～5.3 倍，主要原因是Dirlik 模型和應(yīng)力響應(yīng)PSD譜差異的影響.

1）Dirlik 模型的影響.由雨流計(jì)數(shù)和Dirlik 模型得到的R2位置應(yīng)力幅循環(huán)次數(shù)曲線的對(duì)比可知，時(shí)域法和頻域法在同一應(yīng)力幅值處計(jì)算的循環(huán)次數(shù)存在一定差距，如圖19 所示.由表9 可知，Dirlik 模型造成的差距在1.2～1.5倍，誤差影響率的范圍為23%～41%，平均影響率為34%.

表9 Dirlik模型的影響Tab.9 Influence of Dirlik model approach

圖19 雨流計(jì)數(shù)與Dirlik模型的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)對(duì)比Fig.19 Comparison of stress cycles between rain-flow counting method and Dirlik model

2）應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜差異的影響.由式（3）可知，時(shí)域法的疲勞壽命計(jì)算基于臨界面正應(yīng)力的雨流計(jì)數(shù)，而頻域法疲勞壽命計(jì)算基于Von Mises 等效應(yīng)力PSD譜，其計(jì)算表達(dá)式為：

式中：Gσσ(fm)為應(yīng)力響應(yīng)PSD 矩陣；A為Von Mises的二次計(jì)算式.

臨界面正應(yīng)力與Von Mises 等效應(yīng)力的差異是導(dǎo)致時(shí)域法和頻域法計(jì)算的應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜出現(xiàn)差異的主要原因，如圖20所示.

圖20 R2應(yīng)力響應(yīng)PSD譜對(duì)比Fig.20 Comparison of stress response PSD at R2

應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜的差異通過應(yīng)力循環(huán)次數(shù)影響結(jié)構(gòu)疲勞壽命的計(jì)算值，如圖21所示.由表10可知，應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜差異導(dǎo)致的誤差因子在2.5～4.3倍，誤差影響率的范圍為59%～77%，平均影響率為66%.

表10 應(yīng)力PSD譜差異的影響Tab.10 Influence of stress PSD difference

圖21 應(yīng)力PSD譜差異的影響Fig.21 Influence of stress PSD difference

4.4 計(jì)算效率和精度

4.4.1 計(jì)算效率分析

時(shí)域響應(yīng)信號(hào)的采樣頻率是影響時(shí)域法分析精度的重要因素，為了保證時(shí)域響應(yīng)信號(hào)在關(guān)心頻率帶寬內(nèi)無混疊和不失真，根據(jù)Shannon 采樣定理，采樣頻率至少為關(guān)心信號(hào)最高頻率的2倍［20］.

由表2 可知，電池包的最高分析頻率為200 Hz，因此時(shí)域法最低采樣頻率應(yīng)為400 Hz，采樣時(shí)間間隔為0.002 5 s，完成一次總時(shí)長(zhǎng)為200 s 的分析至少需要80 000 個(gè)迭代步，而在同樣頻率分辨率的情況下，頻域法只需要595 個(gè)迭代步，計(jì)算效率比時(shí)域法高了約134倍.

4.4.2 計(jì)算精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證時(shí)域法和頻域法的計(jì)算精度，基于表2加速度PSD 譜，利用LDS 振動(dòng)臺(tái)對(duì)電池包進(jìn)行12 h隨機(jī)振動(dòng)測(cè)試，如圖22 所示.試驗(yàn)結(jié)果顯示，R2位置處的最低振動(dòng)疲勞壽命為12 h目標(biāo)壽命的16.4%，見圖23.

圖22 電池包隨機(jī)振動(dòng)疲勞測(cè)試Fig.22 The random vibration fatigue test of battery pack

圖23 R2疲勞測(cè)試壽命Fig.23 The test fatigue life of R2

由表8可知，頻域法R2疲勞壽命為29 300 s，占12 h目標(biāo)壽命的67.8%，而時(shí)域法疲勞壽命為5 540 s，占12 h 目標(biāo)疲勞壽命的12.8%，與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果更接近，計(jì)算精度更高.

5 結(jié)論

1）頻域法和時(shí)域法在電池包振動(dòng)總級(jí)、應(yīng)力RMS 值以及疲勞壽命預(yù)測(cè)趨勢(shì)上相近，但與復(fù)雜的時(shí)域臨界面法相比，頻域法計(jì)算效率更高，約高134倍.

2）考慮到頻域法“3σ”計(jì)算值與時(shí)域法最大幅值的差距較大，推薦頻域法采用“4σ”或“5σ”原則對(duì)加速度和應(yīng)力的最大幅值進(jìn)行估算.

3）Dirlik 模型和應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜的差異是造成頻域法和時(shí)域法的疲勞壽命值產(chǎn)生較大差距的主要原因，其中Dirlik模型造成的差距小于1.5倍，平均影響率約為34%.

4）與頻域法相比，時(shí)域法計(jì)算精度更高，因此為了對(duì)電池包結(jié)構(gòu)振動(dòng)的疲勞性能進(jìn)行更快和更精確的驗(yàn)證，可先利用頻域法對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞危險(xiǎn)位置進(jìn)行快速預(yù)測(cè)，再利用時(shí)域法對(duì)危險(xiǎn)位置的疲勞壽命進(jìn)行精確計(jì)算.