劉海平 ，劉慶生 ，韓東航 ，姜宇 ，吳鶴鳴

［1.北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083；2.北京科技大學(xué) 順德創(chuàng)新學(xué)院，廣東 佛山 528300；3.北京大學(xué) 第三醫(yī)院骨科，北京 100191；4.骨與關(guān)節(jié)精準(zhǔn)醫(yī)學(xué)工程研究中心，北京 100191；5.脊柱疾病研究北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；6.南京醫(yī)科大學(xué) 附屬南京醫(yī)院（南京市第一醫(yī)院），江蘇 南京 210002］

人體手臂靜止性震顫在臨床上表現(xiàn)為一種非自愿型，按一定節(jié)奏做近似正弦式的往復(fù)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)［1］.其中，帕金森病是最典型的靜止性震顫之一.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)［2］，75%的患者在3～7 Hz 頻率范圍內(nèi)發(fā)生靜止性震顫，60%的患者在5～12 Hz頻率范圍內(nèi)發(fā)生姿勢(shì)震顫，雖然該癥狀本身不致命，但會(huì)導(dǎo)致患者出現(xiàn)肢體活動(dòng)障礙，甚至嚴(yán)重影響其生活質(zhì)量.目前，最有效的治療方法主要是腦深部電刺激術(shù)［3］或神經(jīng)外科手術(shù)，但是，高昂的手術(shù)費(fèi)用給患者及其家庭帶來(lái)沉重的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān).另外，隨著可穿戴技術(shù)發(fā)展，科研人員開(kāi)發(fā)出多種可穿戴式靜止性震顫抑制裝置［4-7］.從振動(dòng)控制角度，多數(shù)可穿戴設(shè)備屬于主動(dòng)抑振技術(shù)范疇，需要輸入能量，成本較高且系統(tǒng)復(fù)雜，傳感器靈敏度和精確度不夠，極大限制了該類設(shè)備的推廣應(yīng)用.

綜合經(jīng)濟(jì)性和震顫抑制效果，被動(dòng)抑振裝置已成為熱點(diǎn)研究領(lǐng)域之一，已有方案包括線性吸振器［8-10］（Linear Dynamic Vibration Absorber，LDVA）、非線性能量阱［11］、顆粒阻尼器［12］、空氣彈簧［13］等.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，被動(dòng)線性抑振裝置有效工作頻帶寬度有限，而非線性抑振裝置則存在穩(wěn)定性不足的問(wèn)題.

針對(duì)前述缺陷，科研人員提出負(fù)剛度吸振器（Dynamic Vibration Absorber with Negative Stiffness，DVA-NS）的概念.在基礎(chǔ)理論方面，主要集中于參數(shù)優(yōu)化［14-16］和組合多種力學(xué)元件［17-18］探索改善其減振性能的研究；在工程應(yīng)用方面，已在海洋船舶［19］、軌道交通［20-21］和風(fēng)力發(fā)電［22］等工程領(lǐng)域開(kāi)展研究.但是，現(xiàn)有研究均將負(fù)剛度吸振器與“大地”連接；顯然，從實(shí)際出發(fā)很難實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度“接地”.因此，考慮負(fù)剛度吸振器的非接地特征［23］，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)和不同類型吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)非接地負(fù)剛度吸振器的減振效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器.

綜上，本文首次提出采用非接地負(fù)剛度吸振器抑制人體手臂靜止性震顫.首先，建立含負(fù)剛度吸振器的人體手臂耦合動(dòng)力學(xué)模型；然后，推導(dǎo)給出各關(guān)節(jié)位置的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；進(jìn)一步利用序列二次規(guī)劃算法獲得負(fù)剛度吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，并與傳統(tǒng)線性吸振器進(jìn)行對(duì)比，對(duì)其振動(dòng)控制效果展開(kāi)討論.本文相關(guān)研究成果可為開(kāi)發(fā)面向人體手臂靜止性震顫的可穿戴治療裝備奠定理論基礎(chǔ).

1 負(fù)剛度吸振器介紹

本文提出的負(fù)剛度吸振器結(jié)構(gòu)方案，如圖1 所示.由圖1 可見(jiàn)，負(fù)剛度吸振器主要由裝置外殼、慣性質(zhì)量、滾球、鋼絲繩、壓蓋接頭、橡膠、支承質(zhì)量、豎直導(dǎo)軌等組成.慣性質(zhì)量通過(guò)兩個(gè)支承彈簧與裝置外殼相連；同時(shí)，為防止結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)偏移及不利影響，兩側(cè)通過(guò)滾球?qū)虿p小接觸摩擦.其中，負(fù)剛度由預(yù)緊后的鋼絲繩提供；鋼絲繩穿過(guò)支承質(zhì)量，兩端與慣性質(zhì)量連接.支承質(zhì)量通過(guò)壓蓋接頭與底部橡膠相連，并提供正剛度和阻尼.另外，在裝置外殼底部安裝豎直導(dǎo)軌，實(shí)現(xiàn)支承質(zhì)量在固定平面內(nèi)滑動(dòng)，保證支承質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終垂直于前臂.

圖1 負(fù)剛度吸振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural diagram of the DVA-NS

2 理論建模

為了方便研究，本文所建人體手臂理論模型滿足如下假設(shè)［11，24］：

1）肘部鎖定，限制胳膊與前臂之間繞著肘關(guān)節(jié)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即：當(dāng)前臂與上臂處于一條直線時(shí)，限制肘關(guān)節(jié)發(fā)生超伸現(xiàn)象；

2）不考慮肌肉的彈性特征；

3）不考慮胳膊的空間三維運(yùn)動(dòng)；

4）手部與前臂等效為一體，不考慮手部與前臂的相對(duì)運(yùn)動(dòng).針對(duì)人體手臂空間多自由度震顫研究不屬于本論文的討論范圍.

基于所建人體手臂模型，本文主要針對(duì)負(fù)剛度減振方案進(jìn)行研究，建立“含負(fù)剛度吸振器—兩自由度人體手臂”耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖2 所示.其中，負(fù)剛度吸振器對(duì)應(yīng)的理論模型中m3、m4、c3、k3、k4、ka分別對(duì)應(yīng)圖1 中的支承質(zhì)量、慣性質(zhì)量、豎直橡膠塊提供的阻尼、豎直橡膠塊提供的剛度、支承彈簧的剛度、鋼絲繩提供的負(fù)剛度.而且，H、J 分別代表肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)；m1、m2分別為上臂質(zhì)量、前臂質(zhì)量；l1、l2、a1、a2、la分別為上臂段和前臂段的長(zhǎng)度以及肩關(guān)節(jié)到上臂質(zhì)心、肘關(guān)節(jié)到前臂質(zhì)心和吸振器安裝點(diǎn)到肘關(guān)節(jié)的距離；k1、k2、ks、c1、c2和cs分別為各部分肌肉剛度和阻尼系數(shù)；θ1、θ2、x2和x3分別為上臂關(guān)于肩關(guān)節(jié)和前臂關(guān)于肘關(guān)節(jié)的角位移，以及m3和m4相對(duì)于前臂的位移.

圖2 含負(fù)剛度吸振器的人體手臂模型Fig.2 Model of human arm with DVA-NS

結(jié)合所建坐標(biāo)系，可得負(fù)剛度吸振器安裝點(diǎn)坐標(biāo)為：

將安裝點(diǎn)處的速度沿垂直于前臂方向（x2方向）分解，最終可得到安裝點(diǎn)沿x2方向上的速度表達(dá)式：

綜上，可以得到安裝負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的人體手臂耦合動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)能Ek、勢(shì)能Ep以及耗散函數(shù)D分別為：

式中：第四項(xiàng)、第五項(xiàng)分別是質(zhì)量塊m3和m4的動(dòng)能.

式中：第四項(xiàng)、第五項(xiàng)和第六項(xiàng)是吸振器上彈簧對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能；第七項(xiàng)及之后各項(xiàng)是相應(yīng)的重力勢(shì)能.式中：第一項(xiàng)為肩關(guān)節(jié)處的阻尼做功；第二項(xiàng)為肘關(guān)節(jié)處的阻尼做功；第三項(xiàng)為雙關(guān)節(jié)處的阻尼做功；第四項(xiàng)為吸振器上阻尼做功.

對(duì)于手臂不同關(guān)節(jié)，其任意位置可以表示為θi=θ0i+θsi（其中，θ表示手臂不同關(guān)節(jié)位置的角位移，i=1和2 分別表示肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)，θ0i表示初始角位移，代表人體手臂的初始姿態(tài)，θsi表示角位移變化量，代表上臂和前臂的旋轉(zhuǎn)角度）.假設(shè)，人體手臂以小幅角位移運(yùn)動(dòng)，故sinθi≈θi、cosθi≈1.因此，為了便于研究，忽略高階項(xiàng)，將非線性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化處理.

利用拉格朗日方程，得到人體手臂運(yùn)動(dòng)微分方程.

而且，I1和I2分別為上臂和前臂質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F1和F2分別為作用于肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的外部激勵(lì)力矩的幅值，ω表示激勵(lì)力矩頻率，外部激勵(lì)力矩由手臂震顫時(shí)肌肉伸縮產(chǎn)生的力矩與關(guān)節(jié)處的阻力矩共同構(gòu)成.

引入?yún)?shù)：λ1=ω/ω1，ν1=p2/p1，ν2=ω3/p1，ν3=ω4/p1.求解式（8），可得肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)振幅X1和X2：

對(duì)式（9）進(jìn)行無(wú)量綱化處理，引入靜態(tài)位移δ1，肩關(guān)節(jié)振幅放大系數(shù)A1和肘關(guān)節(jié)振幅放大系數(shù)A2，可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，人體手臂設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示.

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)［10］Tab.1 Designing parameters［10］

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于傳統(tǒng)固定點(diǎn)理論過(guò)程復(fù)雜，且較難獲得解析解，本文選擇采用序列二次規(guī)劃算法，通過(guò)求解最大值最小化問(wèn)題獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，該算法的有效性已經(jīng)在文獻(xiàn)［15］、文獻(xiàn)［25］中得到驗(yàn)證.

由于人體手臂兩自由度模型中，肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的幅頻曲線存在兩個(gè)諧振峰，H∞優(yōu)化的最終目標(biāo)是等峰降幅，本質(zhì)上是最大值最小化問(wèn)題，利用 fminimax 函數(shù)編寫優(yōu)化程序.具體優(yōu)化設(shè)計(jì)思路：為使肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)振幅放大系數(shù)A1和A2的峰值達(dá)到最?。贿x取質(zhì)量比μ2為0.028，設(shè)計(jì)變量為負(fù)剛度吸振器的剛度比α3和α4取值范圍為（-1，0），阻尼比ξ3為（0，1），頻率比v2為（0，10）.對(duì)應(yīng)負(fù)剛度吸振器的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型定義為：

式中：肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)振幅放大系數(shù)A1和A2為由負(fù)剛度吸振器剛度比α3、α4，阻尼比ξ3和頻率比v2作為變量的目標(biāo)函數(shù).

利用上述優(yōu)化方法計(jì)算得到負(fù)剛度吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表2 所示.同時(shí)，為方便后續(xù)與傳統(tǒng)線性吸振器進(jìn)行對(duì)比，選取質(zhì)量比μ2為0.028，線性吸振器設(shè)計(jì)變量頻率比v2的取值為（0，5），阻尼比ξ3為（0，1），利用上述優(yōu)化算法得到線性吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示.

表2 吸振器最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Optimal designing parameters of dynamic vibration absorber

4 計(jì)算結(jié)果分析

4.1 頻響曲線

為了研究負(fù)剛度吸振器對(duì)人體手臂肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制效果，與傳統(tǒng)線性吸振器最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算得到幅頻響應(yīng)曲線，分別如圖3和圖4 所示.可以看出，人體手臂未安裝吸振器時(shí)，肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的頻響曲線均呈現(xiàn)兩個(gè)諧振峰.其中，頻率比為0.6附近的諧振峰對(duì)應(yīng)人體靜止性震顫的特征頻率約為5 Hz，頻率比為1.3附近諧振峰對(duì)應(yīng)人體姿勢(shì)震顫的特征頻率約為11 Hz.人體手臂安裝負(fù)剛度吸振器比傳統(tǒng)線性吸振器對(duì)應(yīng)肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的共振峰顯著降低，且有效抑振頻帶更寬.

圖3 幅頻響應(yīng)曲線（肩關(guān)節(jié)）Fig.3 Amplitude-frequency response curves（shoulder joint）

圖4 幅頻響應(yīng)曲線（肘關(guān)節(jié)）Fig.4 Amplitude-frequency response curves（elbow joint）

此外，對(duì)于肩關(guān)節(jié)而言，安裝負(fù)剛度吸振器和線性吸振器在全頻段內(nèi)均未放大系統(tǒng)響應(yīng).對(duì)于肘關(guān)節(jié)而言，在頻率比為0.65～0.85 時(shí)，安裝負(fù)剛度吸振器和線性吸振器均會(huì)放大系統(tǒng)響應(yīng)；在頻率比為0.5～0.65 和頻率比為1.1～1.6 的范圍附近，相比線性吸振器，安裝負(fù)剛度吸振器抑振效果更好，且有效抑振頻帶更寬.

4.2 數(shù)值驗(yàn)證

為保證上述優(yōu)化結(jié)果的正確性，采用龍格庫(kù)塔方法求解系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解.代入表2 的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，分別得到安裝不同類型吸振器時(shí)肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的幅頻響應(yīng)曲線，并與解析解曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖5 和圖6 所示.從圖中可以看出，安裝不同類型吸振器時(shí)人體手臂耦合動(dòng)力學(xué)模型的幅頻響應(yīng)曲線解析解和數(shù)值解完全吻合，解析解計(jì)算結(jié)果正確.

圖5 幅頻響應(yīng)曲線解析解與數(shù)值解對(duì)比（肩關(guān)節(jié)）Fig.5 Comparison of analytical solution and numerical solution of amplitude-frequency response curves（shoulder joint）

4.3 時(shí)域響應(yīng)

現(xiàn)實(shí)中，環(huán)境激勵(lì)多為隨機(jī)激勵(lì)，從實(shí)際工況考慮，本部分重點(diǎn)研究隨機(jī)激勵(lì)條件下安裝不同類型吸振器對(duì)人體手臂震顫的控制效果.

首先，構(gòu)建50 s 服從正態(tài)分布的隨機(jī)力矩激勵(lì)，作用于肩關(guān)節(jié)處，均值為0，方差為1，力矩幅值為0.5 N·m，如圖7所示.

圖7 隨機(jī)力矩激勵(lì)信號(hào)Fig.7 Random torque excitation signal

利用所建理論模型分別計(jì)算得到安裝吸振器前、后人體手臂的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，如圖8 和圖9所示.從圖中可以看出，不同類型吸振器均可有效控制人體手臂的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；其中，負(fù)剛度吸振器的控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器.

圖8 安裝吸振器前、后肩關(guān)節(jié)時(shí)程角位移曲線Fig.8 Angular displacement curves of shoulder joint with/without absorbers in time domain

圖9 安裝吸振器前、后肘關(guān)節(jié)時(shí)程角位移曲線Fig.9 Angular displacement curves of elbow joint with/without absorbers in time domain

為了直觀對(duì)比不同類型吸振器對(duì)人體手臂靜止性震顫的控制效果，將人體手臂各關(guān)節(jié)部位在時(shí)間域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的均方根作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如圖10 和圖11 所示.可見(jiàn)，傳統(tǒng)線性吸振器和負(fù)剛度吸振器可以分別使肩關(guān)節(jié)角位移均方根衰減約為36.5%和44.1%；使肘關(guān)節(jié)角位移均方根衰減約為34.8%和46.5%.顯然，負(fù)剛度吸振器的振動(dòng)抑制效果優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器.

圖10 安裝吸振器前、后肩關(guān)節(jié)角位移均方根Fig.10 The mean square root values of angular displacement of shoulder joint with/without absorbers

圖11 安裝吸振器前、后肘關(guān)節(jié)角位移均方根Fig.11 The mean square root values of angular displacement of elbow joint with/without absorbers

5 結(jié)論

針對(duì)人體手臂震顫的響應(yīng)特征，本文提出一種負(fù)剛度吸振器并建立耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析研究該方案用于抑制人體手臂震顫的可行性.利用所建理論模型，采用序列二次規(guī)劃算法求得負(fù)剛度吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù).在此基礎(chǔ)上，分別得到正弦激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)條件下，人體手臂各關(guān)節(jié)位置的動(dòng)態(tài)響應(yīng).根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

1）受正弦激勵(lì)，負(fù)剛度吸振器對(duì)人體手臂不同關(guān)節(jié)部位的動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器.

2）受隨機(jī)激勵(lì)，負(fù)剛度吸振器對(duì)窄帶隨機(jī)激勵(lì)的控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器.

3）以時(shí)間域隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的均方根作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，負(fù)剛度吸振器對(duì)人體手臂各關(guān)節(jié)位置動(dòng)態(tài)響應(yīng)的衰減率分別為44.1%和46.5%，優(yōu)于傳統(tǒng)線性吸振器的控制效果.

上述研究工作可為后續(xù)研制基于負(fù)剛度吸振原理的人體手臂靜止性震顫可穿戴治療裝備提供參考和理論基礎(chǔ).另外，下一階段將利用已有人體手臂震顫模擬系統(tǒng)開(kāi)展負(fù)剛度吸振器抑振效果測(cè)試及評(píng)估.