葉寒 ，高藝 ，劉軍 ，張軍 ，李莉 ，劉旭波 ，李詩晨 ，董高翔 ，姜樂付 ，郭俊輝 ，劉華

（1.南昌大學 先進制造學院，江西 南昌 330009；2.江西省佳時特數(shù)控有限公司，江西 南昌 330052）

近年來，隨著全球化與制造業(yè)的快速發(fā)展，加工零部件對高精密機床的加工精度與靜動態(tài)特性的要求越來越高［1］.橫梁作為高精密機床的關鍵零部件之一，其結構設計的合理與否，很大程度上影響著機床整機的加工精度［2-4］.

國內外學者對機床關鍵零部件的靜動態(tài)特性進行了許多研究，如張偉華等［5］、邱自學等［6］以及劉政等［7］，優(yōu)化了機床的床身、滑枕以及立柱等關鍵零部件.Mahendrakumar 等［8］對機床床身進行形狀優(yōu)化.Venugopal 等［9］設計了新型的機床底座.Xiao 等［10］對特定機床進行了輕量化設計.Ahmadi 等［11］將激振實驗與仿真結果進行比對.Xu 等［12］通過模態(tài)應變能識別了某車床剛度薄弱位置.Yeh 等［13］、Min 等［14］、Diaz等［15］把固有頻率當作狀態(tài)變量來進行相關零件的優(yōu)化.

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機床的橫梁為研究對象，對其動態(tài)特性進行分析與驗證，最后根據(jù)試驗結果與有限元仿真對其進行優(yōu)化.

1 結構動態(tài)特性計算理論

在評估橫梁動態(tài)性能時，固有頻率是一個很關鍵的因素.根據(jù)機械振動相關的理論知識，當結構受到的外部激勵與橫梁固有頻率相同或接近時，橫梁會產生比較大的振動，影響加工精度［16］.獲得固有頻率的方法有計算模態(tài)分析和試驗模態(tài)分析［17］.計算模態(tài)可以把任一連續(xù)結構近似地看作是無限多個微剛體組成的，每個微剛體有6 個自由度，由此可推得這一結構有無限個自由度.自由度數(shù)是決定結構性質矩陣維數(shù)的重要因素，因此也是決定固有頻率數(shù)量的重要因素［18-19］.測量實驗模態(tài)時的測點選擇與布置有著客觀條件的限制，如測量條件、測量工況以及有限的頻率范圍等，測試系統(tǒng)如加速度傳感器和數(shù)據(jù)采集動態(tài)頻率等，都限制了可測的模態(tài)階數(shù)，因此實驗模態(tài)的測點選擇有一定的任意性［20］.計算模態(tài)本質上是對所研究的結構進行振動方程的求解，求得的特征值即是所研究結構的固有頻率.

不考慮阻尼的情況下，所研究結構的振動方程為：

式中：M為系統(tǒng)的質量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；t為時間，為系統(tǒng)的加速度列向量；為系統(tǒng)的速度列向量.

對以上方程設一個特解：

式中：X（t）為系統(tǒng)的位移列向量；?為位移幅值矩陣；j為復數(shù)；ω為系統(tǒng)模態(tài)頻率；ejωt代表振動形狀.

將特解代入式（1）可得

系統(tǒng)的模態(tài)頻率ω可從矩陣的行列式中得到.

實驗模態(tài)則通過測量結構的輸入和輸出，由輸入輸出計算結構頻率響應函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF），不測量結構的質量和剛度.

頻響函數(shù)的分母包含系統(tǒng)極點信息，也就是所研究結構的固有頻率信息.理論上，從頻響函數(shù)中，可以得到所研究結構的全部模態(tài)信息.頻響函數(shù)為：

式中：δ1為上殘余項；δ1為下殘余項；Qr為系統(tǒng)輸出響應位置；Ψr為系統(tǒng)輸入響應位置；λr為系統(tǒng)極點.

式（4）分子部分的改變依賴于輸入與輸出，但是所研究結構的極點不變.這說明僅一個測量點就可以測得所研究結構的固有頻率.

從理論角度上講，計算模態(tài)采用的方法是對基本特征方程進行特征值求解，獲得特征值（也就是模態(tài)頻率）；而實驗模態(tài)是通過輸入輸出點和頻響函數(shù)得到模態(tài)頻率.實驗模態(tài)是對所分析的實際結構進行測量，只要不把測點設置在節(jié)點上，分析得到的模態(tài)參數(shù)是非常精確的；而計算模態(tài)會對結構的三維模型進行合理簡化.

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機床橫梁為研究對象，以提高橫梁動態(tài)性能為目標進行優(yōu)化設計.通過理論分析和實驗驗證相結合，優(yōu)化了有限元分析橫梁設計的薄弱部位，以改善橫梁的靜動態(tài)性能.

2 橫梁的三維模型及計算模態(tài)

本文所研究的某型小五軸高精密數(shù)控機床，設計的主要目的是加工各種高精度零件，而由于橫梁設計不當，過度追求輕量化，導致動態(tài)性能不足，機床加工精度不滿足要求.機床實物如圖1 所示，裝配圖如圖2 所示，機床橫梁的鑄件模型如圖3 所示，橫梁的三維數(shù)字模型如圖4所示.

圖1 機床實物圖Fig.1 The physical machine tool

圖2 機床裝配圖Fig.2 Machine tool assembly drawings

圖3 橫梁鑄件模型Fig.3 Beam casting model

圖4 橫梁三維數(shù)字模型Fig.4 3D digital model of the beam

在有限元分析軟件中計算所研究橫梁的固有頻率，設置橫梁材料為HT250，彈性模量E=1.175× 105MPa，泊松比μ=0.27，密度ρ=7.8×103kg/m3［21］，進行橫梁在裝配約束下的計算仿真.

由振動相關理論得，所研究橫梁的動態(tài)特性主要受前面幾階固有頻率的影響［22］.而外界給橫梁的激勵頻率一般不是很高，所以為了避免所研究橫梁產生共振或是較大的振動，一般對橫梁的前六階固有頻率進行研究.本文所研究橫梁的前六階頻率如表1所示.

表1 橫梁的前六階固有頻率Tab.1 The first six natural frequencies of the beam

3 橫梁的實驗模態(tài)

由于計算模態(tài)結果的精度受模型簡化程度、網格質量、邊界條件加載的準確性以及有限元算法等因素的影響［23］，為了驗證計算模態(tài)的準確性，對該橫梁進行模態(tài)實驗.

使用印制電路板（Printed Circuit Board，PCB）力錘對裝配在機床上的的橫梁進行激勵.錘頭內置的力傳感器和安裝在橫梁上的加速度傳感器同步記錄下瞬態(tài)激勵和被測對象的響應［24］.經學習管理系統(tǒng)（Learning Management System，LMS）信號分析儀采集處理數(shù)據(jù)后傳輸?shù)接嬎銠C，對數(shù)據(jù)進行模態(tài)分析，獲取被測對象的模態(tài)頻率.

整個測試過程包含被測對象橫梁、PCB 力錘、LMS 信號分析儀等，試驗流程如圖5 所示，試驗原理如圖6所示，試驗現(xiàn)場如圖7所示.

圖5 試驗流程Fig.5 Trial process

圖6 試驗原理Fig.6 Test principle

圖7 試驗現(xiàn)場Fig.7 Test site

進行相應的測試后，得到了5 組實驗數(shù)據(jù)，如表2所示.

表2 橫梁的測試頻率Tab.2 Test frequency of the beam

橫梁固有頻率實測與模擬對比如圖8 所示.可以看出，試驗結果與有限元模擬結果基本擬合.兩者之間的最大誤差出現(xiàn)在第5階模態(tài)，誤差為5.76%.

圖8 橫梁固有頻率實測與模擬對比Fig.8 Measured and simulated comparison of the natural frequency of the beam

4 橫梁的外部激勵測試

機床主軸是掛在橫梁上的，當主軸轉動時，作為橫梁的激勵源之一，會引起橫梁振動.如果在某個轉速下，主軸出現(xiàn)振動速度和振動噪音突然增大的情況，可能是在此轉速下發(fā)生了橫梁振動.表3 是對主軸進行振動檢測的實驗數(shù)據(jù).在此次實驗中，主軸拉力為（6 800±500）N，頂?shù)读繛椋?.5±0.1）mm，軸芯竄動為（0.10±0.05）mm，在檢測相關參數(shù)之前主軸需先跑合，7 000 r/min 跑合30 min，10 000 r/min 跑合15 min，30 000 r/min跑合10 min，主軸變熱但不燙手，如主軸很熱，需停止運轉，跑合結束后再進行測試.

表3 主軸檢測數(shù)據(jù)Tab.3 Spindle inspection data

振動速度和振動噪音之間可能存在相關性，因為它們的相關系數(shù)并不為零.根據(jù)數(shù)據(jù)計算出兩者的相關系數(shù)約為0.43，這表明它們之間存在一定的正相關關系.換句話說，當振動速度增加時，振動噪音也有可能會隨之增加.

對表3 數(shù)據(jù)繪制散點圖，分析振動速度與振動噪音與主軸轉速的關系，并對所得散點圖進行九項式曲線擬合.

擬合方程通用形式如下：

式中：ai為x的i次方的常數(shù)項.

擬合后，轉速與振動速度和振動噪音的關系如圖9、圖10所示.

圖9 轉速與振動速度關系Fig.9 The relationship between rotational speed and vibration velocity

圖10 轉速與振動噪音關系Fig.10 The relationship between rotational speed and vibration noise

對于轉速與振動速度之間的關系，圖9 表明隨著轉速的增加，振動速度也隨之增加，但是呈現(xiàn)出一定的非線性趨勢，這意味著當轉速增加到一定程度后，振動速度增加的速率會減緩，其本身甚至會下降.對于轉速與振動噪音之間的關系，圖10 表明隨著轉速的增加，振動噪音的趨勢不太清晰.有些點呈現(xiàn)出振動噪音隨著轉速增加而增大的趨勢，但是其他點則表明隨著轉速的增加，振動噪音反而減小.

這可能是由于所研究機床的主軸在一定轉速下的振動會導致橫梁產生共振，從而影響主軸的振動速度與噪音.

對兩者進行賦權處理，根據(jù)振動速度占比為0.5，噪音占比為0.5 的權重分配，建立振動評價指標方程.

式中：xi為第i個轉速下的振動速度；yi為第i個轉速下的振動噪音；zi為第i個轉速下的振動評價指標.

計算得振動評價指標的轉置矩陣為：

［0.019 905 074 0.023 049 311 0.023 168 014 0.023 144 274 0.022 946 069 0.025 820 879 0.048 066 841 0.037 667 947 0.036 330 195 0.034 928 401 0.036 235 233 0.031 728 402 0.037 486 303 0.040 123 708 0.039 474 432 0.043 972 982 0.041 501 762 0.039 157 524 0.043 988 442 0.030 921 223 0.028 917 634 0.028 671 948 0.029 590 651 0.032 219 775 0.032 893 892 0.033 058 975 0.033 399 623 0.034 974 781 0.034 547 451 0.032 108 251］

由以上數(shù)據(jù)可以看出，主軸轉速在6 000 r/min 時，振動評價指標最大，因此選取5 000～7 000 r/min的轉速作為主軸振動反常范圍.在此轉速范圍下，主軸給橫梁的外部頻率激勵為83～117 Hz.在這個頻率范圍下，橫梁可能產生了較大的振動.而實驗測量的橫梁一階固有頻率為115 Hz，在83～117 Hz 頻率范圍內.

因此在后續(xù)橫梁的優(yōu)化中，需要提高一階固有頻率，使一階固有頻率遠離83～117 Hz的頻率范圍.

5 橫梁的優(yōu)化

提高所研究橫梁的一階固有頻率可以有效改善動態(tài)特性，這是提升整機精度的有效措施［25］.如果想要提升一階固有頻率，就需要合理增加橫梁質量.該小五軸高精密數(shù)控機床在設計橫梁時，一味追求輕量化，導致橫梁剛性不足，根據(jù)工程師建議，需對橫梁進行形狀優(yōu)化.在有限元軟件中，對橫梁僅受自重的情況進行了分析，如圖11 所示.為避免計算時間過長，對橫梁的數(shù)字模型進行簡化，忽略了某些非必要特征［26］，如倒角與圓角等.

圖11 橫梁在自重下變形云圖Fig.11 The relationship between rotational speed and vibration noise

由圖11 可以看出，橫梁僅在自重情況下，最大變形量就有5.504 3 μm，說明橫梁抵抗變形的能力不足，剛性不夠，設計不合理.經分析可知，橫梁的各處壁厚過小，底面頂面以及斜面開槽過大等，需要對這些地方進行形狀優(yōu)化.

原橫梁頂面、正面以及前端面壁厚為20 mm，斜面壁厚為15 mm，頂面開槽長度為171 mm，底面開槽長度為380 mm，斜面開槽長度為314 mm、寬度為197 mm 與312 mm.對原橫梁進行形狀優(yōu)化后，改進后橫梁頂面、正面、前端以及斜面面壁厚為40 mm，頂面開槽長度為140 mm，底面開槽長度為300 mm，斜面開槽長度為240 mm、寬度為149 mm與300 mm.

對改進后橫梁僅受自重的情況進行分析，如圖12所示.

圖12 改進后的橫梁在自重下變形云圖Fig.12 Improved beam deforms cloud under its own gravity

由圖12 可以看出，改進后的橫梁僅在自重情況下，最大變形量降為3.742 8 μm，下降了約32%，剛性得到一定提升，質量也合理增大.在有限元軟件中計算改進后橫梁的一階固有頻率為139 Hz，遠離了83～117 Hz 的頻率范圍，相較于原有的固有頻率，增加了約20.870%.

6 結論

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機床橫梁為研究對象，以提高橫梁動態(tài)性能為目標進行優(yōu)化設計.首先對所研究橫梁數(shù)字模型進行合理簡化，求解橫梁的固有頻率，然后采用錘擊法進行固有頻率的實際測量，并把兩者進行比對.然后測量主軸在不同轉速下振動速度和振動噪音，通過賦權處理，建立振動評價指標方程，得到優(yōu)化目標，最后對所研究橫梁進行形狀優(yōu)化，研究結論如下.

1）實驗結果與有限元仿真結果差別不大，曲線基本擬合.兩者之間的最大誤差出現(xiàn)在第5 階模態(tài)，誤差為5.76%.

2）選取5 000～7 000 r/min 的轉速范圍，作為主軸振動反常范圍.在此轉速范圍下，主軸給橫梁的外部頻率激勵為83～117 Hz.在這個頻率范圍下，橫梁可能產生了較大的振動.而實驗測量的橫梁一階固有頻率為115 Hz，在83～117 Hz頻率范圍內.

3）改進后的橫梁僅在自重情況下，最大變形量降為3.742 8 μm，下降了約32%，剛性得到一定提升，質量也合理增大.通過有限元模擬得出改進后橫梁的一階固有頻率為139 Hz，遠離了83～117 Hz的頻率范圍，相較于原有的固有頻率，增加了約20.870%.

本文的研究過程對高精密機床關鍵零部件的動態(tài)特性優(yōu)化有一定的指導意義.